对一个有向无环图(Directed Acyclic Graph简称DAG)G进行拓扑排序,是将G中所有顶点排成一个线性序列,使得图中任意一对顶点u和v,若边(u,v)∈E(G),则u在线性序列中出现在v之前。通常,这样的线性序列称为满足拓扑次序(Topological Order)的序列,简称拓扑序列。简单的说,由某个集合上的一个偏序得到该集合上的一个全序,这个操作称之为拓扑排序。
在图论中,由一个有向无环图的顶点组成的序列,当且仅当满足下列条件时,称为该图的一个拓扑排序(英语:Topological sorting):
- 每个顶点出现且只出现一次;
- 若A在序列中排在B的前面,则在图中不存在从B到A的路径。
from collections import defaultdict
class Graph:
def __init__(self, vertices):
# 创建用处存储图中点之间关系的dict{v: [u, i]}(v,u,i都是点,表示边<v, u>, <v, i>):边集合
self.graph = defaultdict(list)# 默认值 []
self.V = vertices# 存储图中点的个数
# 添加边
def add_edge(self, u, v):
# 添加边<u, v>
self.graph[u].append(v)
#{5:[2,0],4:[0,1],2:[3],3:[1]}
# 获取一个存储图中所有点的状态:dict{key: Boolean}
def set_keys_station(self):
keyStation = {}
key = list(self.graph.keys())# [5,4,2,3]
# 因为有些点,没有出边,所以在key中找不到,需要对图遍历找出没有出边的点
if len(key) < self.V:
for i in key:
for j in self.graph[i]:
if j not in key:
key.append(j)
for ele in key:
keyStation[ele] = False
# 初始时全为False ,dict{key: False}
return keyStation#{5:False, 4:False, 2:False, 3:False, 0:False, 1:False,}
# 拓扑排序
def topological_sort(self):
queue = []# 拓扑序列
station = self.set_keys_station()# 点状态字典,状态初始化全部为False
# 由于最坏情况下每一次循环都只能排序一个点,所以需要循环(点的个数)次
for i in range(self.V):
# 循环点状态字典,elem:点
# 第一遍循环完queue= [5, 4, 2,3,0,1]
# 所以没有独立点(既没有入边也没有出边)只需循环一次即可得到结果
for elem in station:
# 这里如果是已经排序好的点就不进行排序操作了
# 第一次循环完 station={5:True, 4:False, 2:False, 3:False, 0:False, 1:False,}
if not station[elem]:
self.topological_sort_util(elem, queue, station)
if len(queue)== self.V: break
return queue
# 对于点进行排序
def topological_sort_util(self, elem, queue, station):
# 设置点的状态为True,表示已经排序完成
station[elem] = True
# 状态为True的点,相当于排序完成,这个点的边集合不需要扫描
# (i=0)ele = 0, station[5]=True 跳过点5,station[1] = True
# (i=0)ele = 0, station[4]=True 跳过点4,station[1] = True
# (i=0)ele = 1, station[4]=True 跳过点4,station[1] = True
# (i=0)ele = 1, station[3]=True 跳过点3,station[1] = True
for i in station:
# 循环查看该点是否有入边,如果存在入边,修改状态为False
# 3 in graph[2] ,
if elem in self.graph[i] and not station[i]:
station[elem] = False
# 如果没有入边(排除了queue中的点(排序完成的点)),排序成功,添加到拓扑序列中
if station[elem]:# 此处如果多个点都没有入边,则根据添加边时的顺序排序,即同为没有入边的点顺序可以调换
queue.append(elem)
if __name__ == '__main__':
g = Graph(6)
g.add_edge(5, 2);
g.add_edge(5, 0);
g.add_edge(4, 0);
g.add_edge(4, 1);
g.add_edge(2, 3);
g.add_edge(3, 1);
print("拓扑排序结果:")
print(g.topological_sort())