问题描述

试题编号：

201703-4

试题名称：

地铁修建

时间限制：

1.0s

内存限制：

256.0MB

问题描述：

问题描述

　　A市有n个交通枢纽，其中1号和n号非常重要，为了加强运输能力，A市决定在1号到n号枢纽间修建一条地铁。
　　地铁由很多段隧道组成，每段隧道连接两个交通枢纽。经过勘探，有m段隧道作为候选，两个交通枢纽之间最多只有一条候选的隧道，没有隧道两端连接着同一个交通枢纽。
　　现在有n家隧道施工的公司，每段候选的隧道只能由一个公司施工，每家公司施工需要的天数一致。而每家公司最多只能修建一条候选隧道。所有公司同时开始施工。
　　作为项目负责人，你获得了候选隧道的信息，现在你可以按自己的想法选择一部分隧道进行施工，请问修建整条地铁最少需要多少天。

输入格式

　　输入的第一行包含两个整数n, m，用一个空格分隔，分别表示交通枢纽的数量和候选隧道的数量。
　　第2行到第m+1行，每行包含三个整数a, b, c，表示枢纽a和枢纽b之间可以修建一条隧道，需要的时间为c天。

输出格式

　　输出一个整数，修建整条地铁线路最少需要的天数。

样例输入

6 6
1 2 4
2 3 4
3 6 7
1 4 2
4 5 5
5 6 6

样例输出

6

样例说明

　　可以修建的线路有两种。
　　第一种经过的枢纽依次为1, 2, 3, 6，所需要的时间分别是4, 4, 7，则整条地铁线需要7天修完；
　　第二种经过的枢纽依次为1, 4, 5, 6，所需要的时间分别是2, 5, 6，则整条地铁线需要6天修完。
　　第二种方案所用的天数更少。

评测用例规模与约定

　　对于20%的评测用例，1 ≤ n ≤ 10，1 ≤ m ≤ 20；
　　对于40%的评测用例，1 ≤ n ≤ 100，1 ≤ m ≤ 1000；
　　对于60%的评测用例，1 ≤ n ≤ 1000，1 ≤ m ≤ 10000，1 ≤ c ≤ 1000；
　　对于80%的评测用例，1 ≤ n ≤ 10000，1 ≤ m ≤ 100000；
　　对于100%的评测用例，1 ≤ n ≤ 100000，1 ≤ m ≤ 200000，1 ≤ a, b ≤ n，1 ≤ c ≤ 1000000。

　　所有评测用例保证在所有候选隧道都修通时1号枢纽可以通过隧道到达其他所有枢纽。

 

 

　　这道题有两种求解方法。

　　一种是直接二分答案，取所有c值小于等于当前答案的边来判联通，如果所有c值小于等于当前答案的边能够联通第1个点和第n个点，则当前解可行。二分找到最小的可行解。判联通复杂度为O(n),总的时间复杂度为O(nlgc)。

　　另一种是直接贪心，按c值从小到大的顺序不断加边，一直加到点1和点n联通为止。用并查集实现复杂度为O(nlgn)。

　　下面是二分答案的代码：

1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 
 4 const int MAX=100005;
 5 const int INF=1e9+7;
 6 typedef long long ll;
 7 
 8 int n,m;
 9 struct Edge
10 {
11     int to,w;
12     Edge(int to,int w)
13     {
14         this->to=to;
15         this->w=w;
16     }
17 };
18 
19 vector<Edge> G[MAX];
20 
21 struct node
22 {
23     int id,step;
24     node(int id,int step)
25     {
26         this->id=id;
27         this->step=step;
28     }
29 };
30 
31 queue<node> q;
32 bool vis[MAX];
33 bool BFS(int k)
34 {
35     while(!q.empty())
36         q.pop();
37 
38     memset(vis,0,sizeof vis);
39 
40     q.push(node(1,0));
41     vis[1]=true;
42     while(!q.empty())
43     {
44         node now=q.front();
45         q.pop();
46 
47          int u=now.id;
48         if(u==n)
49             return now.step<=n;
50 
51         for(int i=0;i<G[u].size();i++)
52         {
53             Edge e=G[u][i];
54 
55             if(vis[e.to]||e.w>k)
56                 continue;
57 
58             vis[e.to]=true;
59 
60             q.push(node(e.to,now.step+1));
61         }
62     }
63     return false;
64 }
65 
66 int main()
67 {
68     while(~scanf("%d%d",&n,&m))
69     {
70         int l=1,r=1;
71         for(int i=0;i<m;i++)
72         {
73             int a,b,c;
74             scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
75             r=max(r,c+1);
76             G[a].push_back(Edge(b,c));
77             G[b].push_back(Edge(a,c));
78         }
79 
80         int ans=0;
81 
82         while(l<=r)
83         {
84             int mid=(l+r)/2;
85             if(BFS(mid))
86             {
87                 ans=mid;
88                 r=mid-1;
89             }
90             else
91                 l=mid+1;
92         }
93 
94         printf("%d\n",ans);
95     }
96     return 0;
97 }