文章目录
- 1、标量估计
- (1)情况1: 只有X的PDF可知
- (2)情况2: 与X相关的随机变量Y的观测值可知
- 2、实向量空间中的估计
- 3、复向量空间中的估计
1、标量估计
若我们有观测量
其中,为了从独立的AWGN中获得零均值实信号的估值,我们采用MSE估计,即
这里的平均既是针对随机信号的,也是针对噪声的。估计问题与高斯噪声中的检测问题有很大不同,因为检测是要在有限种可能中做出判断,而估计问题却是要获得估计值。
下面我们先从无观测时的估计出发,随后再讨论有观测的情况。
(1)情况1: 只有X的PDF可知
,想要对其进行估计,假定其PDF已知,则其MSE为
为了最小化MSE,我们求其关于的一阶导数,有
因此
即。进一步,我们求MSE关于的二阶导数,有
即当时,MSE最小。这样我们可以得到最小MSE为
【小结】如果我们知道随机变量的PDF,则当其估计值时候,能够得到最小MSE,这个最小MSE就是的方差。
(2)情况2: 与X相关的随机变量Y的观测值可知
若我们有观测量
其中为独立的AWGN,则可以用后验概率密度函数来代替。现在我们的目标是最小化
这里我们引入是想表示与测量值的特定取值相关联的估计值(这意味着不同的会有不同估计值),不过为了表达式看起来更简洁,下文中我们用代替。与无测量情况相同,我们求一阶导数:
因此可以得到
与之相关的MMSE为条件方差。显然与无测量时的唯一区别在于,我们将测量值作为条件。
【小结】如果我们知道与随机变量相关的随机变量(观测量),则当的估计值时候,能够得到最小MSE,这个最小MSE就是条件方差。
下面我们来说明问什么MMSE估计器具有正交性质,即误差与观测量独立:
证明:
由于为的估计值,因此有
对于MMSE估计,由于,因此有
故可以得到
获证。
就是在时候的条件均值,即。一般来说,条件均值算子是关于的复杂非线性函数。为了简化分析,我们假定该算子是线性的,由于的均值为零,则有当是高斯随机变量时,这个假定不失一般性,因为在这种情况下,条件平均算子确实是线性的。
下面我们来看如何获得?由MMSE的正交性可以得到
因此,有
故
对该结果直觉上的理解是,我们用发送信号能量()在总接收能量()中所占的比例大小,对接收信号进行加权。此时相应的MMSE为
即
2、实向量空间中的估计
,即
这里的与相互独立,。已知到方向上的映射
是充分统计量,这是因为到与正交方向上的映射与信号以及(方向上的噪声)都正交。这样我们就可以将问题变为标量估计:从中估计,其中。因此,应用MMSE估计,可以得到的最优线性估计为
根据,可得
以及
另外一种衡量线性估计器性能的指标是信噪比
定义为估计中信号能量与噪声能量的比值,这是由得到的。
3、复向量空间中的估计
将我们的讨论扩展到复数域是很自然的。我们首先考虑复数标量估计
这里与零均值发送信号独立。假定线性估计,有
MMSE的正交性为
下面考虑如何在复向量空间里估计标量
其中与独立,且与实向量空间类似,我们可以得到
其中,。因此,最优估计器为
以及