java 协方差公式 协方差实例

协方差

• 1.协方差

• 1.1 相关性
• 1.2 计算协方差
• 1.3 协方差与相关性
• 1.4 协方差能让我们知道些什么信息？
• 1.5 协方差无法让我们知道哪些信息？

1.协方差

笔记来源：Covariance, Clearly Explained!!!

协方差用于刻画两个随机变量是否有相关性
相关系数用于刻画两个随机变量相关性的强弱

1.1 相关性

以细胞中的基因X和基因Y的数量为例，下面给出了5个细胞中，每个细胞分别含有的基因X和基因Y的数量，我们计算出了这5个细胞含基因X数量的样本均值 $\bar{x}$ 和含基因Y数量的样本均值 $\bar{y}$，我们观察这细胞中基因X的数量和基因Y的数量有没有什么相关性

显然，如下图所示，大体上当细胞中基因X的数量增加时，基因Y的数量也在增加，这表现出一种正相关性

我们来看一看另一组样本数据

显然，如下图所示，大体上当细胞中基因X的数量增加时，基因Y的数量却在减小，这表现出一种负相关性

我们再来看另外两组样本数据

第一组样本数据：大体上当基因X的数量增加时，基因Y的数量基本保持不变，即二者几乎无相关性

第二组样本数据：大体上当基因Y的数量增加时，基因X的数量基本保持不变，即二者几乎无相关性

1.2 计算协方差

每个细胞中基因X的数量为 $x$、基因Y的数量为 $y$
5个细胞中所有基因X数量的平均值 $\bar{x}$、所有基因Y数量的平均值 $\bar{y}$
细胞数量为 $n$
无偏估计要除以 $n-1$，详见本人博客：有偏样本方差、无偏样本方差

由上我们观察到，这5个细胞中的基因X的数量和基因Y的数量呈现正相关性，而计算得到的协方差也为正，即我们得到：当协方差 $\gt 0$时，数据呈现正相关性

类似的，当协方差 $\lt 0$时，数据呈现负相关性

当协方差$= 0$时，数据没有相关性

无相关性的三种情况

1.3 协方差与相关性

协方差之正负号显示着变量的相关性

两组数据呈现正相关性，协方差 $\text{cov}(X,Y)\gt 0$
两组数据呈现负相关性，协方差 $\text{cov}(X,Y)\lt 0$
两组数据呈现无相关性，协方差 $\text{cov}(X,Y)\approx 0$

1.4 协方差能让我们知道些什么信息？

协方差的值可以告诉我们样本数据与拟合直线的接近程度

协方差的值越大，样本数据离拟合直线越远

1.5 协方差无法让我们知道哪些信息？

协方差无法告知我们拟合直线的斜率大小

协方差无法告知我们样本数据的集中程度

协方差的应用之一：主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）