前言
函数的解析式是函数的重要性质之一，要研究函数，我们往往需要以函数的解析式为依托和切入，如果知道了函数的解析式，那么我们也许通过观察就能很快发现函数的一些简单的性质，比如\(f(x)=x+x^3\)，看到这个解析式，我们就能知道函数的定义域和值域都是\(R\)，是奇函数，是单调递增函数，过点\((0，0)\)等。所以我们必须切实掌握求函数的解析式的常用方法。
基本方法
- 1、配凑法，
操作说明：在等号的右端配凑出关于自变量整体的代数式，然后做代换。
例1已知函数\(f(x)\)满足条件 \(f(\sqrt{x}+1)=x+2\sqrt{x}\)，求\(f(x)\)，求\(f(x)\)的解析式；
分析： \(f(\sqrt{x}+1)=x+2\sqrt{x}=(\sqrt{x}+1)^2-1\)，
注意右端需要配凑出以\(\sqrt{x}+1\)为整体变量的代数式，以便于下一步的代换，到此配凑工作结束；
令\(\sqrt{x}+1=t\)，则新元\(t\ge 1\)
故解析式为\(f(t)=t^2-1(t\ge 1)\)，再将自变量替换为我们适应的\(x\)，
则所求的解析式为\(f(x)=x^2-1(x\ge 1)\)。
例1-2 已知\(f(x+\cfrac{1}{x})=x^3+\cfrac{1}{x^3}\)，求\(f(x)\)的解析式；
分析：注意到\(x^3+\cfrac{1}{x^3}=(x+\cfrac{1}{x})^3-3(x+\cfrac{1}{x})\)，
令\(t=x+\cfrac{1}{x}\)，则新元\(t \in(-\infty，-2]\cup[2，+\infty)\)
故所求解析式为\(f(x)=x^3-3x(|x|\ge 2)\)
解后反思：
1、配凑法是结构化的方法，要注意式子两端的对应性，比如左端的自变量整体是\(\sqrt{x}+1\)，那么右端就必须围绕它来做文章；
2、但凡使用了换元之处，就一定需要注意新元和旧元的取值范围的一致性。
3、例1-2中的\(t=x+\cfrac{1}{x}\)，其实是一个对勾函数，这时高三数学中的一个高频函数，需要特别注意，要对其性质非常清晰才行。
- 2、换元法
操作说明：将未知的或无法掌握的解析式问题转化为已知的解析式问题。
例2【代数换元】求函数\(f(x)=4^x+3\cdot 2^x+1\)的值域。
分析：注意到函数的结果特点，
做代数换元令\(2^x=t>0\)，
则原函数就转化为\(f(x)=g(t)=t^2+3t+1，t\in(0，+\infty)\)上的值域
例2-2【三角换元】求函数\(f(x)=x+\sqrt{1-x^2}\)的值域。
分析：求定义域得到\(x\in[-1，1]\)，
故做三角换元令\(x=cos\theta,\theta\in[0，\pi]\)，
则函数\(f(x)=x+\sqrt{1-x^2}\)
\(=cos\theta+\sqrt{1-cos^2\theta}\)
\(=cos\theta+|sin\theta|\)
\(=sin\theta+cos\theta\)
\(=\sqrt{2}sin(\theta+\cfrac{\pi}{4})\in[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]\)，
故函数的值域为\([-\sqrt{2}，\sqrt{2}]\)。
例2-3【三角换元】求函数\(f(x)=sinx+cosx+sinxcosx\)的值域。
分析：令\(t=sinx+cosx=\sqrt{2}sin(x+\cfrac{\pi}{4})\)，
则可知\(t\in[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]\)，
又由\((sinx+cosx)^2=t^2\)得到\(sinxcosx=\cfrac{t^2-1}{2}\)，
故此时原函数经过换元就转化为二次函数在闭区间上的值域问题了
\(f(x)=g(t)=t+\cfrac{t^2-1}{2}=\cfrac{1}{2}t^2+t-\cfrac{1}{2}\)，\(t\in[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]\)，
解后反思：
1、上述的三个求值域的问题，实际上都先是个求解析式的问题，不过没有人提示我们用换元法，需要我们有一定的数学素养。
