1、自回归模型AR(p)的整体估计1自回归模型1.1模型aj,回归系数用 j(j 1,2, p)子样观测值 Xi,i 0, 1,白噪声序列表示为表示，则可得到的 AR模型:Xt1Xt 12Xt 2Pxtat(1)1.2模型参数的最小二乘估计设样本观测值 Xt,t 0, 1,，记Xp 1Xp 2TXnap 2TaNXpXp 1Xp 1XpXiX2XN 1XN 2Xn则AR(p)模型可以表示为(2)由最小二乘原理可得到模型参数的估计为? (AtA) 1ATY那么根据最小二乘估计值可以得到噪声的估值为EXtXt 1 ?Xt 2 ?2xt(t p 1,N)噪声方差?2的最小二乘估值为1N pta212整体。
2、最小二乘法参数估计在进行许多时间序列分析的实际问题中，建立模型的主要目的就是在确定模型参数之 后，对未来可能出现的结果进行分析预报。而结果又与自身前一个或前几个时刻的观测值有关，观测必有误差的存在，所以不能忽略之前观测值A的随机误差。整体最小二乘法就是同时考虑自变量和因变量误差存在的算法。方程(2) Y A与线性回归方程具有相同的形式。在线性回归中y=ax+b，自变量XXt 1, Xt 2，是确定的，y和b是随机变量。在AR(p)模型中xt 1,xt 2,自然也是随机变量，但在 t-1时刻,它们均已确定不变，所以 AR(p)模型可以看做条件线性回归模型，故可用多元回归分析中的 有关方法进行参数。
3、估计 。A作为自身前一个或前几个时刻的观测值是确定已知的，但在观测中是含有随机误差的，在计算中应该考虑其所含误差的影响。应用整体解算的方法进行解算。2.1整体最下二乘原理及解算步骤。TLS的基本思想可以归纳为2:观测方程丫 X 中，不仅观测向量 Y中存在误差Vy，n，1 nmm,i同时系数矩阵X中也含有误差VX。此时，可用TLS方法求得参数。也就是说，在TLS中, 考虑的是矩阵方程X VX = Y VY(2-1)或AXAAAAY, X X Vx,Y Y Vx(2-2)的求解。在测量数据处理中，n为观测个数，m为参数个数，通常情况下n m，矩阵X的秩R Xmn。显然式(2-1 )的矩阵表示为n,。
4、mAX丫 V x Vy10(2-3)或等价为BD z 0(2-4)其中：Bn ,m 1X Y为增广矩阵，D Vx VY为误差矩阵，Z1Am,1，求解上式的整体最小二乘方法可以表示为约束最优化问题：|d|L min(2-5)D 是 D 的 F (Frobenius)范数。F求的 D|L=min的问题称为TLS问题，若能找到式(2-1)的一个最小点yXO yYO，八八3则任何满足X V XO Y Vyo的 都称为TLS解求解TLS问题的主要工具是奇异值分解，得btbxt XytX X X y ytx yty ,k令x；xytxxtyytyNxxNxynxY，得?nyyNXX m1I 1Nxy综上所。
5、述,求解矩阵方程Y1X 中参数n,mm,1的TLS解TLS的步骤为:(1)列观测方程式yn,1Xn，mm,1(2)构成增广矩阵BXn,m 1n ,m(3)求矩阵BtB的特征值，并求出最小特征值1A计算参数 的TLS解m 1 INxY。m,1 m,mm,m m,12.2自回归模型AR(p)的整体估计线性模型：Y A用矩阵形式表示：YX?式中：X代？可得：1Nxxm 1 INxy，3实例分析以文献3例5.6的数据为样本观测数据，共计36个数据沉降观测数据序数高程序数高程序数高程序数高程序数高程序数高程126.33725.931326.671928.092526.813126.81226.27826。
6、.431427.952026.782628.503228.50326.43926.521526.742128.662727.683327.68425.561025.461627.532226.752826.573426.57526.821126.121725.312327.242928.363528.36626.561227.281826.902428.023027.943627.94(1)模型参数的最小二乘估计由文献3得模型阶数为p 3误差方程参数估计为Vj1b2xj 2bi 3 Xj,i 4,5,360.041087(XTX) 1XtY 0.3278090.635059得自回归模型 xi 0.041087xi 10.327809xi 20.635059xi 30.80( mm)?2 注 194286 06 n 2p 30(2)整体估计参数估计为?b2Nxx mil Nxy得自回归模型。
