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Games 102

P2 数据拟合

拟合数据的好坏

• 分段线性插值函数$y=f_1(x)$，数据误差为0，只有$C_0$连续。
• 光滑插值函数$y=f_2(x)$，数据误差为0，可能被Noice带歪，导致函数性质不好，预测而不可靠
• 逼近拟合函数$y=f_3(x)$，允许一定的误差

三部曲方法论

• 到那找：确定某个函数集合/空间
• 找那个：度量哪个函数是好的=确定loss
• 怎么找：求解或优化

• 如果转化为系数的方程组是欠定的(有无穷多解)，则修正模型：Lasso、岭回归、稀疏正则项

多项式插值定理

• 拉格朗日多项式
• 牛顿插值多项式
• 病态问题

• 数据微笑的变化可能会导致插值结果变化较大

• 函数相互抵消

• 单项式，从低次幂到高次幂占据的重要性优先级依次下降。
• 使用正交多项式基

• 结论

• 多项式插值不稳定
• 振荡现象：多项式随着插值点数的增加而摆动

多项式逼近

• 为什么做逼近

• 数据包含噪声
• 追求更紧凑的表达
• 计算简单、更稳定

• 最小二乘逼近

• $\underset{f\in span(B)}{argmin}\sum\limits_{j=1}^{m}(f(x_j)-y_j)^2$

函数空间及基函数

• Bernstein多项式逼近

• 基函数：$b_{n,j} = C_n^jx^j(1-x)^{n-j}$

• 优势

• 正性、权性(和为1)->凸包性
• 变差缩减性
• 递归线性求解方法
• 细分性

RBF函数插值/逼近

• RBF函数的一维形式即为Gauss函数

• $g_{\mu,\sigma}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

• RBF函数

• $f(x)=b_0+\sum\limits_{i=1}^n b_ig_i(x)$

从另一个角度来看拟合函数

• Gauss拟合函数

• 一般的Gauss函数表达为标准Gauss函数的形式

• $g_{\mu,\sigma}(x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}(\frac{x}{\sigma}-\frac{\mu}{\sigma})^2}=g_{0,1}(ax+b)$
• $a=\frac{1}{\sigma},b=\frac{\mu}{\sigma}$
• 这样就可以同时优化$\mu$和$\sigma$
• $f(x) = b_0+\sum_{i=1}^{n}b_ig_i(x)$->$f(x)=w_0+\sum_{i=1}^nw_ig_{0,1}(a_ix+b_i)$

P3 参数曲线拟合

多元函数

• 二元函数的基函数构造

• 张量积形式：即两个一元函数的基函数的相互乘积来定义

• 三次张量积多项式
• 多元函数的张量积定义

• 优点：定义简单，多个医院基函数的乘积形式
• 不足：随着维度增加，基函数个数急剧增加，导致变量急剧增加（求解系统大规模急剧增加，求解代价大）

• 多元函数的神经网络表达

向量值函数（多个应变量）

• 平面参数曲线、空间参数曲线、空间参数曲面，二维映射、三维映射，降维映射（一般有信息的丢失，且不可恢复）
• 有限元分析：就是对空间中的一个微元进行变形分析
• 一般映射

• $f:R^n->R^m$
• 如果$n<m$，为低维映射到高维（高维的超曲面，n维流形曲面），本征维度为n（用n维参数就可以表示它）
• 如果$n>m$，为降维映射，一般有信息损失，但如果$R^n$中的点集正好位于一个m维(或小于m)的流形上，则映射可能是无损可恢复的。

曲线拟合

• 输入：给定平面上的系列点$(x_i,y_i),i=1,2,3...,n$
• 输出：一条参数曲线，拟合这些点为一条参数曲线
• 其中$p(t)=\left(\frac{x(t)}{y(t)}\right)$