同时还暗含了转化划归的一个策略，即将未知的转化为已知的，将复杂的转化为简单的，将高级的转化为低级的。
2、换元法首要注意的一点就是，换元前后的变量取值的一致性。
3、第三个例题的转化非常特殊，注意特别注意。引申比如\(sinx\pm cosx\pm 2sinxcosx\)的转化；
- 3、待定系数法
操作说明：适用于已知函数的类型
例3已知一次函数\(f(x)\)满足条件\(f ( f ( x ))=x+2\)，求\(f(x)\)的解析式；
分析：由于函数\(f(x)\)是一次函数，故我们可以合理的设函数\(f(x)=ax+b\)，
则\(f(f(x))=af(x)+b=a(ax+b)+b=a^2x+ab+b=x+2\)，
故有\(a^2=2\)，\(ab+b=1\)，
解得\(a=1，b=1\)，故所求为\(f(x)=x+1\)；
解后反思：当已知了函数的类型，比如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数，等我们就可以用待定系数法求解析式了。
例3-1已知二次函数\(f(x)\)满足\(f(2)=-1\)，\(f(-1)=-1\)，且\(f(x)\)的最大值是\(8\)，试确定此二次函数的解析式。
法1：一般式，设\(f(x)=ax^2+bx+c(a\neq 0)\)，
由题意得\(\begin{cases}4a+2b+c=-1\\a-b+c=-1\\ \cfrac{4ac-b^2}{4a}=8\end{cases}\)，
解得\(\begin{cases}a=-4\\b=4\\c=7\end{cases}\)，
故\(f(x)=-4x^2+4x+7\)。
法2：顶点式，设\(f(x)=a(x-m)^2+n\)，由题意得\(n=8\)，又\(f(2)=f(-1)\)，
故函数的对称轴是\(x=\cfrac{2+(-1)}{2}=\cfrac{1}{2}\)，故\(m=\cfrac{1}{2}\)。
则\(y=f(x)=a(x-\cfrac{1}{2})^2+8\)，
又\(f(2)=-1\)，\(a(2-\cfrac{1}{2})^2+8=-1\)，
解得\(a=-4\)，故\(f(x)=-4x^2+4x+7\)。
法3：两根式(零点式)，由已知\(f(x)+1=0\)的两根\(x_1=2\)，\(x_2=-1\)，
故可设\(f(x)+1=a(x+1)(x-2)\)，即\(f(x)=ax^2-ax-2a-1\)，
又函数\(f(x)_{max}=8\)，即\(\cfrac{4a(-2a-1)-a^2}{4a}=8\)，
解得\(a=-4\)或\(a=0(舍去)\)，故\(f(x)=-4x^2+4x+7\)。
- 4、方程组法
操作说明：适用于两个自变量整体的积或者和为定值的情形
例4若函数\(f(x)\)满足\(f(x)+2f(1-x)=x\)，则\(f(x)\)的解析式为__________.
分析：方程组法，用\(1-x\)替换原方程中的\(x\),得到\(f(1-x)+2f(x)=1-x\)，
联立两式，则有\(\begin{cases}f(x)+2f(1-x)=x\\f(1-x)+2f(x)=1-x\end{cases}\)，
解以\(f(x)\)和\(f(1-x)\)为元的二元一次方程组，
解得\(f(x)=\cfrac{2}{3}-x\);
例4-1若函数\(f(x)\)满足\(f(x)+2f(2-x)=x\)，则\(f(x)\)的解析式为__________.
分析：方程组法，用\(2-x\)替换原方程中的\(x\),得到\(f(2-x)+2f(x)=2-x\)，联立两式，解得\(f(x)=?\);
例4-2若函数\(f(x)\)满足\(f(x)+2f(-x)=x+1\)，则\(f(x)\)的解析式为__________.
分析：方程组法，用\(-x\)替换原方程中的\(x\)，
例4-3若函数\(f(x)\)满足\(f(x)+2f(\cfrac{1}{x})=3x\)，则\(f(x)\)的解析式为______.
分析：方程组法，用\(\cfrac{1}{x}\)替换原方程中的\(x\),
例4-4若函数\(f(x)\)满足\(f(x)+2f(\cfrac{2}{x})=3x\)，则\(f(x)\)的解析式为__________.
