在平面直角坐标系求四边形周长的最小值是初二数学的重要题型，本文就例题详细解析这类题型的解题思路，希望能给初二学生的数学学习带来帮助。
例题
如图，已知M(0,2)，P(7,4)，E(a,0)，F(a+1,0)，求a为何值时，四边形PMEF的周长最小，并求出最小值。
解题过程：
过点P作PA⊥y轴于点A
根据题目中的条件：M(0,2)，P(7,4)，E(a,0)，F(a+1,0)，则MO=2，PA=7，AO=4；
根据结论：AO=4，MO=2，则AM=AO-MO=2；
根据勾股定理和结论：PA⊥y轴，AM=2，PA=7，PM^2=PA^2+AM^2，则PM=√53；
根据题目中的条件：E(a,0)，F(a+1,0)，则EO=a，FO=a+1；
根据结论：EO=a，FO=a+1，则EF=FO-EO=1；
根据题目中的条件和结论：EF=1，PM=√53，四边形PMEF的周长=PM+ME+EF+PF，则四边形PMEF的周长=ME+PF+1+√53；
所以，当ME+PF取到最小值时，四边形PMEF的周长取到最小值。
在y轴的负半轴取一点B，使得BO=MO，连接BE，在线段PA上取一点C，使得PC=1，连接CE
根据中垂线性质和题目中的条件：线段中垂线上的点到这条线段两端距离相等，BO=MO，x轴⊥y轴，则ME=BE；
根据平行线的性质和题目中的条件：垂直于同一直线的两直线平行，PA⊥y轴，x轴⊥y轴，则PA∥x轴;
根据平行四边形的判定和结论：一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，PA∥x轴，PC=EF=1，则四边形PCEF为平行四边形；
根据平行四边形的性质和结论：平行四边形的对边相等，四边形PCEF为平行四边形，则PF=CE；
根据结论：PF=CE，ME=BE，则PF+ME=CE+BE；
所以，当M、E、C三点在同一直线上时，CE+BE取到最小值，则PF+ME取到最小值=BC。
根据结论：PA=7，PC=1，则AC=PA-PC=6；
根据结论：AO=4，BO=MO=2，则AB=AO+BO=6；
根据勾股定理和结论：PA⊥y轴，AC=6，AB=6，BC^2=AC^2+AB^2，则BC=6√2；
根据结论：四边形PMEF的周长=ME+PF+1+√53，PF+ME的最小值=BC=6√2，则四边形PMEF的周长最小值=1+√53+6√2
根据结论：PA⊥y轴，AC=6，AB=6，则△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=45°；
根据结论：x轴⊥y轴，∠ABC=45°，则∠OEB=45°；
根据等角对等边性质和结论：∠ABC=∠OEB=45°，则OE=OB；
根据结论：OE=OB，BO=MO=2，则OE=2；
所以，点E的坐标为(2,0)，即a=2时，四边形PMEF的周长取到最小值1+√53+6√2。
