非参数检验
概念
数据描述的三个角度：集中趋势，离散程度和分布形态。
常用统计推断检验方法分为两大类：参数检验和非参数检验。
参数检验通常是假设总体服从正态分布，样本统计量服从T分布的基础之上，对总体分布中一些未知的参数，例如总体均值、总体方差和总体标准差等进行统计推断。
如果总体的分布情况未知，同时样本容量又小，无法运用中心极限定理实施参数检验，推断总体的集中趋势和离散程度的参数情况。这时，可以用非参数检验，非参数检验对总体分布不做假设，直接从样本的分析入手推断总体的分布。
非参数检验和参数检验的对比
① 适用范围：
非参数检验用作参数检验的替代方法，当数据不满足正态性时，将使用非参数检验。因此，关键是要弄清楚是否具有正态分布。如果数据大致呈现"钟型"分布，则可以使用参数检验。
② 检验效能：
如果数据满足参数分布，应该优先选择参数检验方法。愿因在于参数检验的检验效能要高于非参数检验。尤其是在样本数较大的情况下，参数检验结果较为稳健，所以即使不服从正态分布，也会选择参数检验。
③ 对比指标：
参数检验一般用平均值反映数据的集中趋势；但由于数据不满足正态分布，在非参数检验中如果再使用平均值描述显然不太准确（比如常被吐槽的人均收入），此时中位数是更好的选择。
- 参数检验分析结果
- 参数检验用平均值及标准差描述数据分布请况。
- 非参数检验分析结果
- 非参数检验结果中使用的是中位数描述差异。
④ 图形展示：
除了使用以上指标进行分析，还可以通过图形直观展示数据情况。参数检验常用图形有：折线图、条形图等，非参数检验可以使用箱线图查看。
折线图
箱线图
参数检验与非参数检验的方法对比
凡是在分析过程中不涉及总体分布参数的检验方法，都可以称为“非参数检验”。因而，与参数检验一样，非参数检验包括许多方法。以下是最常见的非参数检验及其对应的参数检验对应方法：
非参数检验的方法
非参数检验的方法是五花八门，名字也是千奇百怪，但是，这些方法有它们的共性。
上面介绍了，因为对总体的分布形态不清楚或总体分布不是正态分布，所以无法用参数检验来推断总体的集中趋势和离散程度的参数。
统计学家想到用排秩（排序）的方法来规避不是正态分布的问题，用样本的排序情况来推断总体的分布情况。这就好比梁山一百单八将排好了座次，从中随机抽出几个，测试武力值，大概其能够了解梁山的实力如何。
下图是非参数检验常用的检验方法表:
Wilcoxon 检验
Frank Wilcoxon (1892—1965) 是美国的统计学家，发表了 70 篇左右论文，但其最大的贡献就是这 2 个以他名字命名的非参假设检验方法：秩和检验 和 符号秩检验。他在 1945 年发表的论文 1 中将二者分别称为 非成对检验 （unpaired experiment）和 成对检验（paired comparison）。 正是因为其巨大影响力使得这两个检验方法都以他的名字命名，并流传下来。
Wilcoxon rank-sum test（秩和检验）
基本概念
在统计学中，Wilcoxon rank-sum test（威尔科克森秩和检验） 也叫 Mann-Whitney U test（曼-惠特尼 U 检验），或者 Wilcoxon-Mann-Whitney test。秩和检验是一个非参的假设检验方法，一般用来检测 2 个数据集是否来自于相同分布的总体。
这里的 “秩” 其实就是 “排名” 的意思，“秩和” 当然就是指 “将排名进行求和” 的操作。在秩和检验中，我们不要求被检验的 2 组数据包含相同个数的元素，换句话说，秩和检验更适用于非成对数据之间的差异性检测。
应用实例
假设我们有 2 组数据x 1 x_{1}x1和x 2 x_{2}x2，如下表所示，x 1 x_{1}x1中有 7 个元素（列 x 1 x_1x1中），x 2 x_{2}x2中有 8 个元素（列x 2 x_{2}x2中），现在使用秩和检验判断这 2 组数据是否存在显著性差异。
步骤 1：我们首先将x 1 x_{1}x1和x 2 x_{2}x2整合成一个序列，并按升序重新排序，序号记在表中的r a n k rankrank列当中。我们分别计算 2 组数据的排名之和R 1 R_{1}R1和R 2 R_{2}R2有：
注意，当我们计算若干等值元素的排名时，会用这些元素排名的平均值作为它们在整个序列中的排名。例如x 1 x_{1}x1中的第 2 个元素与x 2 x_{2}x2中第3 个元素的值都等于 5，且这 2 个 5 在整个序列中的排名分别是第 5 和第 6，因此这两个元素的排名为5 + 6 2 = 5.5 \frac{5+6}{2}=5.525+6=5.5 。其余等值元素的排名计算也与之类似。
步骤 2：令n 1 n_{1}n1和n 2 n_{2}n2分别表示 2 组数据的个数，即n 1 = 7 n_{1}=7n1=7, n 2 = 8 n_{2}=8n2=8。再令 T TT 表示小样本的排名和，即 T = R 1 = 77.5 T = R_1 = 77.5T=R1=77.5。根据计算公式可得U 1 U_{1}U1和U 2 U_{2}U2的值如下：
步骤 3：由于U 1 U_{1}U1更小，我们依此来查 Wilcoxon 双尾临界表，当 α = 0.05 , n 1 = 7 , n 2 = 8 α = 0.05 , n_1 = 7 , n_2 = 8α=0.05,n1=7,n2=8时的临界值是 10。因为U 1 < 10 U_{1} < 10U1<10，故应该拒绝原假设。
最终结论是：x 1 x_{1}x1和x 2 x_{2}x2存在统计意义上的显著性差异，它们可能来自分布不同的总体。
编程实现
在 python 中我们调用 scipy 包来里的 stats.mannwhitneyu() 函数来实现秩和检验，如下代码：
<span style="color:#000000"><span style="background-color:#1d1f21"><code class="language-python"><span style="color:#b294bb">from</span> scipy <span style="color:#b294bb">import</span> stats