分析：方程组法，用\(\cfrac{2}{x}\)替换原方程中的\(x\),
解后反思：由于两个自变量整体的和或者积为定值，故一旦替换，原来\(A\)位置上就变成了\(B\)，原来\(B\)位置上就变成了\(A\)，这样就构成了方程组，解之即得。
- 5、利用奇偶性求解析式
备注：近年高考的热点
例5【2017全国卷2，文科第14题高考真题】已知函数\(f(x)\)是定义在\(R\)上的奇函数，\(x <0\)时，\(f(x)=2x^3+x^2\)，求\(f(2)\)的值；
法1：当\(x >0\)时，\(-x <0\)，\(f(-x)=-2x^3+x^2\)，又函数是奇函数，
故\(f(x)=-f(-x)=2x^3-x^2\)，
即$ x >0\(时的解析式\)f(x)=2x^3-x^2$；
故\(f(2)=12\)；
法2：求\(f(2)\)的值还可以这样做，不求解析式，利用奇偶性求值。
\(f(-2)=-12\)，\(f(2)=-f(-2)=12\)；
例5-1已知\(f(x)\)，\(g(x)\)分别是定义在\(R\)上的奇函数和偶函数，\(f(x)-g(x)=x^3+x^2+1\)，求\(f(x)\)和\(g(x)\)的解析式。
分析：由题目可知，奇函数满足\(f(x)+f(-x)=0\)，偶函数满足\(g(x)=g(-x)\)
又题目已知\(f(x)-g(x)=x^3+x^2+1\)①，
则有\(f(-x)-g(-x)=-x^3+x^2+1\)②，
两式相加得到，\([f(x)+f(-x)]-[g(x)+g(-x)]=2(x^2+1)\)，
即\(-2g(x)=2(x^2+1)\)，则\(g(x)=-x^2-1\)，
代入①式得到，\(f(x)=x^3\)，
故所求解析式\(f(x)=x^3\)，\(g(x)=-x^2-1\)。
- 6、利用对称性求解析式
备注：近年高考的热点
例6【函数中心对称】已知定义在R上的函数\(f(x)\)满足\(f(1-x)+f(1+x)=2\)，且当\(x>1\)时，\(f(x)=\cfrac{x}{e^{x-2}}\)，则曲线\(y=f(x)\)在\(x=0\)处的切线方程是_____。
法1：利用函数的对称性，先求\(x<1\)时的函数解析式。
由于\(f(1-x)+f(1+x)=2\)，则有\(f(x)+f(2-x)=2\)，
故\(f(x)=2-f(2-x)\)；
又当\(x<1\)时，\(2-x>1\)
即\(x<1\)时的解析式为
\(f(x)=2-f(2-x)=2-\cfrac{2-x}{e^{2-x-2}}=2-\cfrac{2-x}{e^{-x}}\)，
则\(f'(x)=-\cfrac{-1\cdot e^{-x}-(2-x)\cdot(-e^{-x})}{(e^{-x})^2}=-\cfrac{1-x}{e^{-x}}\)
故\(f'(0)=-1\)，又\(f(0)=0\)，即切点为\((0 ,0)\)，
由点斜式可得切线方程为：\(y=-x\)
法2：由\(f(1-x)+f(1+x)=2\)，得到函数\(f(x)\)关于点\((1，1)\)中心对称；
令\(x=1\)，得到\(f(0)+f(2)=2\)，
又函数\(f(x)\)关于点\((1，1)\)中心对称；
故\(f'(0)=f'(2)\)
则\(f'(0)=f'(2)=f'(x)_{|x=2}=-1\)，
又\(f(0)=2-f(2)=0\)，即切点为\((0 ,0)\)，
由点斜式可得切线方程为：\(y=-x\)
例6-2【函数轴对称】已知定义在R上的函数\(f(x)\)满足\(f(x)=f(2-x)\)，且当\(x\ge 1\)时，\(f(x)=(x-1)^2\)，求函数\(f(x)\)的解析式；
分析：当\(x<1\)时，\(2-x>1\)，故有\(f(2-x)=(2-x-1)^2=(x-1)^2\)，
又\(f(x)=f(2-x)=(x-1)^2\)，
故\(x<1\)时，\(f(x)=(x-1)^2\)，
综上，\(f(x)=(x-1)^2(x\in R)\)。
例6-3【两个函数关于某点的对称】已知函数\(f(x)\)的图像与函数\(h(x)=x+\cfrac{1}{x}+2\)的图像关于点\(A(1，0)\)对称，求\(f(x)\)的解析式；
分析：设\(f(x)\)图像上任一点\(P(x，y)\)，
则点\(P\)关于\((0，1)\)点的对称点\(P'(-x，2-y)\)必在\(h(x)\)的图像上，
即\(2-y=-x-\cfrac{1}{x}+2\)，
即所求解析式为\(f(x)=x+\cfrac{1}{x}(x\neq 0)\)。
- 7、利用周期性求解析式
备注：冷门
例7函数\(f(x)\)的周期为2，\(0< x <2\)时，\(f(x)=x^2\),求\(2< x <4\)时的解析式\(f(x)\).
