《剑指Offer》，面试题32的题目：输入一个整数n，求从1到n这n个整数的十进制表示中1出现的次数。

例如输入12，从1到12这些整数中包含1的数字有1、10、11和12，所以1一共出现了5次。

 

思路分析

1位数，1~9中，1一共出现了1次；

2位数，10~99中，10-19的十位上一共出现了 10*1=10 次，对于每个十位开头的数字 10~19、20~29，每个数个位上出现的是1-9中1出现的次数，共有9个区间 9*1=9 次；

3位数，100~999，100~199 百位上出现了 10**2=100 次，对于每个百位数开头，例如 100~199，200~299，低位上其实就是 0~99 这个区间上1出现的次数，一共9个区间 9*19=171 次；

由此推测，对于1~9，10~99，100~999，每个 n 位数中包含 1 的个数公式为：

  •  f(1) = 1
  • f(2) = 9 * f(1) + 10 ** 1
  • f(3) = 9 * f(2) + 10 ** 2
  • f(n) = 9 * f(n-1) + 10 ** (n-1)

通过以上分析，我们可以确定对于任意一个给定的数，例如 23456 这个5位数，10000之前的数中包含的个数是确定的了，为f(1)+f(2)+f(3)+f(4)，这是一个递归的过程，对此可以求出 1~4 位中包含1的总数，函数如下所示【注意，返回值应该是 f(1)+f(2)+...+f(n) 而非 f(n) 】：

def get_1_digits(n):
    """
    获取每个位数之间1的总数
    :param n: 位数
    """
    if n <= 0:
        return 0
    if n == 1:
        return 1
    current = 9 * get_1_digits(n-1) + 10 ** (n-1)
    return get_1_digits(n-1) + current

求给定的 n 是几位数的代码如下：

def get_digits(n):
    # 求整数n的位数
    ret = 0
    while n:
        ret += 1
        n //= 10
    return ret

 

通过上面的分析，我们知道了 23456 中，1~10000 之间一共出现了多少个1。下一步需要分析 10000~23456 中包含的1。

我们首先把最高位单独拿出来分析一下，求出最高位上1的个数。如果最高位是1，则最高位上一共会出现的1的次数是低位上数字+1。例如12345，最高位上一共出现了2346个1。如果最高位大于1，则会一共出现的次数是10000~19999一共10**4个数。

然后，根据最高位的不同，计算出该高位前面的相同位数范围中的所有数中1的个数。例如对于34567，需要计算出 10000~19999，20000~29999 中一的个数，这时候计算1的个数，也就是计算 0~9999 中1的个数，这就可以转化成上面的 f(n) 来计算了。调用上面函数可以直接得到，然后用得到的值和最高位和1的差值（这里最高位是3）相乘就可以了。

分析完上面的部分后，我们现在只剩下最高位后面的部分了，我们发现剩下的部分还是一个整数，例如 23456 剩下了 3456，这时候直接使用递归处理剩下的 3456 就行了。具体代码如下：

def get_1_nums(n):
    if n < 10:
        return 1 if n >= 1 else 0
    digit = get_digits(n)  # 位数
    low_nums = get_1_digits(digit-1)  # 最高位之前的1的个数
    high = int(str(n)[0])  # 最高位
    low = n - high * 10 ** (digit-1)  # 低位

    if high == 1:
        high_nums = low + 1  # 最高位上1的个数
        all_nums = high_nums
    else:
        high_nums = 10 ** (digit - 1)
        all_nums = high_nums + low_nums * (high - 1)  # 最高位大于1的话，统计每个多位数后面包含的1
    return low_nums + all_nums + get_1_nums(low)

为了比较运行的效率，我用每次遍历循环每个数中1的个数的方法进行了次数比较，发现使用以上方法效率提高了很多的，给定的数越大，效率提升越明显。常规解法如下：

def test_n(num):
    # 常规方法用来比较
    ret = 0
    for n in range(1, num+1):
        for s in str(n):
            if s == '1':
                ret += 1
    return ret

使用下面的代码进行了测试，发现效率提升非常明显：

if __name__ == '__main__':
    test = 9923446
    import time
    t = time.clock()
    print test_n(test)
    print time.clock() - t
    t1 = time.clock()
    print get_1_nums(test)
    print time.clock() - t1

运行结果如下，发现运行速率提升了很多很多倍：


6970095
18.284745
6970095
0.000223999999999