之前我们介绍了循环神经网络以及它的训练算法。我们也介绍了循环神经网络很难训练的原因，这导致了它在实际应用中，很难处理长距离的依赖。在本文中，我们将介绍一种改进之后的循环神经网络：长短时记忆网络(Long Short Term Memory Network, LSTM)，它成功的解决了原始循环神经网络的缺陷，成为当前最流行的RNN，在语音识别、图片描述、自然语言处理等许多领域中成功应用。但不幸的一面是，LSTM的结构很复杂，因此，我们需要花上一些力气，才能把LSTM以及它的训练算法弄明白。在搞清楚LSTM之后，我们再介绍一种LSTM的变体：GRU (Gated Recurrent Unit)。 它的结构比LSTM简单，而效果却和LSTM一样好，因此，它正在逐渐流行起来。最后，我们仍然会动手实现一个LSTM。

一、长短时记忆网络是啥

我们首先了解一下长短时记忆网络产生的背景。长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_神经网络我们可以根据下面的不等式，来获取长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_人工智能_02的模的上界（模可以看做对长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_人工智能_02中每一项值的大小的度量）：长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_神经网络_04长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_长短期记忆神经网络中各个门的作用_05我们可以看到，误差项长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_人工智能_06从t时刻传递到k时刻，其值的上界是长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_循环神经网络_07的指数函数。长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_循环神经网络_07分别是对角矩阵长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_循环神经网络_09和矩阵长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_神经网络_10模的上界。显然，除非长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_循环神经网络_07乘积的值位于1附近，否则，当t-k很大时（也就是误差传递很多个时刻时），整个式子的值就会变得极小（当长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_循环神经网络_07乘积小于1）或者极大（当长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_循环神经网络_07乘积大于1），前者就是梯度消失，后者就是梯度爆炸。虽然科学家们搞出了很多技巧（比如怎样初始化权重），让的值尽可能贴近于1，终究还是难以抵挡指数函数的威力。

梯度消失到底意味着什么？在《深度学习之循环神经网络(RNN)》中我们已证明，权重数组W最终的梯度是各个时刻的梯度之和，即：长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_神经网络_14长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_长短期记忆神经网络中各个门的作用_15假设某轮训练中，各时刻的梯度以及最终的梯度之和如下图：

长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_长短期记忆神经网络中各个门的作用_16


我们就可以看到，从上图的t-3时刻开始，梯度已经几乎减少到0了。那么，从这个时刻开始再往之前走，得到的梯度（几乎为零）就不会对最终的梯度值有任何贡献，这就相当于无论t-3时刻之前的网络状态h是什么，在训练中都不会对权重数组W的更新产生影响，也就是网络事实上已经忽略了t-3时刻之前的状态。这就是原始RNN无法处理长距离依赖的原因。

既然找到了问题的原因，那么我们就能解决它。从问题的定位到解决，科学家们大概花了7、8年时间。终于有一天，Hochreiter和Schmidhuber两位科学家发明出长短时记忆网络，一举解决这个问题。

其实，长短时记忆网络的思路比较简单。原始RNN的隐藏层只有一个状态，即h，它对于短期的输入非常敏感。那么，假如我们再增加一个状态，即c，让它来保存长期的状态，那么问题不就解决了么？如下图所示：

长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_长短期记忆神经网络中各个门的作用_17


新增加的状态c，称为单元状态(cell state)。我们把上图按照时间维度展开：

长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_深度学习_18


上图仅仅是一个示意图，我们可以看出，在t时刻，LSTM的输入有三个：当前时刻网络的输入值长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_循环神经网络_19、上一时刻LSTM的输出值长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_循环神经网络_20、以及上一时刻的单元状态长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_深度学习_21；LSTM的输出有两个：当前时刻LSTM输出值长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_人工智能_22、和当前时刻的单元状态长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_神经网络_23。注意长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_循环神经网络_24都是向量。LSTM的关键，就是怎样控制长期状态长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_神经网络_25。在这里，LSTM的思路是使用三个控制开关。第一个开关，负责控制继续保存长期状态长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_神经网络_25；第二个开关，负责控制把即时状态输入到长期状态长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_神经网络_25；第三个开关，负责控制是否把长期状态长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_神经网络_25作为当前的LSTM的输出。三个开关的作用如下图所示：