分析：当\(2< x <4\)时，\(0< x-2<2\)，
故\(f(x-2)=(x-2)^2\)，
又由于\(f(x)=f(x-2)\)，则\(f(x)=(x-2)^2\)
即\(2< x <4\)时的解析式\(f(x)=(x-2)^2\)。
- 8、利用赋值法求解析式
备注：冷门
例8已知定义在\(R\)上的函数\(f(x)\)满足条件\(f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)\)，且\(f(0)=1\)，求\(f(x)\)的解析式；
分析：令\(y=x\)，代入原式得到\(f(x-x)=f(x)-x(2x-x+1)\)，
即\(f(x)-x(x+1)-f(0)=0\)，
即\(f(x)=x^2+x+1\)
例8-1已知函数\(f(x)=1+f(\cfrac{1}{2})\cdot log_2x\)，求函数\(f(x)\)的解析式及\(f(2)\)的值。
分析：令\(x=\cfrac{1}{2}\)，则\(f(\cfrac{1}{2})=1+f(\cfrac{1}{2})\cdot log_2\cfrac{1}{2}\)，
即\(f(\cfrac{1}{2})=1-f(\cfrac{1}{2})\)，解得\(f(\cfrac{1}{2})=\cfrac{1}{2}\)，
故所求解析式为\(f(x)=1+\cfrac{1}{2}log_2x\)，
则\(f(2)=1+\cfrac{1}{2}=\cfrac{3}{2}\)。
- 9、定义域优先原则也适用求解析式
例9已知函数\(f(x)\)满足\(f(\cfrac{2}{x+|x|})=log_2 {\sqrt{x|x|}}\)，求函数解析式\(f(x)\)
分析：本题目主要考察对题目隐含条件的挖掘能力，本题目乍一看似乎很生猛，
但是如果有定义域优先的意识，注意到右端真数位置的\(\sqrt{x|x|}\)，
应该知道定义域\(x\in(0，+\infty)\)，这样所给的解析式就能很快化简了。
即\(f(\cfrac{2}{x+|x|})=f(\cfrac{2}{2x})=f(\cfrac{1}{x})=log_2 {\sqrt{x|x|}}=log_2 x\)，
即\(f(\cfrac{1}{x})=log_2 x(x>0)\)，做代换令\(\cfrac{1}{x}=t(t>0)\)，
则\(f(t)=log_2 \cfrac{1}{t}=-log_2 t(t>0)\)，
故所求的\(f(x)=-log _2 x (x>0)\)。
- 10、实际问题中求解析式(勿忘定义域)
例10 如图，曲边三角形中，线段\(OP\)是直线\(y=2x\)的一部分，曲线段\(PQ\)是抛物线\(y=-x^2+4\)的一部分．矩形\(ABCD\)的顶点分别在线段\(OP\)，曲线段\(PQ\)和\(y\)轴上．设点\(A（x，y）\)，记矩形\(ABCD\)的面积为\(f（x）\)．
（Ⅰ）求函数\(f（x）\)的解析式并指明定义域；
分析：（Ⅰ）结合两点距离公式和面积公式写出面积解析式；
解答：（Ⅰ）由题可知，点\(A(x，2x)（x>0）\)，点\(B(x，-x^2+4)\)，
故\(|AD|=x\)，\(|AB|=-x^2-2x+4\)，
则可知矩形\(ABCD\)的面积为\(f（x）=|AD|\cdot |AB|=x\cdot (-x^2-2x+4)=-x^3-2x^2+4x\)．
令\(2x=-x^2+4\)，解得\(x=\pm\sqrt{5}-1\)，舍去负值，即\(x=\sqrt{5}-1\)，即定义域为\(0< x <\sqrt{5}-1\)，
