双线性神经网络是什么 双线性函数是什么意思

一.双线性函数(10.1)

1.概念

(1)定义:

(2)示例:

2.双线性函数的表达式

(1)度量矩阵的概念:

(2)双线性型:

3.双线性函数在不同基下的度量矩阵间的关系

(1)双线性函数在不同基下的度量矩阵间的关系:

定理1:设$f$是域$F$上$n$维线性空间$V$上的1个双线性函数,$V$中取2个基$α_1...α_n$与$β_1...β_n$,设$(β_1...β_n)=(α_1...α_n)P\qquad(6)$$f$在基$α_1...α_n$和基$β_1...β_n$下的度量矩阵分别为$A,B$,则$B=P$注:2种证明均可

反之,如果

$A\simeq B$

,则

$A,B$

可看成是

$V$

上同1个双线性函数

$f$

在

$V$

的不同基下的度量矩阵

(4)双线性函数的秩与矩阵秩:

注:可以证明:域$F$上$n$维线性空间$V$上的双线性函数$f$的矩阵秩不超过$f$的秩.证明见 四.3.(3) 部分

二.特殊的双线性函数(10.1)

1.非退化的双线性函数

(1)双线性函数的左/右根:

(2)非退化的双线性函数:

定理2:域$F$上的$n$维线性空间$V$上的双线性函数$f$是非退化的,当且仅当$f$在$V$的1个基下的度量矩阵是满秩矩阵

2.(斜)对称双线性函数

(1)定义:

(2)充要条件:

设$f$是域$F$上的$n$维线性空间$V$上的1个双线性函数,$f$在$V$的1个基$α_1...α_n$下的度量矩阵为$A$,则$f是对称的\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\⇔f(α_i,α_j)=f(α_j,α_i)\quad i,j=1,2...n\\⇔A(i;j)=A(j;i)\qquad\:\:\:\:\: i,j=1,2...n\\⇔A是对称矩阵\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$类似地,有$\:\:\:\:f是斜对称的\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\\\,\,\,⇔f(α_i,α_j)=-f(α_j,α_i)\quad i,j=1,2...n\\⇔A(i;j)=-A(j;i)\qquad\,\,\: i,j=1,2...n\\\:\:\:\,\,⇔A是斜对称矩阵\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:$

(3)(斜)对称双线性函数的度量矩阵的最简单的形式:

定理3:设$f$是特征不为2的域$F$上的$n$维线性空间$V$上的对称双线性函数,则$V$中$∃1$个基,使得$f$在此基下的度量矩阵为对角矩阵

推论1:特征不为

$2$

的域

$F$

上的

$n$

阶对称矩阵

$A$

一定合同于1个对角矩阵,这个对角矩阵称为

$A$

的1个

合同标准型

定理4:设$f$是特征不为2的域$F$上的$n$维线性空间$V$上的斜对称双线性函数,则$∃V$的$1$个基,记成$δ_1,δ_{-1}...δ_r,δ_{-r},η_1...η_s\,(0≤r≤\frac{n}{2},s=n-2r)$,使得$f$在此基下的度量矩阵具有如下形式:$diag\{\left[\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}\right]...\left[\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}\right],0...0\}\qquad(16)$

推论1:特征不为

$2$

的域

$F$

上的

$n$

阶斜对称矩阵

$A$

一定合同于1个形如下式的分块对角矩阵:

$\left[\begin{matrix}\left[\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}\right]\\&...\\&&\left[\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}\right]\\&&&0\\&&&&...\\&&&&&0\end{matrix}\right]$

注:特征为2的域$F$上的$n$维线性空间$V$上的对称双线性函数的度量矩阵的最简单的形式见 八 部分

三.对称双线性函数与二次型的关系(10.1)

1.二次函数

(1)概念:

(2)与对称双线性函数的关系:

定理5:设$V$是特征不为2的域$F$上的线性空间,$q$是$V$上的1个二次函数,则存在$V$上唯一的对称双线性函数$f$,使得$f(α,α)=q(α)\,(\forallα∈V)\qquad(27)$

2.$f,q,A,x$的关系

(1)$f,q,A,x$的关系:

(2)惯性定理:

定理6(惯性定理):实数域上任意1个$n$元二次型都可以经过非退化线性替换变化化成规范形,并且其规范形是唯一的

3.维特消去定理的推广
(1)维特消去定理的推广:

定理7(维特消去定理的推广):设$F$是特征不为2的域,$A_1,A_2$是$F$上的$n$级矩阵,$B_1,B_2$是$F$上的$m$对称矩阵.如果$\left[\begin{matrix}A_1&0\\0&B_1\end{matrix}\right]\simeq\left[\begin{matrix}A_2&0\\0&B_2\end{matrix}\right]\qquad(37)$其$A_1\simeq A_2$,那么$B_1\simeq B_2$

推论:设

$F$

是特征不为2的域,

$A_1,A_2$

是

$F$

上的

$n$

级矩阵,

$B_1,B_2$

是

$F$

上的

$m$

对称矩阵.如果

$\left[\begin{matrix}A_1&0\\0&B_1\end{matrix}\right]\simeq\left[\begin{matrix}A_2&0\\0&B_2\end{matrix}\right]$

