前言
一、相关概念
- 曲线的方程和方程的曲线
- 求轨迹方程的一般步骤[在直角坐标系下和极坐标系下都是一样的]
①建立坐标系，用\((x，y)\)表示曲线上的任意一点\(M\)的坐标；
②写出适合条件\(p\)的点\(M\)的集合\(P=\{M|p(M)\}\)；
③用坐标表示条件\(p(M)\)，列出方程\(f(x，y)=0\)，并化简；
④查缺补漏，并完善；
二、注意事项
求轨迹和求轨迹方程是不一样的，求轨迹方程只需要写出其方程即可，若是求轨迹，除过写出方程外，还需要说明轨迹的样子，比如圆需要说明圆心和半径，椭圆需要说明中心和长轴与短轴等。
三、常见方法
- 定义法
近年考试常常和圆锥曲线的定义结合很紧密，故需要特别注意。
- 相关点法
将未知曲线上的动点坐标\(P'(x'，y')\)用已知曲线上的动点坐标\(P(x，y)\)表示，然后反解得到\(x=f(x')\)，\(y=g(y')\)，然后将其代入已知曲线方程中，整理得到的即为待求曲线的轨迹方程，这一方法就叫相关点法。
- 参数方程法
- 点差法
- 特殊化策略
二、典例剖析
例1【定义法】已知圆\(M：(x+1)^2+y^2=1\)，圆\(N：(x-1)^2+y^2=9\)，动圆\(P\)与圆\(M\)外切并且与圆\(N\)内切，圆心\(P\)的轨迹方程为曲线\(C\)。
(1)、求\(C\)的方程；
分析：由已知得，圆\(M\)的圆心为\(M(-1，0)\)，半径\(r_1=1\)；圆\(N\)的圆心为\(N(1，0)\)，半径\(r_2=3\)；
设圆\(P\)的圆心为\(P(x，y)\)，半径为\(R\)；
由于圆\(P\)与圆\(M\)外切并且与圆\(N\)内切，
所以\(|PM|+|PN|=(R+r_1)+(r_2-R)=r_1+r_2=4\)，
由[椭圆的定义]可知，曲线\(C\)是以\(M\)，\(N\)为左右焦点，长半轴长为2，短半轴长为\(\sqrt{3}\)的椭圆(左顶点除外)，
其轨迹方程为\(\cfrac{x^2}{4}+\cfrac{y^2}{3}=1(x\neq -2)\)。
(2)、\(l\)是与圆\(P\)，圆\(M\)都相切的一条直线，\(l\)与曲线\(C\)交于\(A\)，\(B\)两点，当圆\(P\)的半径最长时，求\(|AB|\)；
待整理。
例2【点差法】已知椭圆\(\cfrac{x^2}{2}+y^2=1\)，求斜率为\(2\)的平行弦的中点的轨迹方程。
解：设弦的两个端点分别为\(P(x_1，y_1)，Q(x_2，y_2)\)，\(PQ\)的中点为\(M(x，y)\)，
则有\(\cfrac{x_1^2}{2}+y_1^2=1\)①，\(\cfrac{x_2^2}{2}+y_2^2=1\)②，
①-②得到，\(\cfrac{x_1^2-x_2^2}{2}+y_1^2-y_2^2=0\)
则有\(\cfrac{x_1+x_2}{2}+\cfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}(y_1+y_2)=0\)
又由于\(x_1+x_2=2x\)，\(y_1+y_2=2y\)，\(\cfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=k=2\)，
代入上式，得到\(x+4y=0\)，
又由于弦中点在椭圆内，故所求的弦中点的轨迹方程为\(x+4y=0\)(在已知椭圆内)。
例3【参数方程法】已知过原点的动直线\(l\)与圆\(C_1：x^2+y^2-6x+5=0\)相交于不同的两点\(A，B\)，
(1)、求直线\(l\)的斜率\(k\)的取值范围；
分析：圆的标准方程为\((x-3)^2+y^2=2^2\)，
故圆心坐标\(C_1(3，0)\)，半径为\(r=2\)，
设直线\(l\)的方程为\(y=kx\)，即\(kx-y=0\)，
则圆心\(C_1\)到直线\(l\)的距离\(d=\cfrac{|3k|}{\sqrt{k^2+1}}< 2\)，
