java mat像素矩阵 matlab像素矩阵处理

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mob6454cc70642f 2023-07-18 11:58:37

文章标签 java mat像素矩阵特征值 MATLAB 转置 文章分类 Java 后端开发

2.1 特殊矩阵

通用性的特殊矩阵

通用特殊矩阵函数	函数解释
zeros函数	产生全0矩阵，即零矩阵
ones函数	产生全1矩阵，即幺矩阵
eye函数	产生对角线为1的矩阵。当矩阵是方阵时，得到一个单位矩阵
rand函数	产生（0，1）区间均匀分布的随机矩阵
randn函数	产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵

以zeros函数为例，有3中调用格式：

zeros(m)：产生m×m零矩阵。
zeros(m,n)：产生m×n零矩阵。
zeros(size(A))：产生与矩阵A同样大小的零矩阵。

>> A=zeros(2,3)
A =
  0 0 0
  0 0 0
>> zeros(size(reshape(A,3,2)))
ans =
    0 0
    0 0
    0 0

拓展：
1.如何得到 \([a,b]\) 区间上均匀分布的随机整数
\(fix(a + (b-a+1) * rand(n))\)
\(\\\)
2.如何得到均值为 \(μ\)、方差为 \(σ^2\) 的随机数
\(μ + σ * randn(n)\)

%首先产生5阶两位随机整数矩阵A，再产生均值为0.6、方差为0.1的5阶正态分布随机矩阵B，最后验证(A+B)I=IA+BI（I为单位矩阵）
>> A=fix(10+(99-10+1)*rand(5));
>> B=0.6+sqrt(0.1)*randn(5);
>> C=eye(5);
>> (A+B)*C==C*A+B*C
ans =
    1 1 1 1 1
    1 1 1 1 1
    1 1 1 1 1
    1 1 1 1 1
    1 1 1 1 1

用于专门学科的特殊矩阵

魔方矩阵（Magic Square）

\(n\) 阶魔方阵由 \(1,2,3,…,n^2\) 共 \(n^2\) 个整数组成，且每行、每列以及主、副对角线上各 \(n\)
\(n\) 阶魔方阵每行每列元素的和为 \(\cfrac {(1+2+3+…+ n^2)}{n}=\cfrac {(n+n^3)}{2}\)。
\(n>2\) 时有很多不同的 \(n\) 阶魔方阵，MATLAB函数magic(n)产生一个特定的魔方阵。

>> M=magic(3)
M =
  8 1 6
  3 5 7
  4 9 2

%产生8阶魔方阵，求其每行每列元素的和
>> M=magic(8);
>> sum(M(1,:))
ans =
    260
>> sum(M(:,1))
ans =
    260

范德蒙（Vandermonde）矩阵
对于向量 \(v=[v_1,v_2,…,v_n]\)，范得蒙矩阵的一般形式为：

\[V= \begin{bmatrix} v_1^{n-1} & \cdots & v_1^2 & v_1^1 & v_1^0 \\ v_2^{n-1} & \cdots & v_2^2 & v_2^1 & v_2^0 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ v_n^{n-1} & \cdots & v_n^2 & v_n^1 & v_n^0 \\ \end{bmatrix} \]

在MATLAB中，函数vander(V)生成以向量V为基础的范得蒙矩阵。
范德蒙矩阵常用在各种通信系统的纠错编码中，例如，常用的Reed-Solomon编码即以范德蒙矩阵为基础。

>> A=vander(1:5)
A =
    1   1   1   1   1
   16   8   4   2   1
   81  27   9   3   1
  256  64  16   4   1
  625 125  25   5   1

希尔伯特（Hilbert）矩阵
n阶希尔伯特矩阵的一般形式为：

\[H= \begin{bmatrix} 1 & 1/2 & \cdots & 1/n \\ 1/2 & 1/3 & \cdots & 1/(n+1) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1/n & 1/(n+1) & \cdots & 1/(2n-1) \\ \end{bmatrix} \]

希尔伯特矩阵的元素为 \(H(i,j)=1/(i+j-1)\)
在MATLAB中，生成n阶希尔伯特矩阵的函数是hilb(n)。
希尔伯特矩阵是著名的病态矩阵，即任何一个元素发生较小的变动，整个矩阵的值和逆矩阵都会发生很大变化。病态程度和矩阵的阶数相关，随着阶数的增加病态越严重。

