java 线性规划 算法 线性规划实例及求解

线性规划求解

• 线性规划概念介绍

• 模型建立步骤
• 基本的线性模型例子
• 模型一般形式和标准形式
• 单纯形法、大M法、两阶段法
• 总结

线性规划概念介绍

线性规划是优化问题的特殊情形，其模型中的目标函数和约束条件均为决策变量的线性函数。

模型建立步骤

1. 确定决策变量
2. 确定目标函数
3. 确定约束条件

基本的线性模型例子

列1【合理下料问题】用长度为500厘米的条材，截成长度为98厘米和78厘米两种毛胚，要求长98厘米的毛胚1000根，78厘米长的毛胚2000更，应增氧才能使所用的原材料最少，试建立问题的数学模型。
解一根500厘米的条材截成98厘米和78厘米长度的毛胚有很多种方案，列出方案表如下：

方案序号	98厘米毛胚数	78厘米毛胚数	剩余厘米数
1	0	6	32
2	1	5	12
3	2	4	70
4	3	3	50
5	4	2	30
6	5	1	10

设决策变量x_i($1\le i \le6$)表示第i个方案所用的条材数。目标函数可以表示为：
$min z=x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6$
约束条件就是
$\left\{ \begin{array}{c} x_2+2x_3+3x_4+4x_5+5x_6 \ge1000 \\ 6x_1+5x_2+3x_3+2x_4+x_5 \ge2000 \\ x_1,x_2,\ldots,x_6 \ge0且取整数 \end{array} \right.$
由于是实际问题，决策变量应该取非负整数。

列2【0-1背包问题】一个旅行者要在背包里装一些最有用的旅行物品。背包容积为a，携带物品总质量最多为b。现有物品m件，第j件物品体积为a_j，质量为b_j（j=1,2,…,m）。为了比较物品的有用程度，假设第j件物品的价值是c_j（j=1,2,…,m）。若每件物品只能携带整件，每件物品都能放入背包，并且不考虑放入背包里面的间隙。问旅行者应当携带那几件物品才能使得物品的总价值最大？试建立问题的数学模型。
解每件物品有被选择和不被选择两种可能，为此，设$x_j$为第j件物品装入的数量，则对应于m件物品引入m个0-1变量：

$x_j= \begin{cases} 1, & \text{(携带第j件物品)} \\[2ex] 0, & \text{(不携带第j件物品)}（j=1,2,...,m） \end{cases}$
目标函数=物品携带的总价值 $z=\sum_{j=1} ^m c_jx_j$
约束条件，所携带的物品总体积不超过a，总质量不超过b
数学模型如下：
z=$\sum_{j=1} ^m c_jx_j$
$s.t.=\left \{ \begin{array}{c} \sum_{j=1} ^m a_jx_j \le a \\ \\ \sum_{j=1} ^m b_jx_j \le b \\ \\ x_j=0或1（j=1,2,...,m） \end{array} \right.$
该模型决策变量x只能取0或1，成为0-1整数规划，简称0-1规划。

列3【运输问题】某公司有3个同类产品的工厂（简称产地A_i，i=1,2,3），生产的产品由4个销售点（简称销售地B_i，i=1,2,3,4）销售，各工厂的生产量（用a_i表示），各销售点的销量（用b_j表示）以及各工厂到销售点的单位产品运价（用c_ij表示）如表2.3表示。问该公司应如何调运产品，在满足各销售点的需求量的前提下，使总的运费最少？
表2.3 产量、销量与单位产品运价关系表

产地\单位运价\销地	B1	B2	B3	B4	产量ai
A1	3	11	3	10	7
A2	1	9	2	8	4
A3	7	4	10	5	9
销量bj	3	6	5	6	-

解本问题中“如何制定调运方案”，就是指的安排一个产地和一个销地各应安排多大的运量，因此令从产地 A_i到销地B_j的运量为x_ij（i=1,2,3;j=1,2,3,4）作为本问题的决策变量。
目标函数=总运费=$z=\sum_{i=1} ^3\sum_{j=1} ^4 c_{ij} x_{ij}$
约束条件：由表2.3可知，运输问题的总产量（7+4+9）=总销量（3+6+5+6），所以运输问题是平衡运输问题。第一个约束条件是：各产地运往某一销地的物品数量之和等于该销地的销量，即$\sum_{i=1} ^3x_{ij}=b_j(j=1,2,3,4)$,第二个约束条件：某一产地运往各销售地的物品数量之和等于该地的产量，即$\sum_{j=1} ^4x_{ij}=a_i(i=1,2,3)$，第三个约束条件：决策变量为非负，即$x_{ij}\ge0(i=1,2,3;j=1,2,3,4)$。
因此数学模型可表述如下：
$min z=\sum_{i=1} ^3\sum_{j=1} ^4 c_{ij} x_{ij}$
$s.t.=\left \{ \begin{array}{c} \sum_{i=1} ^3x_{ij}=b_j(j=1,2,3,4) \\ \\ \sum_{j=1} ^4x_{ij}=a_i(i=1,2,3) \\ \\ x_{ij}\ge0(i=1,2,3;j=1,2,3,4) \end{array} \right.$

