前言:图像修复是一项非常有意义的研究工作,比如我们生活中的照片被污染,再比如名贵字画、国家文物壁画等珍贵物品被破坏,这些都需要图像修复工作来完成。
简介:整体变分(Total Variation)的方法最早是用来对受到噪声污染的图像进行降噪的,在这方面的应用最早是由L.Rudin和S.Osher等人在1992年提出的,2002年Chan等人把TV模型推广到图像修补中,并提出了基于TV模型的图像修补方法,同时说明了TV修补模型的缺点,进一步提出了CDD修补模型(curvature driven diffusions),此修补模型改正了TV修补模型的缺陷,对图像的修补具有很好的效果。
一、TV模型介绍
如图所示:D区域是被污染区(待修复),E是D的邻域
下面直接给出TV模型的数学公式:
①
其中:u是图像中的像素点,λ为设定的参数
在该模型基础上,考虑到噪声的影响,边界E区域产生的噪声不能超过一定的范围;根据最佳猜测和贝叶斯理论,要求图像u在满足约束条件下使它的能量泛函最小,因此约束条件记做:公式②。根据拉格朗日乘数法,将①②方程转化成为一个求极值的方程,对其求导数并令其等于0,可得到如下方程:
其中:div代表散度(关于图像中的散度解释,可见此处:在图像处理中,散度 div 具体的作用是什么?)
由于图像是离散的数值,故可看做如下构成。其中:O为污染点,邻域B=(N,S,W,E),半像素邻域B' =(n,s,w,e)。
因此,离散化后可得到表达式:
化简得到最终的表达式:
其中:λe(O)为中心O处的λ参数,与上λe一致;uo为O点修复后的像素,另一个为O点修复前的原始像素。将上式迭代,知道达到较好的修复效果。
到此,TV模型的理论推导已完成。接下来就是要编程实现其功能。
matlab源码实现:
1 img=double(imread('lena.jpg'));
2 mask=imread('mask.jpg');
3 a1=find(mask>127);
4 b1=find(mask<=127);
5 mask(a1)=0;
6 mask(b1)=255;
7 [m n]=size(img);
8 for i=1:m
9 for j=1:n
10 if mask(i,j)==0
11 img(i,j)=0;
12 end
13 end
14 end
15 imshow(img,[]); %合成的需要修复的图像
16
17 lambda=0.2;
18 a=0.5;%避免分母为0
19 imgn=img;
20 for l=1:1500 %迭代次数
21 for i=2:m-1
22 for j=2:n-1
23 if mask(i,j)==0 %如果当前像素是被污染的像素,则进行处理
24 Un=sqrt((img(i,j)-img(i-1,j))^2+((img(i-1,j-1)-img(i-1,j+1))/2)^2);
25 Ue=sqrt((img(i,j)-img(i,j+1))^2+((img(i-1,j+1)-img(i+1,j+1))/2)^2);
26 Uw=sqrt((img(i,j)-img(i,j-1))^2+((img(i-1,j-1)-img(i+1,j-1))/2)^2);
27 Us=sqrt((img(i,j)-img(i+1,j))^2+((img(i+1,j-1)-img(i+1,j+1))/2)^2);
28
29 Wn=1/sqrt(Un^2+a^2);
30 We=1/sqrt(Ue^2+a^2);
31 Ww=1/sqrt(Uw^2+a^2);
32 Ws=1/sqrt(Us^2+a^2);
33
34 Hon=Wn/((Wn+We+Ww+Ws)+lambda);
35 Hoe=We/((Wn+We+Ww+Ws)+lambda);
36 How=Ww/((Wn+We+Ww+Ws)+lambda);
37 Hos=Ws/((Wn+We+Ww+Ws)+lambda);
38
39 Hoo=lambda/((Wn+We+Ww+Ws)+lambda);
40 value = Hon*img(i-1,j)+Hoe*img(i,j+1)+How*img(i,j-1)+Hos*img(i+1,j)+Hoo*img(i,j);
41 imgn(i,j)= value;
42 end
43 end
44 end
45 img=imgn;
46 end
47 figure;
48 imshow(img)
opencv源码实现:
1 #include <iostream>
2 #include <stdlib.h>
3 #include <cv.h>
4 #include <math.h>
5 #include <opencv2/highgui/highgui.hpp>
6 #include <opencv2/core/core.hpp>
7 #include <opencv2/imgproc/imgproc.hpp>
8
9 using namespace cv;
10
11 int main(void)
12 {
13 //读取原始图像及掩模图像
14 IplImage *src_uint8 = cvLoadImage("src.jpg", CV_LOAD_IMAGE_GRAYSCALE);
15 IplImage *mask = cvLoadImage("mask.jpg", CV_LOAD_IMAGE_GRAYSCALE);
16 //合成需要修复的图像
17 int M = mask->height;
18 int N = mask->width;
19 int i, j;
20 CvMat *src = cvCreateMat(M, N, CV_32FC1);//存放浮点图像
21 cvConvert(src_uint8, src);
22 for (i = 0; i < M; i++)
23 {
24 for (j = 0; j < N; j++)
25 {