>> format rat
>> H=hilb(4)
H =
  1   1/2 1/3 1/4
  1/2 1/3 1/4 1/5
  1/3 1/4 1/5 1/6
  1/4 1/5 1/6 1/7

伴随矩阵
设多项式 \(p(x)\) 为 \(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_1x+a_0\)，则多项式的伴随矩阵是：

\[A= \begin{bmatrix} -{a_{n-1}\over a_n} & -{a_{n-2}\over a_n} & -{a_{n-3}\over a_n} & \cdots & -{a_1\over a_n} & -{a_0\over a_n} \\ 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \]

\(p(x)\) 称为 \(A\) 的特征多项式，方程 \(p(x)=0\) 的根称为 \(A\)
MATLAB生成伴随矩阵的函数是compan(p)，其中 p 是一个多项式的系数向量，高次幂系数排在前，低次幂排在后。例如，生成多项式 \(x^3-2x^2-5x+6\)
可以求出伴随矩阵的特征值，该特征值等于多项式方程的根。

>> p=[1,-2,-5,6];
>> A=compan(p)
A =
  2  5 -6
  1  0  0
  0  1  0

证明矩阵A的特征值等于多项式方程的根~~（大概率有误，如有问题欢迎指正）~~

\[|\lambda E-A|= \begin{vmatrix} \lambda+{a_{n-1}\over a_n} & \lambda+{a_{n-2}\over a_n} & \lambda+{a_{n-3}\over a_n} & \cdots & \lambda+{a_1\over a_n} & \lambda+{a_0\over a_n} \\ -1 & -\lambda & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -\lambda & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -1 & -\lambda \\ \end{vmatrix} \]

按第n列展开行列式

\[|\lambda E-A|={a_0\over a_n}+\lambda \begin{vmatrix} \lambda+{a_{n-1}\over a_n} & \lambda+{a_{n-2}\over a_n} & \lambda+{a_{n-3}\over a_n} & \cdots & \lambda+{a_2\over a_n} & \lambda+{a_1\over a_n} \\ -1 & -\lambda & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -\lambda & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -1 & -\lambda \\ \end{vmatrix} \]

记 \(A_n=|\lambda E-A|\)，则有

\[A_n={a_0\over a_n}+\lambda A_{n-1}={a_0\over a_n}+\lambda {a_1\over a_n}+…+\lambda^{n-1}{a_{n-1}\over a_n}+\lambda^n \]

即

\[A_na_n=a_n\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+…+a_1\lambda+a_0 \]

对比

\[p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_1x+a_0 \]

又因为 \(a_n\neq0\)，所以 \(p(x)=0\) 即 \(A_n=|\lambda E-A|=0\)，得证

帕斯卡（Pascal）矩阵

根据二项式定理，\((x+y)^n\)
把二项式系数依次填写在矩阵的左侧对角线上，然后提取左侧的n行n列元素即为n阶帕斯卡矩阵。
帕斯卡矩阵的第一行元素和第一列元素都为1，其余位置的元素是该元素的左边元素与上面元素相加，即 \(P(i,j)=P(i,j-1)+P(i-1,j)\)，且 \(P(i,1)=1,P(1,j)=1\)。
函数pascal(n)生成一个n阶帕斯卡矩阵。

%生成5阶帕斯卡矩阵，验证它的逆矩阵的所有元素也为整数
>> format rat
>> P=pascal(5)
P =
      1   1   1   1   1
      1   2   3   4   5
      1   3   6  10  15
      1   4  10  20  35
      1   5  15  35  70
>> inv(P)
ans =
      5 -10  10  -5   1
    -10  30 -35  19  -4
     10 -35  46 -27   6
     -5  19 -27  17  -4
      1  -4   6  -4   1

2.2 矩阵变换

对角阵

名词	解释
对角阵	只有对角线上有非零元素的矩阵
数量矩阵	对角线上的元素相等的对角矩阵
单位矩阵	对角线上的元素都为1的对角矩阵

java mat像素矩阵 matlab像素矩阵处理_转置

（1）提取取矩阵的对角线元素

diag(A)：提取矩阵A主对角线元素，产生一个列向量。
diag(A,k)：提取矩阵A第k条对角线的元素，产生一个列向量。

（2）构造对角阵

diag(V)：以向量 V为主对角线元素，产生对角矩阵。
diag(V,k)：以向量 V为第k条对角线元素，产生对角矩阵。

1.对角阵左乘矩阵A，相当于将A的各行元素分别乘以对角阵的对角线元素。
2.对角阵右乘矩阵A，相当于将A的各列元素分别乘以对角阵的对角线元素。
记忆方法：将对角阵的位置看作二维数组的维度,在左边相当于行，在右边相当于列。