长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_深度学习_29


接下来，我们要描述一下，输出h和单元状态c的具体计算方法。

二、长短时记忆网络的前向计算

前面描述的开关是怎样在算法中实现的呢？这就用到了门（gate）的概念。门实际上就是一层全连接层，它的输入是一个向量，输出是一个0到1之间的实数向量。假设长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_神经网络_10是门的权重向量，长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_长短期记忆神经网络中各个门的作用_31是偏置项，那么门可以表示为：长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_循环神经网络_32门的使用，就是用门的输出向量按元素乘以我们需要控制的那个向量。因为门的输出是0到1之间的实数向量，那么，当门输出为0时，任何向量与之相乘都会得到0向量，这就相当于啥都不能通过；输出为1时，任何向量与之相乘都不会有任何改变，这就相当于啥都可以通过。因为长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_深度学习_33（也就是sigmoid函数）的值域是(0,1)，所以门的状态都是半开半闭的。

LSTM用两个门来控制单元状态长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_神经网络_25的内容，一个是遗忘门（forget gate），它决定了上一时刻的单元状态长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_深度学习_21有多少保留到当前时刻长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_神经网络_23；另一个是输入门（input gate），它决定了当前时刻网络的输入长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_循环神经网络_19有多少保存到单元状态长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_循环神经网络_38。LSTM用输出门（output gate）来控制单元状态长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_循环神经网络_38有多少输出到LSTM的当前输出值长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_长短期记忆神经网络中各个门的作用_40。

我们先来看一下遗忘门：长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_人工智能_41上式中，长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_长短期记忆神经网络中各个门的作用_42是遗忘门的权重矩阵，长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_长短期记忆神经网络中各个门的作用_43表示把两个向量连接成一个更长的向量，长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_深度学习_44是遗忘门的偏置项，长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_深度学习_33是sigmoid函数。如果输入的维度是长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_人工智能_46，隐藏层的维度是长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_循环神经网络_47，单元状态的维度是长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_神经网络_48（通常长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_神经网络_49），则遗忘门的权重矩阵长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_长短期记忆神经网络中各个门的作用_42维度是长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_长短期记忆神经网络中各个门的作用_51。事实上，权重矩阵长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_长短期记忆神经网络中各个门的作用_42都是两个矩阵拼接而成的：一个是长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_长短期记忆神经网络中各个门的作用_53，它对应着输入项长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_循环神经网络_20，其维度为长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_循环神经网络_55；一个是长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_深度学习_56，它对应着输入项长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_循环神经网络_19，其维度为长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_神经网络_58。长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_长短期记忆神经网络中各个门的作用_42可以写为：长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_人工智能_60长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_神经网络_61下图显示了遗忘门的计算：

长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_循环神经网络_62


接下来看看输入门：

长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_长短期记忆神经网络中各个门的作用_63上式中，长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_神经网络_64是输入门的权重矩阵，长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_人工智能_65是输入门的偏置项。下图表示了输入门的计算：

长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_长短期记忆神经网络中各个门的作用_66


接下来，我们计算用于描述当前输入的单元状态长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_循环神经网络_67，它是根据上一次的输出和本次输入来计算的：长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_循环神经网络_68下图是长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_循环神经网络_67的计算：

长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_深度学习_70


现在，我们计算当前时刻的单元状态长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_循环神经网络_38。它是由上一次的单元状态长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_深度学习_21按元素乘以遗忘门长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_长短期记忆神经网络中各个门的作用_73，再用当前输入的单元状态长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_循环神经网络_67按元素乘以输入门长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_循环神经网络_75，再将两个积加和产生的：长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_循环神经网络_76符号长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_人工智能_77表示按元素乘。下图是长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_循环神经网络_38的计算：

长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_循环神经网络_79


这样，我们就把LSTM关于当前的记忆长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_循环神经网络_67和长期的记忆长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_深度学习_21组合在一起，形成了新的单元状态长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_循环神经网络_38。由于遗忘门的控制，它可以保存很久很久之前的信息，由于输入门的控制，它又可以避免当前无关紧要的内容进入记忆。下面，我们要看看输出门，它控制了长期记忆对当前输出的影响：长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_长短期记忆神经网络中各个门的作用_83下图表示输出门的计算：

长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_深度学习_84


LSTM最终的输出，是由输出门和单元状态共同确定的：长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_神经网络_85下图表示LSTM最终输出的计算：

长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_深度学习_86


(式1)到(式6)就是LSTM前向计算的全部公式。至此，我们就把LSTM前向计算讲完了。

三、长短时记忆网络的训练

熟悉我们这个系列文章的同学都清楚，训练部分往往比前向计算部分复杂多了。LSTM的前向计算都这么复杂，那么，可想而知，它的训练算法一定是非常非常复杂的。现在只有做几次深呼吸，再一头扎进公式海洋吧。

LSTM训练算法框架

LSTM的训练算法仍然是反向传播算法，对于这个算法，我们已经非常熟悉了。主要有下面三个步骤：

  1. 前向计算每个神经元的输出值，对于LSTM来说，即长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_长短期记忆神经网络中各个门的作用_87五个向量的值。计算方法已经在上一节中描述过了。
  2. 反向计算每个神经元的误差项长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_循环神经网络_88值。与循环神经网络一样，LSTM误差项的反向传播也是包括两个方向：一个是沿时间的反向传播，即从当前t时刻开始，计算每个时刻的误差项；一个是将误差项向上一层传播。
  3. 根据相应的误差项，计算每个权重的梯度。
关于公式和符号的说明

