1. Java的开方和次方运算

java.lang.Math.sqrt(double a) 返回一个数字a的正平方根，返回结果是double型
java.lang.Math.pow(double a, double b) 返回一个数字a的b次方，返回结果是double型
有意思的是， 我们也可以通过Math.pow()实现开方运算，但是此时一定要注意第二个参数使用double型

//java.lang.Math.sqrt(double a) 返回一个数字a的正平方根，返回结果是double型
System.out.println(Math.sqrt(10)); //3.1622776601683795
System.out.println(Math.sqrt(25)); //5.0
System.out.println(Math.sqrt(49)); //7.0

//java.lang.Math.pow(double a, double b) 返回一个数字a的b次方，返回结果是double型
System.out.println(Math.pow(2, 3));  //8.0
System.out.println(Math.pow(3, 2));  //9.0

//有意思的是， 我们也可以通过Math.pow()实现开方运算
System.out.println(Math.pow(27, 1/3)); //1.0
System.out.println(Math.pow(27, 1.0/3)); //3.0
System.out.println(Math.pow(49, 1.0/2)); //7.0
//可以看到计算开方运算时一定要注意第二个参数使用double型， 否则 1 / 3 在java中结果是0， 27的0次方的结果自然是1.0了。 当第二个参数使用1.0 / 3时可以看到27开三次方的结果是3.0

可以看到使用Math.pow()进行开方运算时一定要注意第二个参数使用double型， 否则 1 / 3 在java中结果是0， 27的0次方的结果自然是1.0了。 当第二个参数使用1.0 / 3时可以看到27开三次方的结果是3.0

2. 下面是用到Math.sqrt()方法的求解有多少种连续正整数之和为N的经典算法的详细解析（Leetcode 829， Lintcode 1439）

Given a positive integer `N`, how many ways can we write it as a sum of consecutive positive integers?
Example 1:

Input: 5
Output: 2
Explanation: 5 = 5 = 2 + 3
Example 2:

Input: 9
Output: 3
Explanation: 9 = 9 = 4 + 5 = 2 + 3 + 4
Example 3:

Input: 15
Output: 4
Explanation: 15 = 15 = 8 + 7 = 4 + 5 + 6 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5
Note: 1 <= N <= 10 ^ 9.

这道题给了一个正整数N，问N能写成多少种连续正整数之和，比如9可以写成 4+5，或者 2+3+4。这道题其实不好做，因为没有固定的算法可以套，而更多的考察是数学知识，而且比较难想。由于要写成连续正整数之和，则肯定是一个等差数列，并且差值为1，这个等差数列不必从1开始，假设其是从x开始的，且个数共有k个，则可以写出这个等差数列为：
x, x+1, x+2, ..., x+k-1 其和为N，根据等差数列的求和公式，可以写出下列等式：
kx + (k-1)k / 2 = N 变形后可得到：
kx = N - (k-1)k / 2 这样，只要对于任意一个k值，x能得到正整数解，就表示一定会有一个对应的等差数列和为N。下面要来求k的范围，由于k是等差数列的长度，首先肯定是要大于0的，这是下限。求上限还是要利用上面的那个式子，由于x也必须是正整数，可以得到不等式：
N - (k-1)k / 2 > 0 从而得到近似解：
k < sqrt(2N) 有了k的范围就可以开始遍历了，首先数字N本身也是符合题意的，可以看作是长度为1的等差数列，则 res 可以初始化为1，然后i从2遍历到 sqrt(2N)，对于每个i值，只要 (N - i(i-1)/2) 能整除i，就表示存在长度为i的等差数列和为N，结果 res 自增1，这样就可以求出所有符合题意的等差数列的个数，参见代码如下：

//解法一：
class Solution {
	public int consecutiveNumbersSum(int N) {
        int res = 1;
        for (int k = 2; k < sqrt(2 * N); k++) {
            if ((N - k * (k - 1) / 2) % k == 0) {
            	res++;
            }
        }
        return res;
    }
};

还可以换一种写法，核心思路还是跟上面的解法相同，要找是否存在和为N的等差数列，根据上面的分析，需要看等差数列的起始值x是否为整数，若这个等差数列每个数字都减去一个 x-1，就变成了一个从1开始的差值为1的等差数列，那就让k从1开始遍历，用一个变量 sum，每次都加上k值，这样就相当于计算了这个等差数列的和，然后每次看 N-sum 是否能整除k，能的话就表明存在长度为k的等差数列和为N，逻辑以及代码如下：
x, x+1, x+2, ..., x+k-1 = N 每一项都减去x - 1
1, 2, 3, ..., k = N - k * (x - 1) 转化为
sum = N - k * (x - 1)N - sum = k * (x - 1) 所以只要N - sum能整除k就存在一种解法

//解法二
class Solution {
	public int consecutiveNumbersSum(int N) {
        int res = 0, sum = 0;
        for (int k = 1; sum < N; k++) {
            sum += k;
            if ((N - sum) % k == 0) res++;
	}
        return res;
    }
};