x <span style="color:#a67f59">=</span> <span style="color:#999999">[</span><span style="color:#b5bd68">9</span><span style="color:#999999">,</span><span style="color:#b5bd68">5</span><span style="color:#999999">,</span><span style="color:#b5bd68">8</span><span style="color:#999999">,</span><span style="color:#b5bd68">7</span><span style="color:#999999">,</span><span style="color:#b5bd68">10</span><span style="color:#999999">,</span><span style="color:#b5bd68">6</span><span style="color:#999999">,</span><span style="color:#b5bd68">7</span><span style="color:#999999">]</span>
y <span style="color:#a67f59">=</span> <span style="color:#999999">[</span><span style="color:#b5bd68">7</span><span style="color:#999999">,</span><span style="color:#b5bd68">4</span><span style="color:#999999">,</span><span style="color:#b5bd68">5</span><span style="color:#999999">,</span><span style="color:#b5bd68">6</span><span style="color:#999999">,</span><span style="color:#b5bd68">3</span><span style="color:#999999">,</span><span style="color:#b5bd68">6</span><span style="color:#999999">,</span><span style="color:#b5bd68">4</span><span style="color:#999999">,</span><span style="color:#b5bd68">4</span><span style="color:#999999">]</span>
<span style="color:#b294bb">def</span> <span style="color:#81a2be">wilcoxon_rank_sum_test</span><span style="color:#999999">(</span>x<span style="color:#999999">,</span> y<span style="color:#999999">)</span><span style="color:#999999">:</span>
res <span style="color:#a67f59">=</span> stats<span style="color:#999999">.</span>mannwhitneyu<span style="color:#999999">(</span>x <span style="color:#999999">,</span>y<span style="color:#999999">)</span>
<span style="color:#b294bb">print</span><span style="color:#999999">(</span>res<span style="color:#999999">)</span>
wilcoxon_rank_sum_test<span style="color:#999999">(</span>x<span style="color:#999999">,</span> y<span style="color:#999999">)</span>
wilcoxon_rank_sum_test<span style="color:#999999">(</span>y<span style="color:#999999">,</span> x<span style="color:#999999">)</span>
</code></span></span>
Wilcoxon signed-rank test（符号秩检验）
基本概念
Wilcoxon signed-rank test（威尔科克森符号秩检验）也是一种非参的假设检验方法，它成对的检查 2 个数据集中的数据（即 paired difference test）来判断 2 个数据集是否来自相同分布的总体。
应用实例
假设我们有 2 组数据y 1 y_{1}y1和y 2 y_{2}y2，如下表所示。我们按照如下 3 步来计算 wilcoxon signed-rank test 的结果。
步骤 1：首先对y 1 y_{1}y1和y 2 y_{2}y2两两成对配对形成 10 个数据对（即I D = 0 , . . . , 9 ID=0,...,9ID=0,...,9），然后将这 10 个数据对两两求差，得到符号位s i g n signsign列。具体的做法是：当y 1 y_1y1元素比y 2 y_2y2对应元素大时，符号位为正，即 + 1 +1+1；当y 1 y_1y1元素比y 2 y_2y2对应元素小时，符号位为负，即 − 1 -1−1。例如，在I D = 1 ID=1ID=1的数据对中，125 > 110 125 > 110125>110，故其符号位为 + 1 +1+1.