首先，我们对推导中用到的一些公式、符号做一下必要的说明。

接下来的推导中，我们设定gate的激活函数为sigmoid函数，输出的激活函数为tanh函数。他们的导数分别为：
长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_循环神经网络_89长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_神经网络_90长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_长短期记忆神经网络中各个门的作用_91长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_长短期记忆神经网络中各个门的作用_92从上面可以看出，sigmoid和tanh函数的导数都是原函数的函数。这样，我们一旦计算原函数的值，就可以用它来计算出导数的值。

LSTM需要学习的参数共有8组，分别是：遗忘门的权重矩阵长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_长短期记忆神经网络中各个门的作用_42和偏置项长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_深度学习_44、输入门的权重矩阵长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_神经网络_64和偏置项长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_人工智能_65、输出门的权重矩阵长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_循环神经网络_97和偏置项长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_长短期记忆神经网络中各个门的作用_98，以及计算单元状态的权重矩阵长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_神经网络_99和偏置项长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_循环神经网络_100。因为权重矩阵的两部分在反向传播中使用不同的公式，因此在后续的推导中，权重矩阵长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_深度学习_101都将被写为分开的两个矩阵：长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_深度学习_102。

我们解释一下按元素乘长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_人工智能_77符号。当长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_人工智能_77作用于两个向量时，运算如下：长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_神经网络_105当长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_人工智能_77作用于一个向量和一个矩阵时，运算如下：长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_神经网络_107长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_神经网络_108当长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_人工智能_77作用于两个矩阵时，两个矩阵对应位置的元素相乘。按元素乘可以在某些情况下简化矩阵和向量运算。例如，当一个对角矩阵右乘一个矩阵时，相当于用对角矩阵的对角线组成的向量按元素乘那个矩阵：长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_长短期记忆神经网络中各个门的作用_110当一个行向量右乘一个对角矩阵时，相当于这个行向量按元素乘那个矩阵对角线组成的向量：长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_人工智能_111上面这两点，在我们后续推导中会多次用到。

在t时刻，LSTM的输出值为长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_长短期记忆神经网络中各个门的作用_40。我们定义t时刻的误差项长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_长短期记忆神经网络中各个门的作用_113为：长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_深度学习_114注意，和前面几篇文章不同，我们这里假设误差项是损失函数对输出值的导数，而不是对加权输入长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_循环神经网络_115的导数。因为LSTM有四个加权输入，分别对应长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_深度学习_116，我们希望往上一层传递一个误差项而不是四个。但我们仍然需要定义出这四个加权输入，以及他们对应的误差项。长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_循环神经网络_117长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_人工智能_118长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_长短期记忆神经网络中各个门的作用_119长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_神经网络_120长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_深度学习_121长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_长短期记忆神经网络中各个门的作用_122长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_深度学习_123长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_人工智能_124长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_神经网络_125长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_神经网络_126长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_神经网络_127长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_深度学习_128

误差项沿时间的反向传递

沿时间反向传递误差项，就是要计算出t-1时刻的误差项长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_神经网络_129。长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_循环神经网络_130长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_循环神经网络_131长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_人工智能_132我们知道，长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_神经网络_133是一个Jacobian矩阵。如果隐藏层h的维度是N的话，那么它就是一个长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_深度学习_134矩阵。为了求出它，我们列出长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_长短期记忆神经网络中各个门的作用_40的计算公式，即前面的(式6)和(式4)：长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_循环神经网络_136长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_人工智能_137显然，长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_循环神经网络_138都是长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_循环神经网络_20的函数，那么，利用全导数公式可得：
长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_循环神经网络_140长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_人工智能_141下面，我们要把(式7)中的每个偏导数都求出来。根据(式6)，我们可以求出：长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_循环神经网络_142长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_神经网络_143根据(式4)，我们可以求出：长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_深度学习_144长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_神经网络_145长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_人工智能_146因为：长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_深度学习_147长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_人工智能_148长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_神经网络_149长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_人工智能_150长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_人工智能_151长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_深度学习_152长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_人工智能_153长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_神经网络_154我们很容易得出：长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_神经网络_155长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_神经网络_156长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_深度学习_157长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_深度学习_158长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_人工智能_159长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_神经网络_160长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_长短期记忆神经网络中各个门的作用_161长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_循环神经网络_162将上述偏导数带入到（式7），我们得到：长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_循环神经网络_163长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_深度学习_164根据长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_神经网络_165的定义，可知：长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_深度学习_166长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_深度学习_167长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_长短期记忆神经网络中各个门的作用_168长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_深度学习_169(式8)到(式12)就是将误差沿时间反向传播一个时刻的公式。有了它，我们可以写出将误差项向前传递到任意k时刻的公式：长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_神经网络_170

