泊松过程Poisson

三个假设

假设1：一段时间内事件发生的次数只与该时间段的长度有关，与时间段所在的具体位置无关。

假设2：泊松过程具有独立的增量。泊松过程是无记忆的。

假设3：在一段极短的时间里，事件发生一次的概率正比于该时间段的长度。

推导出具体表达式

在时间段t内，事件发生的次数服从这样的分布：

\[P\left(X(t)=n\right)=\frac{(\lambda t)^{n}}{n !} e^{-\lambda t}, \lambda>0，n=0,1,2... \]

n为发生次数。

参数\(\lambda>0\)表示事件发生的强度。\(\lambda\)越大，表示短时间内事件发生一次的概率越大。

泊松分布

当函数X(t)中的参数t确定时，\(X(t=t_0)\)是一个随机变量，符合均值为\(\lambda t_0\)的泊松分布。

期望和方差均等于\(\lambda t_0\)。

泊松分布是二项分布n很大而p很小时的一种极限形式。

霍克斯过程Hawkes

发生的历史事件对于未来事件的发生有激励作用（正向作用），并且假设历史事件对未来的影响是单调指数递减的，然后以累加的形式进行叠加。


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霍克斯过程研究是现在的前沿方向。