线性dp之序列问题
【基本概念与性质】
1.子序列: 一个序列 A=a1,a2,……an 中任意删除若干项,剩余的序列叫做 A 的一个子序列。也可以认为是从序列 A 按原顺序保留任意若干项得到的序列。(例如:对序列{1,3,5,4,2,6,8,7}来说,序列{3,4,8,7}是它的一个子序列。)
2.公共子序列 :如果序列 C 既是序列 A 的子序列,也是序列 B 的子序列,则称它为序列 A 和序列 B 的公共子序列。(例如:对序列{1,3,5,4,2,6,8,7}和序列{1,4,8,6,7,5}来说,序列{1,8,7}是它们的一个公共子序列)
3.最长公共子序列:A 和 B 的公共子序列中长度最长的(包含元素最多的)序列叫做 A 和 B 的公共子序列。( 最长公共子序列不唯一)
4.对于一个长度为 n 的序列,它一共有 2^n 个子序列,有 (2^n – 1) 个非空子序列。
5.子序列不是子集,它和原始序列的元素顺序是相关的。
6.空序列是任何两个序列的公共子序列。
7.角标为 0 时,认为子序列是空序列。
【LIS问题】
LIS 问题(Longest Increasing Subsequence),最长上升子序列,其一般为求最长下降子序列或是最长上升子序列。用 DP[i] 表示 a[i] 为结尾的最长上升子序列的长度,则有状态转移方程: DP[i] = max(DP[i], DP[j]+1);
1 int LIS(int a[], int n)
2 {
3 int DP[n];
4 int Cnt=-1;
5 memset(DP, 0, sizeof(DP));
6 for(int i=0; i<n; i++ ){
7 for(int j=0; j<i; j++ ){
8 if( a[i]>a[j] ){
9 DP[i] = max(DP[i], DP[j]+1);
10 Cnt = max(DP[i], Cnt);//记录最长序列所含元素的个数
11 }
12 }
13 }
14 return Cnt+1;//因为初始化为0,所以返回结果+1
15 }
【LCS 问题】
LCS问题(Longest Common Subsequence),求序列的最长公共子序列,M[i][j] 表示前缀子串 x[1~i] 与 y[1~j] 的最长公共子序列的长度,则有状态转移方程:M[i][j] = max(M[i-1][j],M[i][j-1],M[i-1][j-1]+1(if:x[i] = y[j]))
1 #include <bits/stdc++.h>
2 using namespace std;
3 const int maxn = 550;
4
5 int main()
6 {
7 char x[maxn],y[maxn];
8 int M[maxn][maxn], i, j;
9 while( gets(x) && gets(y) ){
10 int len1 = strlen(x);
11 int len2 = strlen(y);
12 for( i=0; i<=len1; i++ ) M[i][0] = 0;
13 for( i=0; i<=len2; i++ ) M[0][i] = 0;
14 for( i=1; i<=len1; i++ ){
15 for( j=1; j<=len2; j++ ){
16 if( x[i-1]==y[j-1] ){
17 M[i][j] = M[i-1][j-1]+1;
18 }
19 else{
20 M[i][j] = max(M[i-1][j],M[i][j-1]);
21 }
22 }
23 }
24 printf("%d\n", M[len1][len2]);
25 }
26 return 0;
27 }
【LCIS 问题】
LCIS 问题(Longest Common Increasing Subsequence),求序列的最长公共上升子序列。
dp[i][j] 表示 a[1]~a[i] 和 b[1]~b[j]并以b[j]结尾的最长公共上升子序列,如果a[i]不等于b[j]时,很明显dp[i][j]的值就等于dp[i-1][j];如果a[i]等于b[j]时,就在b[1]~b[j]中寻找b[k]使得b[j]>b[k]而且dp[i][k]是最大的。即状态转移方程为:
1 #include <bits/stdc++.h>
2 using namespace std;
3 typedef long long ll;
4 const int maxn = 1111;
5
6 int a[maxn],b[maxn],dp[maxn][maxn];
7 int main()
8 {
9 int n,m;
10 scanf("%d%d",&n,&m);
11 for(int i=1;i<=n;i++){
12 scanf("%d",&a[i]);
13 dp[i][0] = 0;
14 }
