二次函数比一次函数要略微复杂一些。
先回顾一元二次方程。
例：
（一）解一元二次方程：
这个方程有两个解法：凑多项式和凑平方
1.用凑多项式的方法：
=2，
=-1
2.用凑平方的方法：
因此 ：
又因为：
所以有
-1/2=3/2
=2
-1/2=-3/2
=-1
3.套用一元二次方程求根公式：
x=(-b±
)/2a
代入a=1，b=-1，c=-2可得解。
（二）回顾一元二次方程的求解方法。
在解方程前，首先用公式判断方程是否有解：
时有两个不同的解
时有一个解（或者说两个解相同）
时无解
2.1凑多项式法
这个方法的优点在于用起来非常快，缺点在于不能用于所有的一元二次方程。
用这种解法需要对数字有一定的敏感性，通常是心算对c进行因式分解，根据b和c的正负号，将其分为和或差为b的两个因子。这种敏感性可以通过大量做题来培养，但并不是必要的。
2.2凑平方法
这个解法是一元二次方程的通用解法，是求根公式、根的判别式的来源。
其原理为：
(1)先把常数项c移到等式右边，两边同时除以a得:
(2)再利用和平方的展开公式：
(3)根据二次项系数a和一次项系数求出
，因此需要配方的常数项
然后等式两边同时加上
：
(4)进一步变化为：
(5)因此：
(6)求得：
)
根据方程的求解公式可以得到：
这两个公式非常容易推导，把两个根相加和相乘就可以，没有必要专门记忆，但是牢记的话会使解一些题目变得方便。
特别的，在判断方程是否有解时，用到(4)的等式：
左边是平方项，必然≥0
右边=
当
时，左边括号里有2种可能，分别为正的和负的，所以有2个解。
当
时，左边只能等于0
当
时，等式不可能成立，无解。
一元二次方程的内容就这些，必须要非常熟练地掌握，做到看到方程就自动反应出求根公式并代入数字，对于两个根都是整数的要能马上口算求解。
接下来开始进入二次函数
二次函数
把一元二次方程=0的那边，换成f(x)就得到了二次函数：
下面是一元二次方程
的图像，有个直观理解：
f(x)=x^2-x-2
现在我们来研究二次函数
为了方便起见，我们要用另一种方式来表示二次函数
它展开就是：
与：
相比较，可以看出p和q的取值分别为：
现在我们正式开始研究二次函数
（一）单调性
当x＞p时，x-p＞0，
随着x增加而增加
当x＜p时，x-p＜0，
随着x增加而减小
q是常数，对增减性无影响
现在就看a的了
当a＞0，
增大时函数也增大，
减小时函数也减小
函数在（-∞，p）上递减，在（p，+∞）上递增。
当a＜0，
增大时函数反过来减小，
减小时函数反过来增大
函数在（-∞，p）上递增，在（p，+∞）上递减。
现在证明：
，当a＞0时，在(p,+∞）是递增的
且
，有：
因为，所以
因为，所以
＞0
因为a＞0
所以＞0
所以＞0
所以f(x)在(p,+∞）是递
练习一：请证明当a＜0时，f(x)在(-∞，p)是递增的，在(p,+∞)是递减的
二次函数的最大值与最小值
当a＞0时，由于函数在（-∞，p）递减，在（p，+∞）递增。可以得知，x=p时，是函数的最小值为q
当a＜0时，由于函数在（-∞，p）递增，在（p，+∞）递减。可以得知，x=p时，是函数的最大值为q
现在来看个具体例子：
（红色） 和
（绿色）
首先：
当x＞2时，
是递增的
当x＜2时，
是递减的
因此可以从图上看出，x=2是这两个函数图像增减性的分割线
还可以从图上看出：
f(x)的a=2，它的开口是向上的，
递增时函数值也递增，
递减时函数值也递减，f(x)在x=2时是它的最小值，f(2)=3
g(x)的a=-2，它的开口是向下的，
递增时函数值反过来递减，
递减时函数值反过来递增，f(x)在x=2时是它的最大值，f(2)=3
从感性上也很好理解，前面多了个负号，绝对值越大，值越小。
练习二：请求解下列函数的单调区间
（二）对称性
对二次函数：
当p=0时，函数为：
，它的对称轴是x=0（即y轴），是偶函数。
证明很简单：对任意的x，
，得证。
从（一）单调性中的图可以很直观地看出。
一般的，二次函数：
都有对称轴x=p，函数图像关于直线x=p镜面对称
也就是说任取一对数字
和
只要
（p是
和
的中点），都有
证明如下：
得证。
（三）函数的平移变换
我们来比较几个函数：
f(x)是最基本的二次函数，我实在想不出比它更简单的了。当x＜0时它递减，当x＞0时它递增。它取最小值的点为(0,0)（原点），它的对称轴为x=0（y轴）。
g(x)比f(x)稍微复杂了些。当x＜p时它递减，当x＞p时它递增。它取最小值的点为(p,0)，它的对称轴为x=p。
h(x)也比f(x)稍微复杂了些。当x＜0时它递减，当x＞0时它递增。它取最小值的点为(0,q)，它的对称轴为x=0（y轴）。
i(x)来到我们二次函数的普遍形式了（可能需要从
