问题:

给定一个十进制正整数N,写下从1开始,到N的所有整数,然后数一下其中出现的所有“1”的个数。

例如:
N= 2,写下1,2。这样只出现了1个“1”。

N= 12,我们会写下1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12。这样,1的个数是5。

问题一:

写一个函数f(N),返回1到N之间出现1的个数,比如f(12)= 5。

解法一:

让我们首先想到的一个方法是:遍历1~N,统计每个数1出现的个数,相加便得到所有1的个数。

1 #include<stdio.h>
 2 #include<stdlib.h>
 3 #include<string.h>
 4 long long int Count(long long int n){
 5     long long int count = 0;
 6     while(n){
 7         count += (n % 10 == 1)?1:0;
 8         n = n / 10;
 9     }
10     return count;
11 }
12 int main()
13 {
14     long long int n,i,count;
15     while(scanf("%lld",&n) != EOF){
16         count = 0;
17         for(i = 1;i <= n;i++){
18             count += Count(i);
19         }
20         printf("%lld\n",count);
21     }
22     return 0;
23 }

这个方法虽然很容易想,但是不是一个好方法。致命问题就是效率问题。如果给定的N很大,需要很长时间才能得出计算结果。

 

 

解法二:

分析的出规律。

<1>1位数情况

这个简单,如果N = 3,那么从1到3的所有数字:1,2,3,只有个位数出现1,而且只出现一次。可以发现,N是个位数时,N >=1,那么f(N)= 1;N = 0,f(N)= 0;

<2>2位数情况

<3>3位数情况

 

同理分析4位数,5位数。。。。。

设N = abcde ,其中abcde分别为十进制中各位上的数字。

如果要计算百位上1出现的次数,它要受到3方面的影响:百位上的数字,百位一下(低位)上的数字,百位一上(高位)上的数字。

如果百位上数字为0,百位上可能出现1的次数由更高位决定。比如:12013,则可以知道百位出现1的情况可能是:100~199,1100~1199,2100~2199,,.........,11100~11199,一共1200个。可以看出是由更高位数字(12)决定,并且等于更高位数字(12)乘以 当前位数(100)。

如果百位上数字为1,百位上可能出现1的次数不仅受更高位影响还受低位影响。比如:12113,则可以知道百位受高位影响出现的情况是:100~199,1100~1199,2100~2199,,.........,11100~11199,一共1200个。和上面情况一样,并且等于更高位数字(12)乘以 当前位数(100)。但同时它还受低位影响,百位出现1的情况是:12100~12113,一共114个,等于低位数字(113)+1。

如果百位上数字大于1(2~9),则百位上出现1的情况仅由更高位决定,比如12213,则百位出现1的情况是:100~199,1100~1199,2100~2199,...........,11100~11199,12100~12199,一共有1300个,并且等于更高位数字+1(12+1)乘以当前位数(100)。

1 /*N = abcde 百位上数字是c
 2 仅以求百位上出现1的情况为例。
 3 */
 4 int count = 0;
 5 //百位上数字为0,百位上可能出现1的次数由更高位决定
 6 if(c == 0){
 7     //等于更高位数字(ab)* 当前位数(100)
 8     count += ab*100;
 9 }
10 //百位上数字为1,百位上可能出现1的次数不仅受更高位影响还受低位影响
11 else if(c == 1){
12     //更高位数字(ab) *  当前位数(100) + 低位数字(de)+1
13     count += ab*100 + de + 1;
14 }
15 //百位上数字大于1(2~9),百位上出现1的情况仅由更高位决定
16 else{
17     //(更高位数字+1(ab+1))* 当前位数(100)
18     count += (ab + 1) * 100;
19 }
1 #include<stdio.h>
 2 
 3 long long int Count(long long int n){
 4     //1的个数
 5     long long int count = 0;
 6     //当前位
 7     long long int Factor = 1;
 8     //低位数字
 9     long long int LowerNum = 0;
10     //当前位数字
11     long long int CurrNum = 0;
12     //高位数字
13     long long int HigherNum = 0;
14     if(n <= 0){
15         return 0;
16     }
17     while(n / Factor != 0){
18         //低位数字
19         LowerNum = n - (n / Factor) * Factor;
20         //当前位数字
21         CurrNum = (n / Factor) % 10;
22         //高位数字
23         HigherNum = n / (Factor * 10);
24         //如果为0,出现1的次数由高位决定
25         if(CurrNum == 0){
26             //等于高位数字 * 当前位数
27             count += HigherNum * Factor;
28         }
29         //如果为1,出现1的次数由高位和低位决定
30         else if(CurrNum == 1){
31             //高位数字 * 当前位数 + 低位数字 + 1
32             count += HigherNum * Factor + LowerNum + 1;
33         }
34         //如果大于1,出现1的次数由高位决定
35         else{
36             //(高位数字+1)* 当前位数
37             count += (HigherNum + 1) * Factor;
38         }
39         //前移一位
40         Factor *= 10;
41     }
42     return count;
43 }
44 
45 int main(){
46     long long int a;
47     while(scanf("%lld",&a) != EOF){
48         printf("%lld\n",Count(a));
49     }
50     return 0;
51 }