P4 三次样条函数

样条

• 为什么要成为样条函数？

• 在之前没有计算机辅助几何设计的阶段，设计师们用样条来辅助画图。

• 样条与压铁

• 样条：具有一定弹性的软木条
• 压铁：比较重的铁块，用来固定样条所经过的点

• 自由曲线

• 没有数学表述，只知道它通过一些空间点列，这类没有数学表达式的曲面或曲线称为自由曲面/自由曲线

三次样条函数

• 样条曲线的数学表达推导

• 压铁：型值点；样条：插值型曲线

• 分段3次多项式的好处

• 2次多项式无法表达拐点，不够自由
• 高次多项式拐点多，容易出现较大误差

• 三次样条函数推导（方法1）

• 假设n+1个点，则有n条线段需要拟合，每条线段需要4个变量描述，则共有4n个未知量
• n+1个点在曲线上，可以提供n+1个方程
• 曲线在型值点处$C^0,C^1,C^2$连续，可以提供$3n-3$个方程
• 再加上两个边界条件，一共4n个方程，4n个未知量
• 可以用追赶法求三弯矩方程组。
• 边界条件：

• 自由端（指定曲线在两个端点处的二阶导数值为0）
• 夹持端（指定曲线在两个端点处的一阶导数值）
• 抛物端（指定首尾两端为抛物线）、周期端、混合边界条件

• 三弯矩方程组/三转角方程组

• 三对角矩阵
• 主对角占优
• 有唯一解
• 追赶法求解

三次基样条

三次样条曲线

• 样条函数的局限性

• 须有小扰度假定
• 不能处理多值问题
• 不能很好地表达空间曲线
• 不具有坐标不变性（几何不变性）

• 三次参数样条曲线

曲线的几何连续性

• 参数连续性

• 参数连续性的不足

• 参数连续性过于严格， 在几何设计中不太直观

• 几何连续性

• 几何连续性的具体形式

P5 Bezier曲线和B样条曲线

Bernstein基函数

• n次bernstein基函数$B=\{B_0^{(n)},B_1^{(n)},...,B_n^{(n)}\}$

• $B_i^{n}(t)=C_n^it^i(1-t)^{n-i}$

• example:

• 用Bernstein基函数所表达的曲线具有非常好的几何意义
• $b_i(t)$的特性决定了曲线的特性

Bezier曲线

• Bezier曲线的性质来源于Bernstein基函数的性质（曲线是控制顶点的线性组合构成，基函数提供了组合系数）
• n次Bezier曲线：n+1个控制点

• $x(t)=\sum\limits_{i=0}^nB_i^n(t) \cdot b_i$

Bernstein基函数及Bezier曲线的性质

• Bernstein基函数

• 对称性：$B_i^{(n)}(t)=B_{n-i}^{(n)}(1-t)$
• 最大值：$B_i^{(n)}(t)$在$t=\frac{i}{n}$达到最大值
• 正权性：

• 正性：$B^{(n)}_i(t)\geq 0,\forall t\in[0,1]$
• 权性：$\sum_{i=1}^nB_i^{(n)}(t)=1,\forall t\in[0,1]$
• 可以由上两条性质推出Bezier曲线具有凸包性

• 基性
• 递推公式
• 端点插值性
• 导数
• 升阶

• Bezier曲线的端点性质

• 端点插值
• 端点的切线方向与边相同
• 段殿德2阶$(k)$切线与3点$(k+1)$相关

• De Casteljau algorithm算法
• 几何样条曲线
  +

B样条曲线

• Bezier曲线的不足

• 牵一发而动全身

• 样条曲线（分段的多项式曲线/Bezier曲线）

• 分段表达，具有局部性

P6 NUMBERS

有理曲线

• Beizer曲线存在的问题：无法精确地表示圆形

• 原因：Bezier曲线是一种多项式函数

NURBS曲线

• Non-Uniform Bational B-Spline 非均匀有理B样条

• 节点向量非均匀

• 影响NURBS曲线建模的因素

• 控制顶点：用户交互的手段
• 节点向量：决定了而B样条基函数
• 权系数：影响曲线的形状，生成圆锥曲线等

细分曲线

• 受Bezier曲线的de Casteljau作图法影响，可以通过不断“割角”构造曲线
• 细分方法的思想：

• 拓扑规则（splitting）：加入新点，组成新多边形
• 几何规则（averaging）：移动顶点，局部加权平均

• Chaikin细分方法（逼近型：对所有顶点都移动）

• 拓扑规则：点分裂成边，老点被抛弃。新点老点重新编号
• 几何规则：新顶点是老顶点的线性组合
• 性质：极限曲线为二次均匀B样条曲线，节点处$C^1$，其余点处处$C^{\infty}$