故函数\(f(x)\)的解析式为\(f(x)=-x^3-2x^2+4x(0< x <\sqrt{5}-1)\)。
特殊方法
例1 定义在\((0，+\infty)\)上的单调函数\(f(x)\)，\(\forall x\in(0，+\infty)\)，\(f[f(x)-2lnx]=1\)，则方程\(f(x)-f'(x)=1\)的解所在的区间是（）。
\(A.(0，\cfrac{1}{2})\) \(\hspace{3cm}\) \(B.(\cfrac{1}{2}，1)\) \(\hspace{3cm}\) \(C.(1，2)\) \(\hspace{3cm}\) \(D.(2，4)\)
分析：令内层函数\(f(x)-2lnx=t\)，则\(f(t)=1\)且\(f(x)=t+2lnx\)，
又由已知得到\(f(t)=t+2lnt\)，故有\(t+2lnt=1\)，
观察得到\(t=1\)，即得到函数的解析式\(f(x)=2lnx+1\)；
又\(f'(x)=\cfrac{2}{x}\)，故所求方程为\(2lnx+1-\cfrac{2}{x}=1\)，
即\(2lnx-\cfrac{2}{x}=0\)； 令\(g(x)=2lnx-\cfrac{2}{x}\)，
\(g(1)=2ln1-2<0，g(2)=2lnx-1>0\)，故有解区间为 \(C.(1，2)\)
例2已知函数\(f(x)\)的定义域为\(R\)，且对于任意实数\(x\)，都满足\(f[f(x)-e^x]=e+1\)，求\(f(ln2)\)的值。
分析：本题实质是求抽象复合函数的解析式，令内函数\(f(x)-e^x=t\)，
则有\(f(x)=e^x+t\)，又由题目可知，\(f(t)=e+1\)，故有\(f(t)=e^t+t\)，
则\(e^t+t=e+1\)，观察可知\(t=1\)，即有\(f(x)-e^x=1\)，
\(f(x)=e^x+1\)，所以\(f(ln2)=e^{ln2}+1=3\)。
例3设函数\(f(x)\)在\((0，+\infty)\)内可导，且\(f(e^x)=x+e^x\)，则\(f'(1)\)=________
法1：换元法，令\(e^x=t\)，则\(x=lnt\)，由已知可知\(f(t)=lnt+t\)，
即\(f(x)=lnx+x\)，故\(f'(x)=\cfrac{1}{x}+1\)，
令\(x=1\)，得到\(f'(1)=2\).
法2：复合函数求导法，由\(f(e^x)=x+e^x\)，
两边对\(x\)求导，得到\(f'(e^x)\cdot e^x=1+e^x\)，
即\(f'(e^x)=\cfrac{1}{e^x}+1\)，令\(e^x=1\)，
即\(x=0\)，代入得到\(f'(1)=\cfrac{1}{1}+1=2\).
例4(利用导数求函数的解析式1)
已知函数\(f(x)=x^2+2f'(2)\cdot x+1\)，求函数的解析式\(f(x)\).
分析：给原式两边同时求导，可得\(f'(x)=2x+2f'(2)\)，
再令\(x=2\)得到\(f'(2)=4+2f'(2)\)，
解得\(f'(2)=-4\)，可知\(f(x)=x^2-8x+1\)。
例4-1(利用导数求函数的解析式2)
设函数\(f(x)＝ax－\cfrac{b}{x}\)，曲线\(y＝f(x)\)在点\((2，f(2))\)处的切线方程为\(7x－4y－12＝0\)。
(1)求\(f(x)\)的解析式；
分析：方程\(7x－4y－12＝0\)可化为\(y＝\cfrac{7}{4}x－3\)，
当\(x＝2\)时，\(y＝12\).