15 for(int i=1;i<=m;i++){
16 scanf("%d",&b[i]);
17 dp[0][i]=0;
18 }
19 dp[0][0]=0;
20 int max1;
21 for(int i=1;i<=n;i++){
22 max1=0;//用来记录小于a[i]的b[j]中最大的dp[i][j];
23 for(int j=1;j<=m;j++){
24 if(a[i]!=b[j]){
25 dp[i][j]=dp[i-1][j];
26 }
27 else{
28 for(int k=1;k<j;k++){
29 if( b[j]>b[k]){
30 max1 = max(max1,dp[i][k]);
31 }
32 }
33 dp[i][j]=max1+1;
34 }
35 }
36 }
37
38
39 int ans=0;
40 for(int i=1;i<=m;i++){
41 ans=max(ans,dp[n][i]);
42 }
43 printf("%d\n",ans);
44 // printf("%d\n",dp[n][m]);
45 return 0;
46 }
View Code
以上程序的复杂度为O(n^3),n太大的话就会超时。所以应该优化一下,当a[i] == b[j]时,才去遍历寻找max1,是在b[j]>b[k]的条件下,即在a[i]>b[k]所以可以先在[1,m]里面保存好max1的值,然后当a[i] == b[j]时,就可以直接令dp[i][j] = max1+1,时间复杂度就降为O(n^2);因此对于决策集合中的元素只增多不减少的情景,就可以维护一个变量来记录决策集合的当前消息,只需要两重循环即可求解。
1 #include <bits/stdc++.h>
2 using namespace std;
3 typedef long long ll;
4 const int maxn = 1111;
5 int a[maxn],b[maxn],dp[maxn][maxn];
6
7 int main()
8 {
9 int n,m;
10 scanf("%d%d",&n,&m);
11 for(int i=1;i<=n;i++){
12 scanf("%d",&a[i]);
13 dp[i][0]=0;
14 }
15 for(int i=1;i<=m;i++){
16 scanf("%d",&b[i]);
17 dp[0][i]=0;
18 }
19 int max1;
20 dp[0][0]=0;
21 for(int i=1;i<=n;i++){
22 max1=0;
23 for(int j=1;j<=m;j++){
24 if( a[i]!=b[j] ){
25 dp[i][j]=dp[i-1][j];
26 }
27 else{
28 dp[i][j]=max1+1;
29 }
30 if( a[i]>b[j] && max1<dp[i][j]){
31 max1 = dp[i][j];
32 }
33 }
34 }
35
36 int ans=0;
37 for(int i=1;i<=m;i++){
38 ans=max(ans,dp[n][i]);
39 }
40 printf("%d\n",ans);
41 return 0;
42 }
View Code
观察状态转移方程可以进行通过滚动数组压缩空间;即状态转移方程为:dp[j] = max(dp[k])+1(1<=k<j && b[j]>b[k])
1 #include <bits/stdc++.h>
2 using namespace std;
3 typedef long long ll;
4 const int maxn = 1111;
5 int a[maxn],b[maxn],dp[maxn];
6
7 int main()
8 {
9 int n,m;
10 scanf("%d%d",&n,&m);
11 for(int i=1;i<=n;i++){
12 scanf("%d",&a[i]);
13 }
14 for(int i=1;i<=m;i++){
15 scanf("%d",&b[i]);
16 dp[i]=0;
17 }
18 int max1;
19 for(int i=1;i<=n;i++){
20 max1 = 0;
21 for(int j=1;j<=m;j++){
22 if( a[i]==b[j] ){
23 dp[j]=max1+1;
24 }
25 if( a[i]>b[j] && max1<dp[j] ){
26 max1 = dp[j];
27 }
28 }
29 }
30
31 int ans=0;
32 for(int i=1;i<=m;i++){
33 ans=max(ans,dp[i]);
34 }
35 printf("%d\n",ans);
36 return 0;
37 }