• 均匀3次B样条曲线细分方法
• 插值细分方法

• 保留原来的顶点，对每条边增加一个新顶点，不断迭代，生成一条曲线
• 一般：2n点插值细分方法
• 非线性细分方法（基于双圆弧插值的曲线细分方法）

• 给定一条边,新点为插值其两端点及两端切向的双圆弧的一个连接点,也是其两端点两端切向的所确定三角形的内心.
• 每个细分步骤后调整切向.

隐式曲线

• 隐式曲面：不会告诉你任何点的信息，只告诉你曲面上的点满足的关系，可以很快的判断给定的点在曲面上或曲面内侧/外侧
• 显式曲面：所有曲面的点直接被给出，或可以通过映射关系得到
• 常见的隐式曲面：代数曲面、CSG、SDF、水平集、分型几何
• 常见的显式曲面：点云、多边形网格、参数曲面

NURBS曲面

• 参数曲面
• 张量积
• 张量积曲面
• Bezier曲面
• Trimmed NURBS曲面（表达带“洞”或非矩形边界的曲面）

• 曲面上的曲线：使用参数域上的NURBS曲线来定义，然后复合得到曲面上的曲线。

P7 曲面光顺

曲线的微分几何

曲线的光顺定义

• 一条曲线是光顺的，如果

• 它是$C^{l+1}(l>0)$连续的;
• 它的曲线本身拐点较少；
• 它的曲率图的拐点较少；
• 它的曲率图变化的振幅相对小

曲线的光顺方法

• 小扰度假设：转角不大于60度

• 此时曲线满足条件:KaTeX parse error: Expected group after '^' at position 2: y^̲'{x}<<1且$y^{$

• 方法

• $C^1$连续
• 初光顺（定界法）：降低跳跃曲率的幅度。调整控制点位置，降低曲率的跳跃幅度，删除一些不必要的拐点
• 基本光顺（卡尺法）：减少第一个振动数$R$。调整控制点位置，删除其他多余的转折点。
• 精光顺（回弹法）：减少第二个振动数$S$。检查控制点的剪切力的方向，调整剪切力的变化数字。

离散曲线处理

• 为什么要离散

• 渲染的必要性、计算的必要性、制造的必要性

• Nyquist-Shannon采样定理

• 如果一个函数x(t)不包含高于B赫兹的频率。它完全可以通过给出其在一系列的时间间隔为1/(2B)秒。

• 重心坐标（没有细讲，一带而过）

三角网格：曲面的离散表达

• 这部分没有做笔记，日常用的比较多

P9 微分坐标

3D网格曲面：二维流形曲面的离散

• Local Structure

• 局部特征度量(small-sized cells)：1-邻域

• 表示了模型表面局部的光顺程度

• Laplace算子

• n维欧式空间的Laplace算子

• $\Delta f=\sum\limits_{i=1}^n\frac{\vartheta^2f}{\vartheta x_i^2}$

• 定义在黎曼流形上的椭圆形算子
• Differential Coordinates(微分坐标)

• 离散形式的Laolacian算子

• $\vartheta_i=v_i-\sum\limits_{j \in N(i)}w_jv_j$

• 常见的权重系数

• 均衡权重：$w_j=1$
• cotangent权重：$w_j=(\cot \alpha+\cot\beta)$
• normlization：$w_j=\frac{w_j}{\sum\limits_jw_j}$

Local Laplacian Smoothing

• $P_{new}\leftarrow P_{old}+\lambda L(P_{old})$，其中$L$是每个邻居点的平均向量，$\lambda$是原先的点沿方向移动多少倍
• Discrete Mean Curvature Flow(离散平均曲率流)

• $P_{new}\leftarrow P_{old}+\lambda H(P_{old})n(P_{old})$
• 其中$Hn$为

• 使用平均离散曲率流能避免网格密度不均匀的曲面发生较大形变。

Global Laplacian Smoothing

曲面参数化