三角阵

名词	解释
上三角阵	矩阵的对角线以下的元素全为零的矩阵
下三角阵	对角线以上的元素全为零的矩阵

（1）上三角矩阵

triu(A)：提取矩阵A的主对角线及以上的元素。
triu(A,k)：提取矩阵A的第k条对角线及以上的元素。

>> triu(ones(4),-1)
ans =
    1 1 1 1
    1 1 1 1
    0 1 1 1
    0 0 1 1

（2）下三角矩阵
在MATLAB中，提取矩阵A的下三角矩阵的函数是tril，其用法与triu函数完全相同。

矩阵的转置

转置运算符是小数点后面接单引号（.'）。
共轭转置，其运算符是单引号（'），它在转置的基础上还要取每个数的复共轭。

如果矩阵的元素是实数，那么转置和共轭转置的结果是一样的。

>> A=[1,3;3+4i,1-2i]
A =
  1.0000 + 0.0000i 3.0000 + 0.0000i
  3.0000 + 4.0000i 1.0000 - 2.0000i
>> A.'
ans =
    1.0000 + 0.0000i 3.0000 + 4.0000i
    3.0000 + 0.0000i 1.0000 - 2.0000i
>> A'
ans =
    1.0000 + 0.0000i 3.0000 - 4.0000i
    3.0000 + 0.0000i 1.0000 + 2.0000i

矩阵的旋转

rot90(A,k)：将矩阵A逆时针方向旋转\(90^\circ\)的k倍，当k为1时可省略。

>> A=[1,3,2;-3,2,1;4,1,2]
A =
    1  3  2
   -3  2  1
    4  1  2
>> rot90(A)
ans =
    2  1  2
    3  2  1
    1 -3  4
>> rot90(A,2)
ans =
    2  1  4
    1  2 -3
    2  3  1

矩阵的翻转

对矩阵实施左右翻转是将原矩阵的第一列和最后一列调换，第二列和倒数第二列调换，…，依此类推。

fliplr(A)：对矩阵A实施左右翻转。
flipud(A)：对矩阵A实施上下翻转。

注意区分矩阵的转置、共轭转置、旋转和翻转

%验证魔方阵的主对角线、副对角线元素之和相等
>> A=magic(5);
>> D1=diag(A);
>> sum(D1)
ans =
    65
>> B=flipud(A);
>> D2=diag(B);
>> sum(D2)
ans =
    65

矩阵求逆

inv(A)：求方阵A的逆矩阵。

用求逆矩阵的方法解线性方程组

\[\left\{ \begin{array}{l} x+2y+3z=5 \\[2ex] x+4y+9z=-2 \\[2ex] x+8y+27z=6 \end{array} \right. \]

在线性方程组 \(Ax=b\) 两边各左乘 \(A^{-1}\)，得 \(x=A^{-1}b\)

>> A=[1,2,3;1,4,9;1,8,27];
>> b=[5;-2;6];
>> x=inv(A)*b
x =
   23.0000
  -14.5000
    3.6667
>> x=A\b
x =
   23.0000
  -14.5000
    3.6667

2.3 矩阵求值

矩阵的行列式值

det(A)：求方阵A所对应的行列式的值。

>> format rat
>> A=[1,3,2;-3,2,1;4,1,2]
A =
   1  3  2
  -3  2  1
   4  1  2
>> det(inv(A))
ans =
    1/11
>> 1/det(A)
ans =
    1/11

矩阵的秩

矩阵线性无关的行数或列数称为矩阵的秩。
rank(A)：求矩阵A的秩。

拓展：魔方阵的秩的规律

奇数阶魔方阵秩为 \(n\)，即奇数阶魔方阵是满秩矩阵
一重偶数阶魔方阵秩为 \(\cfrac {n}{2}+2\)（\(n\) 是 \(2\) 的倍数，但非 \(4\)
双重偶数阶魔方阵秩均为 \(3\)（阶数是 \(4\)

