随机三个总权重为100的数 随机变量的三个数字

随机变量的数字特征

本文内容主要参考自

1、《概率论与数理统计》第2版，徐全智、吕恕编，高等教育出版社；

2、黄庆明老师课件。

第一部分数学期望

一、随机变量的数学期望

定义设离散型随机变量

的分布律为

若

，则称

为随机变量

的数学期望或均值。

定义 设连续型随机变量

的概率密度为

，若

，则称

为随机变量

的数学期望或均值。

 

二、随机变量的函数的数学期望

定理设

是随机变量

的函数

（

是连续函数）。（1）若

是离散型随机变量，其分布律为

如果

绝对收敛，则有

（2）若

是连续性随机变量，其密度函数是

，如果

则

利用定理1，我们可不必求出随机变量

的分布（分布律或概率密度），直接利用随机变量

的已知分布即可。

定理推广到多个随机变量的情况。

定理设

是二维随机变量，

也是随机变量。（1）若

是离散型随机变量，其联合分布律为

则当

时，

（2）若

是连续型随机变量，其联合概率密度为

，则当

有

 

三、数学期望的性质

（1）设

是常数，则有

；（2）设

是随机变量，

是常数，则有

；（3）设

、

是两个随机变量，则有

；（4）设

、

是相互独立的随机变量，则有

.

第二部分随机变量的方差

一、随机变量的方差

定义 1 设

是随机变量，若

存在，则称

为

的方差，称

为

的标准差（或均方差）。方差

是随机变量

的数学期望，当

是离散型随机变量，则

当

是连续型随机变量，则

 

方差常用计算公式:

证

二、方差的性质

（1）若

是常数，则

;（2）设随机变量

的方差存在，

是常数，有

;（3）设随机变量

与

的方差存在，有

又若

与

独立，则

（4）随机变量

的方差为零的充分必要条件是

以概率为1取常数

，即

三、标准化随机变量

设随机变量

的数学期望存在，方差

，令

则有

其中，

称为随机变量

的标准化随机变量，

证

 

第三部分 协方差

一、协方差的定义

现描述两个随机变量之间关系的数字特征。

定义若关于随机变量

的数学期望

存在，则称

为随机变量

与

的协方差。

特别有

另外，方差的性质（3），又可以写作

二、协方差的性质

（1）对称性：

（2）齐性：

是常数;（3）可加性：

常利用下述公式

三、协方差矩阵

定义设n维随机变量

的协方差存在，称矩阵

为n维随机变量

的协方差矩阵。协方差矩阵

满足：（1）

（2）

可见协方差矩阵是一个对称矩阵。

协方差矩阵说明随机向量X的各分量的分散情况，也可这样写：

其中，协方差矩阵的各分量为：

若i!=j，则λ_ij是X的第i个分量与第j个分量的协方差；

若i = j，则λ_ii是随机变量X_i的方差，即协方差矩阵的对角分量。

第四部分相关系数

若随机变量

的协方差及方差均存在，而且

，则称

为随机变量

与

的相关系数。

上述公式可以写成下面的形式

即相关系数

是

与

相应的标准化随机变量的协方差。定义 若随机变量

相关系数存在，且

，则称

、

不相关；若

，则称

、

正相关；若

，则称

、

负相关。需要特别指出：称随机变量

与

不相关，仅指它们不存在线性相关关系。定理  如果随机变量

与

相互独立，则

与

不相关。

此定理的逆定理不存在。

补充：

若

，可得到

。

由于二维正态随机变量相互独立的充分必要条件是

，亦即它们相互独立等价于它们不相关。

后续会添加一些对常见分布的总结，敬请期待！