模型一般形式和标准形式

一般形式：
$max(min)z=c_1x_1+c_2x_2+\ldots+c_nx_n$
$s.t.=\left \{ \begin{array}{c} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n \le(=,\ge) b_1 \\ \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\ldots+a_{2n}x_n \le(=,\ge) b_2 \\ \\ ......\\\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n \le(=,\ge)b_2\\\\ x_1,x_2,...,x_n\ge0 \end{array} \right.$
标准形式(也就是把一般形式的不等式转换成等式，目标函数一般转化为min方便后面求解)：
$min z=\sum_{j=1} ^n c_j x_j$
$s.t.=\left \{ \begin{array}{c} \sum_{j=1} ^na_{ij}x_j=b_i(i=1...,m) \\ \\ x_j\ge0(j=1,...,n) \end{array} \right.$
转化方法：
首先先将x全部转化为$\ge$,之后转变约束条件：对于小于的不等式，加一个松弛变量，对于大于的不等式，减一个松弛变量，之后是：目标函数$max变min$，整体乘-1就可以了。
例如：将下列线性规划转化为标准模型
$max z=5x_1-2x_2+3x_3$
$s.t.=\left \{ \begin{array}{c} 2x_1-x_2+5x_3\ge-1 \\ \\ x_1+x-3\le2\\\\ x_1\le0,x_2\ge0,x_3无约束 \end{array} \right.$
分析：$x_1\le0于是设x_1$
转化标准型为：
$min z$
$s.t.=\left \{ \begin{array}{c} 2x_1$

单纯形法、大M法、两阶段法

1）单纯形法
理论很复杂直接上题
列1单纯形法求解下列线性规划
$min z=x_1-2x_2+x_3$
$s.t.=\left \{ \begin{array}{c} x_1+x_2-2x_3+x_4=10 \\ \\ 2x_1-x_2+4x_3\le8\\\\ -x_1+2x_2-4x_3\le4\\\\ x_j\ge0,j=1,2,3,4 \end{array} \right.$
解：A转化为标准形式：
$min z=x_1-2x_2+x_3+0x_4+0x_5+0x_6$
$s.t.=\left \{ \begin{array}{c} x_1+x_2-2x_3+x_4=10 \\ \\ 2x_1-x_2+4x_3+x_5=8\\\\ -x_1+2x_2-4x_3+x_6=4\\\\ x_j\ge0,j=1,2,3,4,5,6 \end{array} \right.$
B列出单纯形表如下：

	Cj		|	1	-2	1	0	0	0
$min z$	$min z$	b	|	x1	x2	x3	x4	x5	x6
0	x4	10	|	1	1	-2	1	0	0
0	x5	8	|	2	-1	4	0	1	0
0	x6	2	|	-1	2	-4	0	0	1
	$\partial_j$		|	1	2	-1	0	0	0

C_j表示的是目标函数对应x_j的系数，在系数行列式里面选取一个单位矩阵，得到的三个变量就是x₄，x₅，x₆。
b表示的不等式右边的数字
最后一行 $\partial_j$是检验数，极小问题的结束条件就是检验数全部都是正数，极大问题的结束条件就是检验数全部都是负数。
$\partial_1=C_j-C_B*x_1=1- \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2\\ -1\\ -1\\ \end{pmatrix}=1$
C求解
由于检验数 $\partial_j$不全大于0于是选取负数中最小的，在这一列里面找非负的数对应的x就是入基，让b/对应的数，取最小的就是出基。

	Cj		|	1	-2	1	0	0	0
$\partial_j$	$\partial_j$	b	|	x1	x2	x3	x4	x5	x6	$\begin{array}{rrrr|r} &C_B &x_b &b & x_1 & x_2 & x_3 & x_4& x_5 & x_6 \\ \hline\\ & 0 & x_4 & 8 & \frac{3}{2} & 0 & 0 & 1 & 0 & -\frac{1}{2} \\\\ & 0 & x_5 & 10 & \frac{3}{2} & 0 & [2 ]& 0 & 1 & \frac{1}{2} \\\\ & -2 & x_2 & 2 & -\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 0 & \frac{1}{2}\\\\ \hline\\ &&\partial_j & & 0 & 0 & -3 & 0 & 0 & 1 \end{array}$
0	x4	10	|	1	1	-2	1	0	0	10/1
0	x5	8	|	2	-1	4	0	1	0
0	x6	2	|	-1	[2]	-4	0	0	1	4/2
	$\begin{array}{rrrr|r} &C_B &x_b &b & x_1 & x_2 & x_3 & x_4& x_5 & x_6 \\ \hline\\ & 0 & x_4 & 8 & \frac{3}{2} & 0 & 0 & 1 & 0 & -\frac{1}{2} \\\\ & 0 & x_5 & 10 & \frac{3}{2} & 0 & [2 ]& 0 & 1 & \frac{1}{2} \\\\ & -2 & x_2 & 2 & -\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 0 & \frac{1}{2}\\\\ \hline\\ &&\partial_j & & 0 & 0 & -3 & 0 & 0 & 1 \end{array}$		|	1	-2	1	0	0	0