%求3~20阶魔方阵的秩
for n=3:20
    r(n)=rank(magic(n));
end
bar(r)
grid on
axis([2,21,0,20])
[3:20;r(3:20)]

矩阵的迹

矩阵的迹等于矩阵的对角线元素之和，也等于矩阵的特征值之和。
trace(A)：求矩阵A的迹。

>> A=[1,3,2;-3,2,1;4,1,2]
A =
   1  3  2
  -3  2  1
   4  1  2
>> b = trace(A)
b =
  5
>> t = sum(diag(A))
t =
  5

矩阵的范数

矩阵或向量的范数用来度量矩阵或向量在某种意义下的长度。

（1）向量的范数

向量\(1\)——范数：向量元素的绝对值之和

\[ \begin{Vmatrix} V \\ \end{Vmatrix}_1= \sum_{i=1}^{n} {|v_i|} \]

向量\(2\)——范数：向量元素绝对值的平方和的平方根

\[ \begin{Vmatrix} V \\ \end{Vmatrix}_2= \sqrt{\sum_{i=1}^{n} {|v_i|^2}} \]

向量\(\infty\)——范数：所有向量元素绝对值中的最大值

\[ \begin{Vmatrix} V \\ \end{Vmatrix}_\infty= \max_{1 \leq i \leq n} \{|v_i|\} \]

向量范数函数	函数解释
norm(V)或norm(V,2)	计算向量V的\(2\)——范数
norm(V,1)	计算向量V的\(1\)——范数
norm(V,inf)	计算向量V的\(\infty\)——范数

（2）矩阵的范数

矩阵A的\(1\)——范数：所有矩阵列元素绝对值之和的最大值

\[ \begin{Vmatrix} A \\ \end{Vmatrix}_1= \max_{1 \leq j \leq n} \{\sum_{i=1}^{m} {|a_{ij}|}\} \]

矩阵A的\(2\)——范数：A'A矩阵的最大特征值的平方根

\[ \begin{Vmatrix} V \\ \end{Vmatrix}_2= \sqrt{\lambda_1} \]

矩阵A的\(\infty\)——范数：所有矩阵行元素绝对值之和的最大值

\[ \begin{Vmatrix} A \\ \end{Vmatrix}_\infty= \max_{1 \leq i \leq m} \{\sum_{j=1}^{n} {|a_{ij}|}\} \]

%MATLAB提供了求3种矩阵范数的函数
%其函数调用格式与求向量的范数的函数完全相同
>> x=[2 0 1;-1 1 0;-3 3 0]
x =
   2  0  1
  -1  1  0
  -3  3  0
>> n = norm(x)
n =
  4.7234
>> n = norm(x,1)
n =
  6

矩阵的条件数

矩阵A的条件数等于A的范数与A的逆矩阵的范数的乘积。
条件数越接近于1，矩阵的性能越好，反之，矩阵的性能越差。

矩阵条件数函数	函数解释
cond(A)或cond(A,2)	计算A的\(2\)——范数下的条件数
cond(A,1)	计算A的\(1\)——范数下的条件数
cond(A,inf)	计算A的\(\infty\)——范数下的条件数

%求2~10阶希尔伯特矩阵的条件数
for n=2:10
c(n)=cond(hilb(n));
end
format long
c'

%运行结果
1.0e+13 *
                0
0.000000000001928
0.000000000052406
0.000000001551374
0.000000047660725
0.000001495105864
0.000047536735631
0.001525757554777
0.049315394619572
1.602490962516758

%随着阶数的增加，希尔伯特矩阵的条件数不断增大，矩阵性能变差。

2.4 矩阵的特征值与特征向量

求矩阵的特征值与特征向量

在MATLAB中，计算矩阵的特征值和特征向量的函数是eig，常用的调用格式有两种：

E=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成向量E。
[X,D]=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成对角阵D，并产生矩阵X，X各列是相应的特征向量。

例1 设

\[A= \begin{bmatrix} R_{3\times3} & O_{3\times2} \\ O_{2\times3} & S_{2\times2} \\ \end{bmatrix} \]

