1. 根据概念判断:

如果一个正整数只有两个因子, 1和p，则称p为素数.

public boolean isPrime(int n)
 {
 if(n < 2) return false;
 for(int i = 2; i < n; ++i)
 if(n%i == 0) return false;
 return true;
 }

时间复杂度O(n).

2. 改进, 去掉偶数的判断

public boolean isPrime(int n)
 {
 if(n < 2) return false;
 if(n == 2) return true;
 if(n%2==0) return false;
 for(int i = 3; i < n; i += 2)
 if(n%i == 0) return false;
 return true;
 }

时间复杂度O(n/2), 速度提高一倍.

3. 进一步减少判断的范围

定理: 如果n不是素数, 则n有满足1< d<=sqrt(n)的一个因子d.

证明: 如果n不是素数, 则由定义n有一个因子d满足1< d< n.

如果d大于sqrt(n), 则n/d是满足1< n/d<=sqrt(n)的一个因子.

public boolean isPrime(int n)
 {
 if(n < 2) return false;
 if(n == 2) return true;
 if(n%2==0) return false;
 for(int i = 3; i*i <= n; i += 2)
 if(n%i == 0) return false;
 return true;
 }

时间复杂度O(Math.sqrt(n)/2), 速度提高O((n-Math.sqrt(n))/2).

4. 剔除因子中的重复判断.

定理: 如果n不是素数, 则n有满足1< d<=Math.sqrt(n)的一个"素数"因子d.

证明: I1. 如果n不是素数, 则n有满足1< d<=Math.sqrt(n)的一个因子d.

I2. 如果d是素数, 则定理得证, 算法终止.

I3. 令n=d, 并转到步骤I1.

由于不可能无限分解n的因子, 因此上述证明的算法最终会停止.

// primes是递增的素数序列: 2, 3, 5, 7, ...
 // 更准确地说primes序列包含1->Math.sqrt(n)范围内的所有素数
 public boolean isPrime(int primes[], int n)
 {
 if(n < 2) return false;
 for(int i = 0; primes[i]*primes[i] <= n; ++i)
 if(n%primes[i] == 0) return false;
 return true;
 }

　　5. 构造素数序列primes: 2, 3, 5, 7, ...

由4的算法我们知道, 在素数序列已经被构造的情况下, 判断n是否为素数效率很高;

下面程序可以输出素数表.

public class ShowPrimeNumber{
 public static int[] getPrimeNums(int maxNum){
 int[] primeNums = new int[maxNum/2+1];
 int sqrtRoot;
 int cursor = 0;
 boolean isPrime;
 for(int i=2;i<=maxNum;i++){
 sqrtRoot = (int)Math.sqrt(i); //取平方根
 isPrime = true;
 for(int j=0;j< cursor;j++){
 if(primeNums[j]>sqrtRoot)
 break;
 if(i%primeNums[j]==0){
 isPrime = false;
 break;
 }
 }
 if(isPrime){
 primeNums[cursor++] = i;
 }
 }
 int[] result = new int[cursor];
 System.arraycopy(primeNums,0,result,0,cursor);
 return result;
 }
 public static void main(String[] args) throws Exception{
 int maxNum = Integer.parseInt(args[0]);
 int[] primeNums = getPrimeNums(maxNum);
 System.out.println("共"+primeNums.length+"个素数");
 for(int i=0;i< primeNums.length;i++){
 System.out.print(primeNums[i]+",\t");
 }
 }
 }

6.(在素数表中)二分查找

Arrays.BinarySearch方法:

该方法用于在指定数组中查找给定的值，采用二分法实现，所以要求传入的数组已经是排序了的。

该方法的基本语法格式为：

Static int binarySearch(byte[] a, byte key)

该方法返回数据中key元素所在的位置，如果没有key元素，则返回key应插入的位置：-（insertion point-1），如数组中的第一个元素就大于key，返回-1。

注：数组的数据类型可以是int[] byte[] short[] float[] long[] double[] char[] Object[]类型。