1. CT技术概述
1.1技术发展背景及趋势
CT(计算机断层扫描)理论起源于20世纪初。1917年，奥地利数学家Radon提出了著名的Radon变换。此后美国物理学家确立了当代投影图像精确重建的数学方法。由物体的二维截面或断面向该平面内的各个方向作投影，可获得一系列一维投影函数。由这些一维投影函数来重建该二维截面称为图像重建。该技术是随着计算机技术的进步而发展起来并获得广泛应用的图像处理技术，其最典型的应用是医学上的计算机断层成像术。它用于获取人体头颅、心肺、腹部等内部器官的二维断层图像，故亦称断层摄影技术，对于射线放射诊断学是一个重大突破，具有重要的实际意义，因而受到普遍的重视。
现代CT的工作原理如下图所示
1.2重建问题
进行CT重建数学原理的严格讨论之前,我们首先简单地想象一下CT是如何工作的。
假设我们试图猜测一个半透明物体的内部结构"物体由内部嵌入了五个球的圆柱体组成,如下图：
我们不允许从上下看物体,只能从侧面观察"如果我们只是从图中所示的角度观察物体,两个球体被前面的球部分挡住(因为它们是半透明的),我们只能看到一个重叠的球。尽管可以预料重叠球的不透明度比没有重叠的高,我们不能从透明度推断出重叠球的数目,因为不知道每个球的不透明度"基于单方向的观察,我们可能错误地得出结论:圆柱内只有三个球"如果现在旋转物体,从另一角度观察它,如上图（b）所示，被挡住的球就可以看到了"如果从许多角度检查物体,我们能确切断定,圆柱内不仅有五个小物体,而且这些物体实际上是小球,因为尺寸和强度不随视角变化"这个实验证明,通过从多个角度检查一个半透明物体,我们可以估计物体的内部结构。如果用X射线源代替可见光源,用X射线探测器代替眼睛,计算机代替大脑,我们就得到了一个CT系统。这里关键在于从多个视角检查物体的能力和物体的半透明度。
1.3图像的定义与数字化
为了研究问题的方便和易于计算机实现,通常假设CT图像具有以下几个性质:
1图像区域是一个正方体,其中心是坐标原点;
2图像由三元函数f(x,y,z)表示, ,其值在图像区域外为零。图像区域就是重建区域,被测物体断层重建图像包括在重建区域内,并且图像区域内任意点(x,y,z)的灰度值对应物体在该点的密度,也对应点(x,y,z)在某固定能量下的相对线性衰减系数值。
3图像f(x,y,z)是有界的,即满足|f(x,y,z)|<=L灰度值的范围通常选取为0-255,当然,根据研究问题的需要,有时也会选取别的灰度值范围。
一幅数值图像就是把图像f(x,y,z)在三维空间坐标离散化了的图像,可以把一幅数字图像考虑为一个矩阵,其行和列标出了图像各个点在三维空间的位置,而矩阵元素的值标出这些点的灰度等级"一般把图像区域分成NxNxN个相同的小正方体,每一个小正方体就是一个体素。CT中常见的体素规模有128xl28xl28,256x256x256,512x512x512,1024xl024xl024等。
简单地说,一副图像包含了对所表示的客观存在的物体的一种描述信息,从物理上
讲图像是物质或能量的实际分布;从数学上讲图像是由连续函数和离散函数组成的集。