又设 \(\lambda_i\) 为 \(R\) 的特征值，\(\lambda_j\) 为 \(S\) 的特征值，\(x_i=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)'\) 是 \(R\) 对应于 \(\lambda_i\) 的特征向量，\(y_j=(\beta_1,\beta_2)'\) 是 \(S\) 对应于 \(\lambda_j\)

（1）\(\lambda_i\)、\(\lambda_j\)为 \(A\)

（2）\(p_i=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,0,0)'\) 是 \(A\) 对应于 \(\lambda_i\) 的特征向量，\(p_j=(0,0,0,\beta_1,\beta_2)'\) 是 \(A\) 对应于 \(\lambda_j\)

R=[-1,2,0;2,-4,1;1,1,-6];
S=[1,2;2,3];
A=[R,zeros(3,2);zeros(2,3),S];
[X1,d1]=eig(R)
[X2,d2]=eig(S)
[X3,d3]=eig(A)

拓展：特征值的几何意义

设 \(A=\begin{bmatrix}3.8&0.6\\0.6&2.2\end{bmatrix}\)，其特征向量有 \(x_1=\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}\)，\(x_2=\begin{bmatrix}-1\\3\end{bmatrix}\)，对应的特征值分别为 \(\lambda_1=4\) 和 \(\lambda_2=2\)，令 \(y_1=Ax_1=\lambda_1x_1\)，\(y_2=Ax_2=\lambda_2x_2\)，我们讨论 \(y_1\) 与 \(x_1\) ，\(y_2\) 与 \(x_2\)

java mat像素矩阵 matlab像素矩阵处理_java mat像素矩阵_02

更进一步，连续取单位向量x，让它大小保持为1，那么Ax就将四分之一圆弧进行拉伸，变成四分之一椭圆。

MATLAB提供了一个eigshow命令，可以演示向量x和Ax之间的关系。用鼠标拖动绿色的单位向量x绕原点转动，图中同步出现蓝色的Ax向量。Ax的大小在变化，方向也在变化，而且Ax的方向与x不一定相同。在变化过程中，x与Ax共线的位置称为特征方向。在特征方向上有Ax等于λx。

例2 已知大写字母M的各个结点坐标如表所示（第一行代表横坐标，第二行代表纵坐标）。

java mat像素矩阵 matlab像素矩阵处理_java mat像素矩阵_03

（1）绘制 M 的图形。

（2）设 \(A=\begin{bmatrix}1&0.5\\0&1\end{bmatrix}\)，用 A 对 M 的结点坐标进行变换，并绘制变换后的图形。

x=[0,0.5,0.5,3,5.5,5.5,6,6,3,0;0,0,6,0,6,0,0,8,1,8];
A=[1,0.5;0,1];
y=A*x;
subplot(2,2,1);          %选择1号子图，详见专题四
fill(x(1,:),x(2,:),'r'); %绘制M的图形，并用红色（red）填充
subplot(2,2,2);          %选择2号子图
fill(y(1,:),y(2,:),'r'); %绘制变换后的M图形，并用红色填充

java mat像素矩阵 matlab像素矩阵处理_MATLAB_04

定义变换矩阵A，再利用A对x进行变换，得到y矩阵，最后分别绘制变换前后的图形，M原来是正体，变换后改为斜体。

启示：在构建字库时，不必单独创建斜体字库，而只需对正体字库进行适当的线性变换即可，这样可以大大节省存储空间。

2.5 稀疏矩阵

矩阵的存储方式

完全存储方式：将矩阵的全部元素按列存储。
稀疏存储方式：只存储矩阵的非零元素的值及其位置，即行号和列号。

注意：采用稀疏存储方式时，矩阵元素的存储顺序并没有改变，也是按列的顺序进行存储。

稀疏存储方式的产生

（1）完全存储方式与稀疏存储方式之间的转化

A=sparse(S)：将矩阵S转化为稀疏存储方式的矩阵A。
S=full(A)：将矩阵A转化为完全存储方式的矩阵S。

（2）直接建立稀疏存储矩阵

sparse(m,n)：生成一个m×n的所有元素都是零的稀疏矩阵。
sparse(u,v,S)：其中u、v、S是3个等长的向量。S是要建立的稀疏存储矩阵的非零元素，u(i)、v(i)分别是S(i)的行和列下标。

>> A=sparse([1,2,2],[2,1,4],[4,5,-7])
A =
  (2,1)  5
  (1,2)  4
  (2,4) -7
>> B=full(A)
B =
  0  4  0  0
  5  0  0 -7