用x₂代替x₆,化这个数字2为1，这列其他的数为0继续单纯形法,替代只需要修改变量和系数，即0 x₆变成-2 x₂，其他的不需要变。

$\begin{array}{rrrr|r} &C_B &x_b &b & x_1 & x_2 & x_3 & x_4& x_5 & x_6 \\ \hline\\ & 0 & x_4 & 8 & \frac{3}{2} & 0 & 0 & 1 & 0 & -\frac{1}{2} \\\\ & 0 & x_5 & 10 & \frac{3}{2} & 0 & [2 ]& 0 & 1 & \frac{1}{2} \\\\ & -2 & x_2 & 2 & -\frac{1}{2} & 1 & -2 & 0 & 0 & \frac{1}{2}\\\\ \hline\\ &&\partial_j & & 0 & 0 & -3 & 0 & 0 & 1 \end{array}$

$确定入基为x_3，出基为x_5，继续单纯形法为：$

$\begin{array}{rrrr|r} &C_B &x_b &b & x_1 & x_2 & x_3 & x_4& x_5 & x_6 \\ \hline\\ & 0 & x_4 & 8 & \frac{3}{2} & 0 & 0 & 1 & 0 & -\frac{1}{2} \\\\ & 1 & x_3 & 5 & \frac{3}{4} & 0 & 1& 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\\\ & -2 & x_2 & 12 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1\\\\ \hline\\ &&\partial_j & & \frac{9}{4} & 0 & 0 & 0 & \frac{3}{2}& \frac{7}{4} \end{array}$

此时所有的$\partial_j\ge0$,达到结束条件，此时的b这一行就是x的取值，其他的都是0

$x_2=12,x_3=5,x_4=8,x_1=x_5=x_6=0$

由于目标函数只包含$x_1,x_2,x_3$,于是最优解X^*=(0,12,5,8)^T

2）大M法

这个M是值很大的正数

列：使用大M法求解下列线性规划

max z=-3x₁+x₃

$s.t.=\left \{ \begin{array}{c} x_1+x_2+x_3\le4 \\ \\ -2x_1+x_2-x_3\ge1\\\\ 3x_2+x_3=9\\\\ x_1x_2,x_3\ge0 \end{array} \right.$

转化为标准形式

$min z$

$s.t.=\left \{ \begin{array}{c} x_1+x_2+x_3+x_5=4 \\ \\ -2x_1+x_2-x_3-x_5=1\\\\ 3x_2+x_3=9\\\\ x_1x_2,x_3,x_4,x_5\ge0 \end{array} \right.$

列出系数矩阵如下

$A=\left[ \begin{array}{ccc} 1&1&1&[1]&0\\ -2&1&-1&[0]&-1\\ 0&3&1&[0]&0 \end{array} \right]$

发现没有单位矩阵不能使用单纯形法于是采用大M法，原来矩阵有一行于是补两个人工变量凑成一个单位矩阵

$A=\left[ \begin{array}{ccccc|cc} 1&1&1&[1]&0&0&0\\ -2&1&-1&[0]&-1&1&0\\ 0&3&1&[0]&0&0&1 \end{array} \right]$

则原来的线性规划转化为：

$min z$

$s.t.=\left \{ \begin{array}{c} x_1+x_2+x_3+x_5=4 \\ \\ -2x_1+x_2-x_3-x_5+x_6=1\\\\ 3x_2+x_3+x_7=9\\\\ x_j\ge0(j=1,...,7) \end{array} \right.$

解答过程如下：

3)两阶段法

第一步：继承了大M法,先将目标函数，变成人工变量相加，其中M取1

其他条件不变，用单纯刑法使得所有的$\partial_j\ge0$，并且C_B不含人工变量，求解如下：

如果包含人工变量替换为其他变量

第二步：以第一阶段的最终单纯形表为基础，出去人工变量$x_6,x_7$及其系数列，只恢复基础变量的系数，其他不变，继续进行迭代，结果如下：

总结

练题是最重要的，多做多想。