将误差项传递到上一层

我们假设当前为第长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_神经网络_171层，定义长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_人工智能_172层的误差项是误差函数对长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_人工智能_172层加权输入的导数，即：长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_深度学习_174本次LSTM的输入长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_循环神经网络_175由下面的公式计算：长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_长短期记忆神经网络中各个门的作用_176上式中，长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_神经网络_177表示第长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_人工智能_172层的激活函数。

因为长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_长短期记忆神经网络中各个门的作用_179都是长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_循环神经网络_175的函数，长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_循环神经网络_175又是长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_神经网络_182的函数，因此，要求出长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_人工智能_183对长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_神经网络_182的导数，就需要使用全导数公式：长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_长短期记忆神经网络中各个门的作用_185长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_长短期记忆神经网络中各个门的作用_186长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_深度学习_187(式14)就是将误差传递到上一层的公式。

权重梯度的计算

对于长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_循环神经网络_188的权重梯度，我们知道它的梯度是各个时刻梯度之和），我们首先求出它们在t时刻的梯度，然后再求出他们最终的梯度。

我们已经求得了误差项长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_人工智能_189，很容易求出t时刻的长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_神经网络_190：长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_长短期记忆神经网络中各个门的作用_191长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_深度学习_192长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_循环神经网络_193长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_长短期记忆神经网络中各个门的作用_194长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_人工智能_195长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_神经网络_196长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_长短期记忆神经网络中各个门的作用_197长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_深度学习_198将各个时刻的梯度加在一起，就能得到最终的梯度：长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_深度学习_199长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_循环神经网络_200长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_长短期记忆神经网络中各个门的作用_201长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_深度学习_202对于偏置项长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_长短期记忆神经网络中各个门的作用_203的梯度，也是将各个时刻的梯度加在一起。下面是各个时刻的偏置项梯度：长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_神经网络_204长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_循环神经网络_205长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_神经网络_206长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_人工智能_207长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_长短期记忆神经网络中各个门的作用_208长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_神经网络_209长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_深度学习_210长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_人工智能_211下面是最终的偏置项梯度，即将各个时刻的偏置项梯度加在一起：长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_循环神经网络_212长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_循环神经网络_213长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_长短期记忆神经网络中各个门的作用_214长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_深度学习_215对于长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_循环神经网络_216的权重梯度，只需要根据相应的误差项直接计算即可：长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_神经网络_217长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_深度学习_218长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_人工智能_219长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_长短期记忆神经网络中各个门的作用_220长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_深度学习_221长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_循环神经网络_222长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_神经网络_223长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_长短期记忆神经网络中各个门的作用_224
以上就是LSTM的训练算法的全部公式。因为这里面存在很多重复的模式，仔细看看，会发觉并不是太复杂。

当然，LSTM存在着相当多的变体，读者可以在互联网上找到很多资料。因为大家已经熟悉了基本LSTM的算法，因此理解这些变体比较容易，因此本文就不再赘述了。

四、GRU

前面我们讲了一种普通的LSTM，事实上LSTM存在很多变体，许多论文中的LSTM都或多或少的不太一样。在众多的LSTM变体中，**GRU (Gated Recurrent Unit)**也许是最成功的一种。它对LSTM做了很多简化，同时却保持着和LSTM相同的效果。因此，GRU最近变得越来越流行。

GRU对LSTM做了两个大改动：

  1. 将输入门、遗忘门、输出门变为两个门：更新门（Update Gate）长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_神经网络_225和重置门（Reset Gate）长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_深度学习_226。
  2. 将单元状态与输出合并为一个状态：长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_深度学习_227。

GRU的前向计算公式为：长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_深度学习_228长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_深度学习_229长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_人工智能_230长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_神经网络_231下图是GRU的示意图：

长短期记忆神经网络中各个门的作用 长短时间神经网络_深度学习_232


GRU的训练算法比LSTM简单一些，留给读者自行推导，本文就不再赘述了。

五、小结

至此，LSTM——也许是结构最复杂的一类神经网络——就讲完了，相信拿下前几篇文章的读者们搞定这篇文章也不在话下吧！现在我们已经了解循环神经网络和它最流行的变体——LSTM，它们都可以用来处理序列。但是，有时候仅仅拥有处理序列的能力还不够，还需要处理比序列更为复杂的结构（比如树结构），这时候就需要用到另外一类网络：递归神经网络(Recursive Neural Network)，巧合的是，它的缩写也是RNN。