埃拉托斯特尼筛法[编辑]

 

 

埃拉托斯特尼筛法（希腊语：κόσκινον Ἐρατοσθένους，英语：sieve of Eratosthenes ），简称埃氏筛，是一种公元前250年由古希腊数学家埃拉托斯特尼所提出的一种简单检定素数的算法。

 

目录

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  • 1 算式
  • 1.1 步骤
  • 2 参考文献
  • 3 参见
  • 4 外部链接

 

算式[编辑]

给出要筛数值的范围n，找出

以内的素数

。先用2去筛，即把2留下，把2的倍数剔除掉；再用下一个素数，也就是3筛，把3留下，把3的倍数剔除掉；接下去用下一个素数5筛，把5留下，把5的倍数剔除掉；不断重复下去......。

步骤[编辑]

详细列出算法如下：

  1. 列出2以后的所有序列：
  • 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
  1. 标出序列中的第一个素数，也就是2，序列变成：
  • 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
  1. 将剩下序列中，划摽2的倍数（用红色标出），序列变成：
  • 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
  1. 如果现在这个序列中最大数小于最后一个标出的素数的平方，那么剩下的序列中所有的数都是素数，否则回到第二步。
  1. 本例中，因为25大于2的平方，我们返回第二步：
  2. 剩下的序列中第一个素数是3，将主序列中3的倍数划出（红色），主序列变成：
  • 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
  1. 我们得到的素数有：2，3
  2. 25仍然大于3的平方，所以我们还要返回第二步：
  3. 现在序列中第一个素数是5，同样将序列中5的倍数划出，主序列成了：
  • 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
  1. 我们得到的素数有：2 3 5 。
  2. 因为25等于5的平方，跳出循环.

结论：去掉红色的数字，2到25之间的素数是：2 3 5 7 11 13 17 19 23。

下列是伪代码算法：

// arbitrary search limit
limit ← 1.000.000                   

// assume all numbers are prime at first                                    
                                                                            
is_prime(i) ← true, i ∈ [2, limit] 

for n in [2, √limit]:
    if is_prime(n):
        // eliminate multiples of each prime,
        // starting with its square
        is_prime(i) ← false, i ∈ {n², n²+n, n²+2n, ..., limit}

for n in [2, limit]:
    if is_prime(n): print n

可再简化为：

limit = 1000000
sieve$ = string of the character "P" with length limit

prime = 2
repeat while prime

2

< limit
    set the character at the index of each multiple of prime (excluding index prime * 1) in sieve$ to "N"
    prime = index of the next instance of "P" in sieve$ after index prime
end repeat

print the index of each instance of "P" in sieve$

下列是C语言实现代码

char * primeNumbersBySieveOfEratosthenes (size_t n) {

// 初始化素数数组
  char* num = (char*) malloc(sizeof(char) * n );
  for ( size_t i = 2; i < n; ++i ) {       
      num[i] = TRUE;                       
  }
  // 按照埃拉托斯特尼筛法，将为基数的倍数的所有数标记为非素数。
  size_t i = 2;
  while ( i * i  <= n ) {
       for (size_t c = 2, idx = 2*i; idx < n; ++c, idx = i * c) {
           num[idx] = FALSE;
       }
       do {
          ++i;
       } while ( i * i <= n && num[i] == FALSE);
  }
  return num;

}

参考文献[编辑]

 

  • Κοσκινον Ερατοσθενους or, The Sieve of Eratosthenes. Being an Account of His Method of Finding All the Prime Numbers, by the Rev. Samuel Horsley, F. R. S., Philosophical Transactions (1683-1775), Vol. 62. (1772), pp. 327-347.

参见[编辑]

  • 卢卡斯-莱默检验法
  • 米勒-拉宾检验
  • 试除法
  • 费马素性检验
  • 孪生素数
  • 三胞胎素数
  • 四胞胎素数
  • 素数判定法则
  • 表兄弟素数
  • 六素数
  • X²+1素数

外部链接[编辑]

  • Interactive animation (需要JavaScript)

分类：

  • 素性检验
  • 数论