26 if ((mask->imageData + i * mask->widthStep)[j] < 0)//理解此处判别条件,根据情况自行更改
27 {
28 ((float*)(void*)(src->data.ptr + (size_t)src->step*i))[j] = 0.0;
29 }
30 if (((float*)(void*)(src->data.ptr + (size_t)src->step*i))[j] < 0)
31 {
32 ((float*)(void*)(src->data.ptr + (size_t)src->step*i))[j] += 256.0;
33 }
34 }
35 }
36 cvConvert(src, src_uint8);
37 cvShowImage("需要修复的图像", src_uint8);
38 cvWaitKey(0);
39
40 double t = getTickCount();//当前滴答数
41 float lambda = 0.2;
42 float delta = 0.5;
43 float UO, UN, UW, US, UE, UNE, UNW, USW, USE;
44 float Un, Ue, Uw, Us;
45 float Wn, We, Ww, Ws;
46 float Hon, Hoe, How, Hos;
47 float Hoo;
48 int iteration = 500;
49 while(iteration)
50 {
51 for (i = 1; i < M - 1; i++)
52 {
53 for (j = 1; j < N - 1; j++)
54 {
55 if (((char *)(mask->imageData + i * mask->widthStep))[j] < 0)//坏损区
56 {
57 UO = ((float*)(void*)(src->data.ptr + (size_t)src->step*i))[j];
58 UN = ((float*)(void*)(src->data.ptr + (size_t)src->step*(i-1)))[j];
59 US = ((float*)(void*)(src->data.ptr + (size_t)src->step*(i+1)))[j];
60 UE = ((float*)(void*)(src->data.ptr + (size_t)src->step*i))[j+1];
61 UW = ((float*)(void*)(src->data.ptr + (size_t)src->step*i))[j-1];
62
63 UNE = ((float*)(void*)(src->data.ptr + (size_t)src->step*(i-1)))[j+1];
64 UNW = ((float*)(void*)(src->data.ptr + (size_t)src->step*(i-1)))[j-1];
65 USE = ((float*)(void*)(src->data.ptr + (size_t)src->step*(i+1)))[j+1];
66 USW = ((float*)(void*)(src->data.ptr + (size_t)src->step*(i+1)))[j-1];
67
68 Un = sqrt((UO - UN) * (UO - UN) + ((UNW - UNE) / 2.0) * ((UNW - UNE) / 2.0));
69 Ue = sqrt((UO - UE) * (UO - UE) + ((UNE - USE) / 2.0) * ((UNE - USE) / 2.0));
70 Uw = sqrt((UO - UW) * (UO - UW) + ((UNW - USW) / 2.0) * ((UNW - USW) / 2.0));
71 Us = sqrt((UO - US) * (UO - US) + ((USW - USE) / 2.0) * ((USW - USE) / 2.0));
72
73 Wn = 1.0/sqrt(Un * Un + delta * delta);
74 We = 1.0/sqrt(Ue * Ue + delta * delta);
75 Ww = 1.0/sqrt(Uw * Uw + delta * delta);
76 Ws = 1.0/sqrt(Us * Us + delta * delta);
77
78 Hon = Wn/(Wn+We+Ww+Ws+lambda);
79 Hoe = We/(Wn+We+Ww+Ws+lambda);
80 How = Ww/(Wn+We+Ww+Ws+lambda);
81 Hos = Ws/(Wn+We+Ww+Ws+lambda);
82
83 Hoo = lambda/(Wn+We+Ww+Ws+lambda);
84 ((float*)(void*)(src->data.ptr + (size_t)src->step*i))[j]=(Hon*UN+Hoe*UE+How*UW+Hos*US+Hoo*UO);
85 }
86 }
87 }
88 iteration--;
89 }
90 cvConvert(src, src_uint8);
91 t = ((double)getTickCount() - t)/getTickFrequency();
92 printf("算法用时:%f秒\n", t);
93 cvShowImage("修复结果", src_uint8);
94 cvWaitKey(0);
95 }
由于迭代次数和浮点数的运算,使得算法时间较长,效果如下,仔细观察可以看出仍有细节处修复效果不是很理想。在TV模型之后,又出现了许多改进的TV模型,在速度和效果上都比理想,此处不深入探讨。