其

$B_1\simeq B_2$

,那么

$A_1\simeq A_2$

(2)惯性定理:

四.双线性函数空间(10.1)

1.概念

(1)概念:

(2)双线性函数与线性变换:

2.双线性函数空间的分解:

定理8:设$V$是特征不为2的域$F$上的线性空间,则$T_2(V)=S_2(V)\oplusΛ_2(V)$

3.双线性函数空间的基

(1)张量积:

(2)双线性函数空间的基:

定理9:设$V$是域$F$上$n$维线性空间,$V$中取1个基$α_1,α_2...α_n$,它在$V^*$中的对偶基为$f_1,f_2...f_n$,则$\{f_i\otimes f_j\,|\,i,j=1,2...n\}$是$T_2(V)$的1个基.设$V$上的双线性函数$f$在$α_1,α_2...α_n$下的度量矩阵$A=(a_{ij})$,则$f$在$T_2(V)$的基$f_1\otimes f_1,f_1\otimes f_2...f_1\otimes f_n,f_2\otimes f_1...f_n\otimes f_1,f_n\otimes f_n$下的坐标为$(a_{11},a_{12}...a_{1n},a_{21}...a_{2n}...a_{n1}...a_{nn})\qquad(68)$即$f=\displaystyle\sum_{i=1}^n\displaystyle\sum_{j=1}^na_{ij}f_i\otimes f_j\qquad(69)$

设

$ξ_1,ξ_2...ξ_r$

是

$V$

上的1组双线性函数,如果

$V$

上的双线性函数

$f$

能表示成

$f=\displaystyle\sum_{i=1}^r\displaystyle\sum_{j=1}^rb_{ij}ξ_i\otimesξ_j\qquad(70)$

那么称

$f$

能用

$ξ_1,ξ_2...ξ_r$张量形式表示

(3)双线性函数的秩和矩阵秩:

命题1:如果$V$上的双线性函数$f$能用$V$上的线性函数$ξ_1,ξ_2...ξ_r$张量形式表示,那么$f$的秩空间$W\sube<ξ_1,ξ_2...ξ_r>$

推论:如果

$V$

上的双线性函数

$f$

能用

$V$

上的

$r$

个线性函数张量形式表示,那么

$f$

的秩不超过

$r$

命题2:$n$维线性空间$V$上的任一双线性函数$f$能用其秩空间$W$的任意1个基张量形式表示

推论1:

$n$

维线性空间

$V$

上的双线性函数

$f$

的秩等于能用张量形式表示

$f$

的

$V$

上线性函数的最小数目

推论2:

$n$

维线性空间

$V$

上的双线性函数

$f$

的矩阵秩不超过其秩

定理10:设$f$是域$F$上$n$维线性空间$V$上的对称双线性函数,则$f$的矩阵秩等于其秩

五.特征为2的域$F$上的$n$维线性空间$V$上的对称双线性函数的度量矩阵的最简单的形式

定理11:设$f$是特征为2的域$F$上$n$维线性空间$V$上的对称双线性函数,则$V$中存在1个基,使得$f$在此基下的度量矩阵$A$为下述形式的分块对角矩阵:$diag\:\{d_1...d_r,\left[\begin{matrix}0&1\\1&0\end{matrix}\right]...\left[\begin{matrix}0&1\\1&0\end{matrix}\right]\}\qquad(76)$其中$d_i∈F\,(i=1,2...r,0≤r≤n)$

定理12:设$f$是特征为2的域$F$上$n$维线性空间$V$上的对称双线性函数.若$∃α_1∈V$使得$f(α_1,α_1)≠0$,则$V$中存在1个基使得$f$在此基下的度量矩阵$A$为下述形式的对角矩阵:$diag\:\{d_1...d_r,0_{n-r}\}$其中$0≠d_i∈F\,(i=1,2...r,0≤r≤n)$

设

$a∈F$

,如果

$∃b∈F$

使得

$b^2=a$

,那么称

$a$

是

$F$

的1个

平方元

推论1:设

$f$

是特征为2的域

$F$

上

$n$

维线性空间

$V$

上的对称双线性函数.若

$F$

的每个非零元都是平方元,且

$∃α_1∈V$

使得

$f(α_1,α_1)≠0$

,则

$V$

中存在1个基使得

$f$

在此基下的度量矩阵为下述形式的对角矩阵:

$diag\:\{I_r,0_{n-r}\}$

其中

$1≤r≤n$

推论2:设

$f$

是域

$F_{2^m}$

上

$n$

维线性空间

$V$

上的对称双线性函数.若

$∃α_1∈V$

使得

$f(α_1,α_1)≠0$

,则

$V$

中存在1个基使得

$f$

在此基下的度量矩阵为下述形式的对角矩阵:

$diag\:\{I_r,0_{n-r}\}$

其中

$1≤r≤n$