（3）使用spconvert函数直接建立稀疏存储矩阵
B=spconvert(A) 其中，A 为一个 \(m\times3\) 或 \(m\times4\) 的矩阵，其每行表示一个非零元素，\(m\)

A(i,1)表示第i个非零元素所在的行
A(i,2)表示第i个非零元素所在的列
A(i,3)表示第i个非零元素值的实部
A(i,4)表示第i个非零元素值的虚部

若矩阵的全部元素都是实数，则无须第4列

>> A=[2,2,1;2,1,-1;2,4,3]
A =
  2  2  1
  2  1 -1
  2  4  3
>> B=spconvert(A)
B =
  (2,1) -1
  (2,2)  1
  (2,4)  3

（4）单位矩阵的稀疏存储
speye(m,n)返回一个m×n的稀疏存储单位矩阵。

>> speye(3)
ans =
    (1,1) 1
    (2,2) 1
    (3,3) 1

带状稀疏矩阵的稀疏存储

稀疏矩阵有两种基本类型：无规则结构的稀疏矩阵与有规则结构的稀疏矩阵。
带状稀疏矩阵就是一种十分典型的具有规则结构的稀疏矩阵，它是指所有非零元素集中在对角线上的矩阵。

带状稀疏矩阵函数	函数解释
[B,d]=spdiags(A)	从带状稀疏矩阵A中提取全部非零对角线元素赋给矩阵B及其这些非零对角线的位置向量d
A=spdiags(B,d,m,n)	产生带状稀疏矩阵的稀疏存储矩阵A，其中m、n为原带状稀疏矩阵的行数与列数，矩阵B的第i列即为原带状稀疏矩阵的第i条非零对角线，向量d为原带状稀疏矩阵所有非零对角线的位置

>> A =[11,0,0,12,0,0;0,21,0,0,22,0;0,0,31,0,0,32;41,0,0,42,0,0;0,51,0,0,52,0]
A =
  11  0  0 12  0  0
   0 21  0  0 22  0
   0  0 31  0  0 32
  41  0  0 42  0  0
   0 51  0  0 52  0
>> [B,d]=spdiags(A)
B =
   0 11 12
   0 21 22
   0 31 32
  41 42  0
  51 52  0
d =
  -3
   0
   3

%利用带状稀疏矩阵非零对角线元素组成的矩阵B，以及对角线位置组成的向量d，命令执行后产生一个稀疏存储矩阵A
>> A=spdiags(B,d,5,6)
A =
  (1,1) 11
  (4,1) 41
  (2,2) 21
  (5,2) 51
  (3,3) 31
  (1,4) 12
  (4,4) 42
  (2,5) 22
  (5,5) 52
  (3,6) 32

带状稀疏矩阵小结
利用 A=spdiags(B,d,m,n) 产生带状稀疏矩阵的稀疏存储

其中，m、n 为原带状矩阵的行数与列数，B 为 r×p 矩阵，这里 r=min(m,n)，p 为原带状矩阵所有非零对角线的条数，矩阵 B 的第 i 列即为原带状矩阵的第 i 条非零对角线。

取值方法：

若非零对角线上元素个数等于 r，则取全部元素；
若非零对角线上元素个数小于 r，则应该用零补足到 r 个元素。

补零原则：

若行数 < 列数，则主对角线以下在前面补 0，主对角线以上在后面补 0；
当行数 ≥ 列数，则主对角线以下在后面补 0，主对角线以上在前面补 0。

稀疏矩阵的应用实例

求下列三对角线性方程组的解

\[ \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 & 1 \\ & 1 & 6 & 4 \\ & & 2 & 6 & 2 \\ & & & 1 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ 2 \\ 1 \\ 5 \\ \end{bmatrix} \]

>> kf1=[1;1;2;1;0];
>> k0=[2;4;6;6;1];
>> k1=[0;3;1;4;2];
>> B=[kf1,k0,k1];
>> d=[-1;0;1];
>> A=spdiags(B,d,5,5);
>> f=[0;3;2;1;5];
>> x=A\f
x =
  -0.1667
   0.1111
   2.7222
  -3.6111
   8.6111

注意区分稀疏矩阵和稀疏存储矩阵

【Matlab学习1.1】操作界面、搜索路径

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