1 堆的概念
堆是一棵顺序存储的完全二叉树。
其中每个结点的关键字都不大于其孩子结点的关键字，这样的堆称为小根堆。
其中每个结点的关键字都不小于其孩子结点的关键字，这样的堆称为大根堆。
举例来说，对于n个元素的序列{R0, R1, ... , Rn}当且仅当满足下列关系之一时，称之为堆：
(1) Ri <= R2i+1 且 Ri <= R2i+2 (小根堆)
(2) Ri >= R2i+1 且 Ri >= R2i+2 (大根堆)
其中i=1,2,…,n/2向下取整;
如上图所示，序列R{3, 8, 15, 31, 25}是一个典型的小根堆。
堆中有两个父结点，元素3和元素8。
元素3在数组中以R[0]表示，它的左孩子结点是R[1]，右孩子结点是R[2]。
元素8在数组中以R[1]表示，它的左孩子结点是R[3]，右孩子结点是R[4]，它的父结点是R[0]。可以看出，它们满足以下规律：
设当前元素在数组中以R[i]表示，那么，
(1) 它的左孩子结点是：R[2*i+1];
(2) 它的右孩子结点是：R[2*i+2];
(3) 它的父结点是：R[(i-1)/2];
(4) R[i] <= R[2*i+1] 且 R[i] <= R[2i+2]。
2 重点
首先，按堆的定义将数组R[0..n]调整为堆（这个过程称为创建初始堆），交换R[0]和R[n]；
然后，将R[0..n-1]调整为堆，交换R[0]和R[n-1]；
如此反复，直到交换了R[0]和R[1]为止。
以上思想可归纳为两个操作：
（1）根据初始数组去构造初始堆（构建一个完全二叉树，保证所有的父结点都比它的孩子结点数值大）。
（2）每次交换第一个和最后一个元素，输出最后一个元素（最大值），然后把剩下元素重新调整为大根堆。
当输出完最后一个元素后，这个数组已经是按照从小到大的顺序排列了。
先通过详细的实例图来看一下，如何构建初始堆。
设有一个无序序列 { 1, 3, 4, 5, 2, 6, 9, 7, 8, 0 }。
构造了初始堆后，我们来看一下完整的堆排序处理：
还是针对前面提到的无序序列 { 1, 3, 4, 5, 2, 6, 9, 7, 8, 0 } 来加以说明。
增序排列，利用大根堆。
1 //注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
//其中，N为数组下标索引值，如数组中第1个数对应的N为0。
2
3 void sift(RecType arr[],int low,int high)
4 {
5 int i=low,j=2*i+1; //arr[j]是arr[i]的左孩子
6 RecType tmp=arr[i];
7 while(j<=high)
8 { if(j<high && arr[j]<arr[j+1]) //若右孩子较大，把j指向右孩子
9 j++;
10 if(tmp<arr[j])
11 { arr[i]=arr[j]; //若根节点小于最大的孩子的关键字，把arr[j]调整到双亲结点位置上。
12 i=j; //修改i，j,以便继续向下筛选
13 j=2*i+1;
14 }
15 else break; //若根节点大于等于最大孩子的关键字，筛选结束
16 }
17 arr[i]=tmp;
18 }
19
20 void HeapSort(RecType arr[],int n) //arr[0...n-1]
21 {
22 int i;
23 for(i=n/2-1;i>=0;i--) //循环建立初始堆，调用sift算法
24 sift(arr,i,n-1);
25 for(i=n-1;i>0;i--) //进行n-1趟完成堆排序，每一趟堆中元素个数减1
26 {
27 swap(arr[0],arr[i]);
28 sift(arr,0,i-1); //arr[0..i-1]，得到i-1个结点的堆
29 }
30 }堆排序的平均时间复杂度为O(nlog2n),是一种不稳定的排序方法。