解得\(-\cfrac{2\sqrt{5}}{5}< k< \cfrac{2\sqrt{5}}{5}\)；
(2)、求线段\(AB\)的中点\(M\)的轨迹\(C\)的方程。
分析【法1】：设直线\(AB\)的方程为\(y=kx\)，点\(A(x_1，y_1)\)，\(B(x_2，y_2)\)
与圆\(C_1\)联立，消\(y\)得到，\((1+k^2)x^2-6x+5=0\)，
由\(\Delta =(-6)^2-4\times 5(1+k^2)>0\)，可得\(k^2<\cfrac{4}{5}\)，
由韦达定理可得，\(x_1+x_2=\cfrac{6}{1+k^2}\)，
则线段\(AB\)的中点\(M\)的轨迹\(C\)的参数方程为\(\left\{\begin{array}{l}{x=\cfrac{3}{1+k^2}①}\\{y=\cfrac{3k}{1+k^2}②}\end{array}\right.\)，其中\(-\cfrac{2\sqrt{5}}{5}<k<\cfrac{2\sqrt{5}}{5}\)，
如何消参数呢？两式相比，得到\(y=kx\)，即\(k=\cfrac{y}{x}\)，代入①变形整理后得到，\((x-\cfrac{3}{2})^2+y^2=\cfrac{9}{4}\)，
又由于\(k^2<\cfrac{4}{5}\)，得到\(\cfrac{5}{3}<x\leq 3\)，
故线段\(AB\)的中点\(M\)的轨迹\(C\)的方程为\((x-\cfrac{3}{2})^2+y^2=\cfrac{9}{4}\)，其中\(\cfrac{5}{3}<x\leq 3\)。
【法2】有空，再思考补充 点差法。 \((x_1+x_2)[(x_1-x_2)-6]=-(y_1+y_2)(y_1-y_2)\)。
例4【相关点法】在直角坐标系\(xoy\)中，以坐标原点为极点，\(x\)轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线\(C_1\)的方程为\(\rho(\rho-4sin\theta)=12\)，定点\(A(6，0)\)，点\(P\)是\(C_1\)上的动点，\(Q\)为\(AP\)的中点，求点\(Q\)的轨迹\(C_2\)的直角坐标方程；
分析：将曲线\(C_1\)的极坐标方程化为直角坐标方程为\(x^2+y^2-4y=12\)，
设点\(P(x'，y')\)，点\(Q(x，y)\)，由\(Q\)为\(AP\)的中点，
得到\(\begin{cases}x'=2x-6\\y'=2y\end{cases}\)，
代入\(x^2+y^2-4y=12\)，得到点\(Q\)的轨迹\(C_2\)的直角坐标方程为\((x-3)^2+(y-1)^2=4\)；
例5【特殊化策略】
设椭圆\(\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)上的动点\(Q\)，过动点\(Q\)做椭圆的切线\(l\)，过右焦点做\(l\)的垂线交\(l\)于点\(P\)，则点\(P\)的轨迹方程为【】
$A.x^2+y^2=a^2$ $B.x^2+y^2=b^2$ $C.x^2+y^2=c^2$ $D.x^2+y^2=e^2$
分析：由于点\(Q\)是椭圆上的任意一个动点，不妨取其在椭圆的四个特殊位置来思考，当点\(Q(a，0)\)时，过动点\(Q\)做椭圆的切线\(l：x=a\)，过右焦点做\(l\)的垂线为\(y=0\)，则点\(P(a，0)\)，代入验证，只有选项\(A\)满足；当点\(Q(0，b)\)时，过动点\(Q\)做椭圆的切线\(l：y=b\)，过右焦点做\(l\)的垂线为\(x=c\)，则点\(P(c，b)\)，代入验证，也只有选项\(A\)满足；故用特殊化策略可知，选\(A\)。
解后反思：如果本题目直接求解，可能会很麻烦，由此也体现出特殊化策略在解选择题时的便捷性。