又\(f′(x)＝a＋\cfrac{b}{x^2}\)，于是\(2a－\cfrac{b}{2}＝12\)，
\(a＋\cfrac{b}{4}＝\cfrac{7}{4}\)，
解得\(a＝1，b＝3\)，
故\(f(x)＝x－\cfrac{3}{x}\)。
例5【特殊方法求解析式】【2018宝鸡市三检文科数学第12题】
已知函数\(f(x)\)在定义域\((0，+\infty)\)上是单调函数，若对于任意\(x\in(0，+\infty)\)都有\(f(f(x)-\cfrac{1}{x})=2\)，则函数\(f(x)\)的解析式为【】
A、\(f(x)=x\;\;\;\;\;\) B、\(f(x)=\cfrac{1}{x}\;\;\;\;\;\) C、\(f(x)=x+1\;\;\;\;\;\) D、\(f(x)=\cfrac{1}{x}\;\;\;\;\;\)
分析：令自变量位置的整体\(f(x)-\cfrac{1}{x}=t\)，则\(f(x)=t+\cfrac{1}{x}\)，且有\(f(t)=2\)；
又令\(f(x)=t+\cfrac{1}{x}\)中的\(x=t\)，得到\(f(t)=t+\cfrac{1}{t}\)，结合\(f(t)=2\)，
得到\(t+\cfrac{1}{t}=2\)，又定义域是\((0，+\infty)\)，解得\(t=1\)，
故代入\(f(x)=t+\cfrac{1}{x}\)得到解析式为\(f(x)=\cfrac{1}{x}+1\)。
例6(利用定积分求函数的解析式)(定积分的结果实质上是个实数)(2014江西卷)
\(f(x)=x^2+2\int_{0}^{1}f(x)dx\)，则\(\int_{0}^{1}f(x)dx\)的值为多少？并求\(f(x)\)的解析式。
分析：注意到表达式\(\int_{0}^{1}f(x)dx\)应该是个实数，故两边同时取定积分得到
\(\int_{0}^{1}f(x)\;dx=\int_{0}^{1}x^2\;dx+\int_{0}^{1}[2\int_{0}^{1}f(x)dx]dx\)，
即就是\(\int_{0}^{1}f(x)\;dx=\int_{0}^{1}x^2\;dx+[2\int_{0}^{1}f(x)dx]\cdot\int_{0}^{1}1\cdot dx\)，
即\(\int_{0}^{1}f(x)\;dx=\cfrac{x^3}{3}|_0^1+[2\int_{0}^{1}f(x)dx]\cdot x|_0^1\)，
即\(\int_{0}^{1}f(x)\;dx=\cfrac{1}{3}+2\int_{0}^{1}f(x)dx\)，
即\(\int_{0}^{1}f(x)\;dx=-\cfrac{1}{3}\).
故\(f(x)=x^2-\cfrac{2}{3}\)。
例7【2018豫东豫北十所名校联考】根据如下样本数据：
\(x\) | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
\(y\) | \(4.0\) | \(a-5.4\) | \(-0.5\) | \(0.5\) | \(b-0.6\) |
得到的回归直线方程为\(\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}\)，若样本点的中心为\((5，0.9)\)，则当\(x\)每增加1个单位，\(y\)就【】
\(A.\)增加1.4个单位； \(\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\) \(B.\)减少1.4个单位；
\(C\)增加7.9个单位； \(\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\) \(D.\)减少7.9个单位；
分析：由题意可知，\(\cfrac{a+b-2}{5}=0.9\)，即\(a+b=6.5\)①，
有样本中心点为\((5，0.9)\)在回归直线上，则\(0.9=5b+a\)②，
联立①②，解得\(b=-1.4\)，\(a=7.9\)，
则回归直线方程为\(\hat{y}=-1.4x+7.9\)。
故可知则当\(x\)每增加1个单位，\(y\)就减少1.4个单位；故选\(B\)。
例8-补遗[2018中考数学]已知反比例函数过点\((m，m)\)和点(2m，-1)，求其解析式。
分析：设反比例函数的解析式为\(y=\cfrac{k}{x}(k\neq 0)\)，则由反比例函数过点\((m，m)\)和点(2m，-1)，可知