变换形式过来）。当x＜p时它递减，当x＞p时它递增。它取最小值的点为(p,q)，它的对称轴为x=p。
这几个函数之间是什么关系呢？
3.1水平移动
把
里的x换成x-p，就得到了
f(x-p)=g(x)，这可以看作是f(x)与y=x-p两个函数的复合
也就是说，对任意某个x（也就是所有的x）它在f(x)对应的值，和x+p在g(x)对应的值是相同的
在图像上，就是把f(x)向右边平移了p个单位
不仅仅是二次函数，实际上对所有的函数，只要x和x-p都在其定义域内，则f(x-p)就是把函数向右平移了p个单位。
要注意的是，这里必须要把所有的x都换成x-p
比如对函数
，把它向右平移p个单位就是：
如果p是负的，那么就是向右边的反方向移动，即向左移。
比如对
是向右平移2个单位，
是向左平移2个单位。
正负右左一定不要搞反！
3.2垂直移动
在
后面
孤零零地加上q，就得到了
可以很简单地看出f(x)+q=h(x)
对任意某个x（也就是所有的x）它在f(x)对应的值，再加上q，就得到了这个x在h(x)对应的值
在图像上，就是把f(x)向上平移了q个单位。
要注意的是，这里是在f(x)后面单独、孤零零地加上了q，不要影响到f(x)本身里的元素
如果q是负的，就是向上边的反方向移动，即向下移。
比如对
是向上平移3个单位，
是向下平移3个单位。
正负上下一定不要搞反！
3.3换个角度
为方便起见，我们把函数写成
函数
也可以写成：
也就是说，把x变成x-p就是向右平移p个单位，把y变成y-q就是向上平移某个单位.
如果p、q是负数，就是反方向。（也可以说：把x变成x+p就是向左平移p个单位，把y变成y+q就是向下平移某个单位）
3.4 a的变化
上述情况中二次项的系数都是1，我们没有考虑过a变化的情况，因为没什么值得讨论的。
在（一）单调性中已经讨论过a的正负对函数的影响，a＞0开口向上，a＜0开口向下。
a的绝对值越大，函数越“瘦”，递减或递增得越快。
a的绝对值越小，函数越”胖”，递减或递增得越慢。
这个从直观上也能理解
3.5具体实例和图像
现在我们以具体的函数为例，看看它们的图像：
（黑色）
（红色）
（绿色）
（蓝色）
单独看黑色和红色：把黑色向右平移2个单位后到达红色的位置。
单独看黑色和绿色：把黑色向上平移3个单位后到达绿色的位置。
单独看红色和蓝色：把红色向上平移3个单位后到达蓝色的位置。
单独看绿色和蓝色：把绿色向右平移2个单位后到达蓝色的位置。
单独看黑色和蓝色：把黑色向右平移2个单位、向上平移3个单位后到达蓝色的位置。
再来简单看下a对函数的影响，直观了解即可
红色：
绿色：
蓝色：
粉色：
草色：
紫色：
（四）周期性
二次函数没有周期性
（五）与x轴和y轴的交点
先来简单的：与y轴的交点
二次函数必然与y轴有交点，代入x=0，（0，f(0)）就是与y轴的交点。
下面复杂的：与x轴的交点
5.1对已经形式转化为
的二次函数
当a＞0时，
,
如果q＞0，那么f(x)永远大于0，所以和x轴无交点
如果q=0，那么
,当x=p时，与x轴交于唯一的一点（p，0）
如果q＜0，那么
(-q/a是正数），当x=
和
时，
与x轴有2个交点（
，0）和（
，0）
当a＜0时，
如果q＜0，那么f(x)永远小于0，所以和x轴无交点
如果q=0，那么
,当x=p时，与x轴交于唯一的一点（p，0）
如果q＞0，那么令
(-q/a是正数），当x=
和
时，
与x轴有2个交点（
，0）和（
，0）
当a=0时，就是常数函数了，严谨起见，要在此专门提及，做题时也要记得。
下面是几个具体函数图像的实例：
左图红色：
绿色：
蓝色：
右图粉色：
草色：
紫色：
5.2针对形如
的二次函数
方法更加更简便，但图像上不那么直观
函数与x轴的交点，即f(x)=0
也就是求方程
的两个解。
用根的判别式：
当
时，方程有2个解，即有2个交点：
（
，0）和（
，0）
当
时，方程有1个解，即有1个交点：(-b/a，0）
当
时，方程没有解，即没有交点。
要求
二次函数的内容比较少也比较简单，但是需要一定量的练习来加深印象提高效率。
二次函数是非常基本非常简单的内容，这里涉及到的全部公式和模式都要烂熟于心，用起来毫不吃力。
后面学到更新的内容和更复杂的情况，如果二次函数部分还需要费力思考，是不能解决复杂问题的。
推导一元二次方程求根公式的“强行凑平方”的思路要认真研究。
“强行凑”成各种标准形式的思路未来学习中还会用到，也是解题中常用的方法。
函数的上下左右平移也要熟悉掌握，在函数和解析几何（圆锥曲线）中是非常重要的部分。
熟练掌握函数的平移，可以帮助把很多看上去很复杂的解析几何（圆锥曲线）简化得很普通。
完了
下篇准备更新指数和对数。
一次和二次函数在小学初中都有方程铺垫，指数对数是全新的内容，需要更多的努力去理解。
