[转]C/C++除法实现方式及负数取模详解
一、下面的题目你能全做对吗？
1.7/4=?
2.7/(-4)=?
3.7%4=?
4.7%(-4)=?
5.(-7)/4=?
6.(-7)%4=?
7.(-7)/(unsigned)4=?
答案：
1
-1
3
3
-1
-3
1073741822
如过你全部答对，你可以无视后面的内容……
二、除法的取整分类除法的取整分为三类：向上取整、向下取整、向零取整。
1.向上取整：向+∞方向取最接近精确值的整数。在这种取整方式下，7/4=2,7/(-4)=-1,6/3=2,6/(-3)=-2
2.向下取整：向-∞方向取最接近精确值的整数。在这种取整方式下，7/4=1,7/(-4)=-2,6/3=2,6/(-3)=-2
3.向零取整：向0方向取最接近精确值的整数，换言之就是舍去小数部分，因此又称截断取整。在这种取整方式下，7/4=1,7/(-4)=-1,6/3=2,6/(-3)=-2
通过观察可以发现，无论是向上取整还是向下取整，(-a)/b==-(a/b)都不一定成立。这给程序设计者带来了极大的麻烦。而对于向零取整，(-a)/b==-(a/b)是成立的，以此，C/C++采用这种取整方式。
三、负数取模回想小学的公式：
被除数÷除数=商……余数。
由此可知，余数=被除数-商×除数 (*)
对C/C++而言，(*)式依然成立。
并且，该式是解决负数取模问题的关键。
例一：7%(-4)=?
解：由C/C++向零取整的整除方式可知，7/(-4)=-1；由(*)式知，余数=7-(-4)*(-1)=3.所以，7%(-4)=3
例二：(-7)%4=?
解：由C/C++向零取整的整除方式可知，(-7)/4=-1；由(*)式知，余数=(-7)-4*(-1)=-3.所以，(-7)%4=-3
例三：(-7)%(-4)=?
解：由C/C++向零取整的整除方式可知，(-7)/(-4)=1；由(*)式知，余数=(-7)-(-4)*1=-3.所以，(-7)%(-4)=-3
四、相关知识的拓展
1.对于有符号整数与无符号整数间的除法，C/C++会将有符号整数转换为无符号整数，需要特别注意的是，符号位并没有丢失，而是变成了数据位参与运算。这就是(-7)/(unsigned)4不等于-1，而等于1073741822的原因。
2.编译器对除法的优化
①在“无优化”条件下，编译器会在不影响正常调试的前提下，对除法进行简单的优化。
A.“常量/常量”型除法：编译器会直接计算出结果。
B.“变量/变量”型除法：无优化。
C.“变量/常量”型除法：若常量≠2^n，无优化；
否则，除法将被转换为右移运算。由于由右移运算实现的整除实质上是向下取整，所以编译器会通过一些附加的指令在不产生分支结构的情况下将向下取整转换为向零取整。
以【变量/2^3】为例，反汇编代码如下：
mov eax,被除数
cdq ;若eax<0，则edx=0xFFFFFFFF；
否则edx=0
and edx,7 ;若eax<0，则edx=7；否则edx=0
add eax,edx ;若eax<0，【(eax+7)/(2^3)】向下取整的值 与 【eax/(2^3)】向零取整的值相等，从而实现向零取整
sar eax,3 ;右移，完成除法
②在“O2优化”条件下，“常量/变量”型除法中，常量若≠2^n，也可以优化。此时，除法将被转换为乘法与右移的结合形式。例如，a/b=a*(1/b)=a*((2^n)/b)*(1/(2^n))，其中，((2^n)/b为MagicNumber，由编译器在编译过程中算出。这样a/b就变成了(a*MagicNumber)>>n，n的值由编译器选取。需要注意的是，本公式只是除法优化中的一个典型代表，编译器会根据除数对公式进行调整，但基本形式与原理是类似的。
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c和c++关于负数取模的问题
在不同的语言中，对负数执行取模运算，结果有可能会是不同的。例如，(-11)%5在python中计算的结果是4，而在C(C99)中计算的结果则是-1。
truncate除法 && floor除法
在大多数编程语言中，如果整数a不是整数b的整数倍数的话，那么a、b做除法产生的实际结果的小数部分将会被截除，这个过程称为截尾(truncation)。如果除法的结果是正数的话，那么一般的编程语言都会把结果趋零截尾，也就是说，直接把商的小数部分去除。但是如果除法的结果是负数的话，不同的语言通常采用了两种不同的截尾方法:一种是趋零截尾(truncate toward zero)，另一种是趋负无穷截尾(truncate toward negative infinity);相应的，两种除法分别被称为truncate除法和floor除法。
事实上，可以认为不管除法的结果是正是负，truncate除法都是趋零结尾;而floor除法都是趋负无穷结尾。
取模运算
取模运算实际上是计算两数相除以后的余数。假设q是a、b相除产生的商(quotient)，r是相应的余数(remainder)，那么在几乎所有的计算系统中，都满足a=b*q+r，其中|r|<|a|。因此r有两个选择，一个为正，一个为负;相应的，q也有两个选择。如果a、b都是正数的话，那么一般的编程语言中，r为正数;或者如果a、b都是负数的话，一般r为负数。但是如果a、b一正一负的话，不同的语言则会根据除法的不同结果而使得r的结果也不同，并且一般r的计算方法都会满足r=a-(a/b)*b。
常见语言
(1)C/Java语言
C/Java语言除法采用的是趋零截尾(事实上，C89对于除数或被除数之一为负数情况的结果是未定义的;C99才正式确定了趋零截尾)，即truncate除法。它们的取模运算符是%，并且此运算符只接受整型操作数。一个规律是，取模运算的结果的符号与第一个操作数的符号相同(或为0)。因此(-11)%5=-11-[(-11)/5]*5=-11-(-2)*5=-1。注意因为有复数所以，防止发生出现负数的结果，以（a % max +max）%max的形式输出保证为正！
(2)C++语言
C++语言的截尾方式取决于特定的机器。如果两个操作数均为正，那么取模运算的结果也为正数(或为0);如果两个操作数均为负数，那么取模运算的结果为负数(或为0);如果只有一个操作数为负数，那么取模运算的结果是取决于特定实现的。
