正态分布、正态分布采样及Python实现

  • 多元正态分布(多元高斯分布)
  • 协方差矩阵
  • 协方差分解
  • 变量的线性变换(正态分布采样原理)
  • python实现
  • 参考文献


多元正态分布(多元高斯分布)

直接从多元正态分布讲起。多元正态分布公式如下:
python生成多维正态分布数据 python多元正态分布_Python

其中python生成多维正态分布数据 python多元正态分布_多元高斯分布采样_02代表每个维度上的均值,是一个python生成多维正态分布数据 python多元正态分布_多元高斯分布采样_03维的向量,而python生成多维正态分布数据 python多元正态分布_正态分布_04代表协方差矩阵,是一个python生成多维正态分布数据 python多元正态分布_正态分布_05正定矩阵。上述公式可简写为:python生成多维正态分布数据 python多元正态分布_python生成多维正态分布数据_06这就是多元正态分布的定义,均值好理解,就是高斯分布的概率分布值最大的位置,进行采样时也就是采样的中心点。而协方差矩阵在多维上形式较多。

协方差矩阵

一般来说,协方差矩阵有三种形式,分别称为球形、对角和全协方差。以二元为例:
python生成多维正态分布数据 python多元正态分布_正态分布_07 python生成多维正态分布数据 python多元正态分布_协方差矩阵_08 python生成多维正态分布数据 python多元正态分布_python生成多维正态分布数据_09

对于N元正态分布有:python生成多维正态分布数据 python多元正态分布_多元高斯分布采样_10
为了方便展示不同协方差矩阵的效果,我们以二维为例。(书上截的图,凑活着看吧,是在不想画图了)




python生成多维正态分布数据 python多元正态分布_正态分布_11


其实从这个图上可以很好的看出,协方差矩阵对正态分布的影响,也就很好明白了这三个协方差矩阵是哪里来的名字了。可以看出,球形协方差矩阵,会产生圆形(二维)或者球形(三维)的等高线,对角协方差矩阵和全协方差矩阵,会产生椭圆形的等高线。更一般地,在一个D维空间中,球形协方差矩阵,会产生一个D维球面等高线;对角协方差矩阵,会产生一个坐标轴对其的椭球型等高线;全协方差矩阵,会在任意位置产生一个坐标轴对其的椭球型等高线。

当协方差矩阵是球形的或者是对角的,单独的变量之间是独立的

协方差分解

时间不足,具体解释以后再补

下面是协方差分解的原理图



python生成多维正态分布数据 python多元正态分布_正态分布_12


变量的线性变换(正态分布采样原理)

多元正态的形式在线性变换python生成多维正态分布数据 python多元正态分布_协方差矩阵_13下保持不变,例如下图:



python生成多维正态分布数据 python多元正态分布_正态分布_14


假设原始分布是python生成多维正态分布数据 python多元正态分布_python生成多维正态分布数据_06
那么经过python生成多维正态分布数据 python多元正态分布_协方差矩阵_16变换后,变量y的分布为:python生成多维正态分布数据 python多元正态分布_python生成多维正态分布数据_17

这个关系提供了从均值为python生成多维正态分布数据 python多元正态分布_多元高斯分布采样_18、协方差为python生成多维正态分布数据 python多元正态分布_协方差矩阵_19的正态分布抽取样本的简单方法。首先从单位正态分布中,抽取样本python生成多维正态分布数据 python多元正态分布_Python_20,然后应用python生成多维正态分布数据 python多元正态分布_python生成多维正态分布数据_21进行变换

python实现

多元正态分布在python的numpy库中有很方便一个函数:

np.random.multivariate_normal(mean=mean, cov=conv, size=N)

这个函数中,mean代表均值,是在每个维度中的均值。cov代表协方差矩阵,就像上面讲的那种形式,协方差矩阵值的大小将决定采样范围的大小。size代表需要采样生成的点数,此时输出大小为(N*D)的坐标矩阵。

另外,其他参数包括:check_valid,这个参数用于决定当cov即协方差矩阵不是半正定矩阵时程序的处理方式,它一共有三个值:warn,raise以及ignore。当使用warn作为传入的参数时,如果cov不是半正定的程序会输出警告但仍旧会得到结果;当使用raise作为传入的参数时,如果cov不是半正定的程序会报错且不会计算出结果;当使用ignore时忽略这个问题即无论cov是否为半正定的都会计算出结果

tol:检查协方差矩阵奇异值时的公差,float类型。

下面是一个小demo

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

mean = np.array([2,1])              # 均值
conv = np.array([[0.5, 0.0],        # 协方差矩阵
                 [0.0, 0.5]])
axis = np.random.multivariate_normal(mean=mean, cov=conv, size=200)
x, y = np.random.multivariate_normal(mean=mean, cov=conv, size=1000).T

# print(axis[:])

plt.plot(axis[:, 0], axis[:, 1], 'ro')
plt.show()
plt.plot(x, y, 'ro')
plt.show()

注意,单独取出每个坐标轴的坐标数组时,需要在最后加上.T,否则会报错 效果展示:



python生成多维正态分布数据 python多元正态分布_正态分布_22


python生成多维正态分布数据 python多元正态分布_多元高斯分布采样_23


协方差值的大小对采样的影响:

mean = np.array([2,1])              # 均值
conv = np.array([[0.5, 0.0],        # 协方差矩阵
                 [0.0, 0.5]])

conv2 = np.array([[10, 0.0],        # 协方差矩阵
                 [0.0, 10]])
axis = np.random.multivariate_normal(mean=mean, cov=conv, size=200)
x, y = np.random.multivariate_normal(mean=mean, cov=conv2, size=200).T

# print(axis[:])

plt.plot(axis[:, 0], axis[:, 1], 'ro')
plt.show()
plt.plot(x, y, 'ro')
plt.show()

效果如下:



python生成多维正态分布数据 python多元正态分布_正态分布_24


python生成多维正态分布数据 python多元正态分布_Python_25


这里没有设定随机种子店,每次随机数会有所不同。

参考文献

《 计算机视觉模型、学习和推理》