U1-绝对误差和相对误差

  • 有效数字和绝对误差以及相对误差之间是可以相互转换的。
    有效数字转绝对误差1/2*10^m-n
    有效数字转相对误差=绝对误差/近似值
    绝对误差转有效数字=已知m-n与m的值求n
    绝对误差转相对误差除近似数即可
    相对误差转有效数字:p是x的近似数 p=p1p2p3p4p5 * 10^-n (p1!=0) 若相对误差小于等于5/p1 * 10^-n，即至少有n位有效数字
  • 遇到多个近似数，求四则运算的函数的误差，先求单个近似数的绝对误差，然后再利用二元函数误差公式求其绝对误差，再除函数值即可得到相对误差。一定要先从每一个近似数算起，先算每一个近似数的有效数字以及绝对误差，再利用这些信息，求近似数组合函数的误差。

U2-向量范数与矩阵范数

  • 向量范数 （通常都是证明题）
    理清所有向量范数的概念,是解决证明题的关键
    向量一范数：向量绝对值求和
    向量二范数：向量平方求和开根号
    向量无穷范数：向量无穷方求和再开无穷根号=Max向量最大值
    向量n范数：n方求和开n方根
  • 矩阵范数
    矩阵一范数：||A||1=列绝对值求和最大值
    向量无穷范数：行绝对值求和最大值
    向量2范数/谱范数：A^T *A 的最大特征值开根号
    谱半径：A的最大特征值
    （注意：求出复数特征值，其谱半径即复数模长,谱半径是A的最大特征值不开根号，谱范数是A转置×A的最大特征值，开根号）

U3-非线性方程求根

  • 二分法
    二分法的误差(b-a)/2^n+1(n为迭代次数)
    表格的写法依次为 n an bn xn f(xn) n从0开始
  • 不动点迭代
    不动点迭代两个重要点：迭代函数和确定区间
    迭代函数要单调
    区间题目会给出，不给出自己画图大概确定
  • 不动点迭代收敛性
    还是两个重要点：印内性a<f(x)<b 和压缩性f(x)导数<=L<1 (充分条件)
  • 不动点迭代的误差（背）
  • 牛顿法迭代
  • 迭代法收敛阶（包括牛顿和不动点）
    迭代公式g(x) 假设p是不动点，g(1)§=…=g(m-1)§=0 g(m)§!=0 即p邻近m阶收敛
    不动点迭代和牛顿迭代殊途同归，唯一不同就是迭代公式的不同 ,不动点迭代的g(x)就是牛顿迭代Xk+1右边的式子。
  • 求迭代极限（背公式）

U4-Dolittle分解

  • 原方程组 Ax=b A=LU 即LUx=b 令Ux=y Ly=b 上述为此章全部公式
  • 记住LU的初始矩阵特点，L要填写的部分为下办部分，对角线全为1，上三角全为0，U的下三角全为0，上三角和对角线为要填写的部分。

U5-Jacobi与Guass迭代

  • 两个收敛条件 1.系数矩阵对角线严格占优 2.迭代矩阵谱半径<1
  • Jacobi两种求迭代矩阵的办法
  • Guass求迭代矩阵公式
  • 求迭代矩阵最大特征值也就是迭代矩阵谱半径的快速方法 一个lamuda×对角线，一个×L+U

U7-拉格朗日插值和牛顿插值（点在线上）

  • 近似曲线的公式
  • 截断误差

U8-最小二乘法（点不在线上）

  • 矛盾方程组
  • 法方程组
  • 求得a,b

U9-数值积分与数值微分

  • 三种题型
  • 1.构造求积公式（解系数A0，A1），确定代数精度（1,x,x^2）,最后一个成立的次方数为代数精度
  • 2.复化求积公式：梯形公式和simpson:分别两个重要点: 积分公式和误差
  • 误差是为了求切分区间的段数n，然后再用积分公式求出积分近似值。