\(k=m^2=-2m\)，解得\(m=0(舍去)\)或\(m=-2\)，即\(k=m^2=4\)，故反比例函数解析式为\(y=\cfrac{4}{x}\)。
高阶考查
例1【利用同一法求得解析式】【2018内蒙古赤峰一模】
已知定义在\(R\)上的函数\(f(x)\)的导函数为\(f'(x)\)，且\(f(x)+f'(x)=\cfrac{2x-1}{e^x}\)，若\(f(0)=0\)，则函数\(f(x)\)的单调递减区间为【】
$A(-\infty，\cfrac{3-\sqrt{5}}{2})和(\cfrac{3+\sqrt{5}}{2}，+\infty)$ $B(\cfrac{3-\sqrt{5}}{2}，\cfrac{3+\sqrt{5}}{2})$
$C(-\infty，3-\sqrt{5})\cup(3+\sqrt{5}，+\infty)$ $D(3-\sqrt{5}，3+\sqrt{5})$
分析：由\(f(x)+f'(x)=\cfrac{2x-1}{e^x}\)，得到\(e^x\cdot f(x)+e^x\cdot f'(x)=2x-1\)，
令\(g(x)=e^x\cdot f(x)\)，则\(g'(x)=e^x\cdot f(x)+e^x\cdot f'(x)=2x-1\)，则\(g(x)=x^2-x+C\)，
由于\(f(0)=0\)，则\(g(0)=e^0\cdot f(0)=0\)，则\(g(x)=x^2-x\)；
这样从两个不同的角度得到了同一个函数\(g(x)\)，则\(g(x)=x^2-x=e^x\cdot f(x)\)，解得\(f(x)=\cfrac{x^2-x}{e^x}\)；
接下来用导数的方法，求函数\(f(x)\)的单调区间即可，\(f'(x)=\cdots=\cfrac{-x^2+3x-1}{e^x}=-\cfrac{(x-\cfrac{3-\sqrt{5}}{2})(x-\cfrac{3+\sqrt{5}}{2})}{e^x}\)
故单调递减区间为\((-\infty，\cfrac{3-\sqrt{5}}{2})和(\cfrac{3+\sqrt{5}}{2}，+\infty)\)，故选\(A\)。
例2【2018届广东东莞模拟】已知函数\(f(x)\)，任取两个不相等的正数\(x_1\)、\(x_2\)，总有\([f(x_1)-f(x_2)](x_1-x_2)>0\)，对于任意的\(x>0\)，总有\(f[f(x)-lnx]=1\)。若\(g(x)=f'(x)+f(x)-m^2+m\)有两个不同的零点，则正实数\(m\)的取值范围是___________。
分析：本题目的难点之一是利用代换法先求得函数\(f(x)\)的解析式；然后再求正实数\(m\)的取值范围。
由于任意不等正数\(x_1\)、\(x_2\)，有\([f(x_1)-f(x_2)](x_1-x_2)>0\)，则\(f(x)\)在\((0，+\infty)\)上单调递增，
令\(f(x)-lnx=t\)，则\(f(t)=1\)①，又由于\(f(x)-lnx=t\)，即\(f(x)=lnx+t\)，令\(x=t\)，则\(f(t)=lnt+t\)②，
由①②可知，\(lnt+t=1\)，即\(lnt=1-t\)，观察可知，\(t=1\)，即函数\(f(x)\)的解析式为\(f(x)=lnx+1\)；
接下来，用常规方法求正实数\(m\)的取值范围。
由题目可知，\(g(x)=lnx+1+\cfrac{1}{x}-m^2+m\)有两个不同的零点，即方程\(lnx+1+\cfrac{1}{x}-m^2+m=0\)有两个不同的根，
整体分离参数得到，\(m^2-m=lnx+1+\cfrac{1}{x}\)，令\(h(x)=lnx+1+\cfrac{1}{x}\)，
则\(h'(x)=\cfrac{x-1}{x^2}\)，则\(x\in (0，1)\)时，\(h'(x)<0\)，\(h(x)\)单调递减，\(x\in (1，+\infty)\)时，\(h'(x)>0\)，\(h(x)\)单调递增，
故\(h(x)_{min}=h(1)=2\)，要使得方程\(h(x)=m^2-m\)有两个不同的交点，则必须满足\(m^2-m>h(x)_{min}\)，
则题目转化为\(m^2-m>2\)，解得\(m<-1\)或\(m>2\)，又由\(m>0\)，可得\(m>2\)，
即正实数\(m\)的取值范围是\((2，+\infty)\).