步骤 2： 首先对y 1 y_{1}y1和y 2 y_{2}y2两两成对求差得到绝对值a b s absabs列，然后根据a b s absabs列排序得到r a n k rankrank列。当某一对y 1 y_{1}y1和y 2 y_{2}y2的元素相等时，即a b s = 0 abs=0abs=0时，我们不计算其r a n k rankrank值。例如，在I D = 4 ID=4ID=4的数据对中，y 1 y_1y1和y 2 y_2y2的值都是 140，因此这对数组没有排名值。
步骤 3： 有了这个s i g n signsign和r a n k rankrank列的结果后，我们就可以来计算秩和了，其中大于 0 的秩和W + W^{+}W+和 对于小于 0 的秩和W − W^{-}W−，以及最终的符号秩和∣ W ∣ |W|∣W∣如下所示，
步骤 4：最后我们根据 ∣ W ∣ |W|∣W∣ 来查表，我们得到当 Wilcoxon 在α = 0.05 \alpha=0.05α=0.05 n = 9 n = 9n=9的时候的临界值是 5，而我们计算出来的∣ W ∣ = 9 > 5 |W| = 9 > 5∣W∣=9>5，因此我们不能拒绝原假设。最终结论是：y 1 y_{1}y1和y 2 y_{2}y2不存在统计意义上的显著性差异，它们可能来自于同一分布的总体。
编程实现
在 python 中我们调用 scipy 包来里的 stats.wilcoxon() 函数来实现秩和检验，如下代码，
<span style="color:#000000"><span style="background-color:#1d1f21"><code class="language-python"><span style="color:#b294bb">from</span> scipy <span style="color:#b294bb">import</span> stats
x <span style="color:#a67f59">=</span> <span style="color:#999999">[</span><span style="color:#b5bd68">125</span><span style="color:#999999">,</span><span style="color:#b5bd68">115</span><span style="color:#999999">,</span><span style="color:#b5bd68">130</span><span style="color:#999999">,</span><span style="color:#b5bd68">140</span><span style="color:#999999">,</span><span style="color:#b5bd68">140</span><span style="color:#999999">,</span><span style="color:#b5bd68">115</span><span style="color:#999999">,</span><span style="color:#b5bd68">140</span><span style="color:#999999">,</span><span style="color:#b5bd68">125</span><span style="color:#999999">,</span><span style="color:#b5bd68">140</span><span style="color:#999999">,</span><span style="color:#b5bd68">135</span><span style="color:#999999">]</span>
y <span style="color:#a67f59">=</span> <span style="color:#999999">[</span><span style="color:#b5bd68">110</span><span style="color:#999999">,</span><span style="color:#b5bd68">122</span><span style="color:#999999">,</span><span style="color:#b5bd68">125</span><span style="color:#999999">,</span><span style="color:#b5bd68">120</span><span style="color:#999999">,</span><span style="color:#b5bd68">140</span><span style="color:#999999">,</span><span style="color:#b5bd68">124</span><span style="color:#999999">,</span><span style="color:#b5bd68">123</span><span style="color:#999999">,</span><span style="color:#b5bd68">137</span><span style="color:#999999">,</span><span style="color:#b5bd68">135</span><span style="color:#999999">,</span><span style="color:#b5bd68">145</span><span style="color:#999999">]</span>
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res <span style="color:#a67f59">=</span> stats<span style="color:#999999">.</span>wilcoxon<span style="color:#999999">(</span>x <span style="color:#999999">,</span>y<span style="color:#999999">)</span>
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wilcoxon_signed_rank_test<span style="color:#999999">(</span>y<span style="color:#999999">,</span> x<span style="color:#999999">)</span>
</code></span></span>
得到的结果如下，其中 s t a t i s t i c = 18.0 statistic = 18.0statistic=18.0，表示 2 类符号秩和较小的一个（∣ W + |W^{+}∣W+和∣ W − ∣ |W^{-}|∣W−∣最小的是18 1818）；p v a l u e = 0.5936 … pvalue=0.5936…pvalue=0.5936… 就是我们需要的 p − v a l u e p-valuep−value 值。之所以出现 Warning 信息是因为我们的数据量太少，一般来讲大于 20 2020 是比较合适做假设检验的。
Wilcoxon 符号秩检验临界表
2022年10月12日更新：
我太难了，又看到了Friedman算法，这是个啥，不知道啊，接着学习吧，记录一下！
Friedman 检验与 Nemenyi 后续检验
当我们提出一种算法，需要知道我们的算法和现在已有的算法相比，性能是否更优的时候，就需要用到模型性能评估的方法。
Friedman 检验与 Nemenyi 后续检验方法的特点是：可以进行多个算法的比较。
计算序值
假定我们用D 1 、 D 2 、 D 3 D_1、D_2、D_3D1、D2、D3和D 4 D_4D4四个数据集对算法A AA、B BB、C CC进行比较。
首先需要得到每个算法在每个数据集上的测试结果，可以是准确率，也可以是均方误差，然后在每个数据上根据测试性能的好坏进行排序，并赋予序值 1，2，…。
如果算法的测试性能相同，则评分排名。
比如，在D 1 D_1D1和D 3 D_3D3上，A AA 最好、B BB次之，C CC 最差，而在D 2 D_2D2 上A AA 最好B BB和C CC性能相同，…，则可以列出如下表所示的序值表，对每一列的序值进行求平均，得到平均序值。
Friedman 检验
使用 Friedman 检验来判断这些算法是否性能相同。如果相同，则他们的平均序值应该相等。
假定我们在N NN个数据集上比较k kk个算法，令r i r_iri表示第i ii个算法的平均序值。为简化讨论，暂时不考虑平分序值的情况，则r i r_iri服从正态分布，其均值和方差分别为( k + 1 ) / 2 (k+1)/2(k+1)/2和( k 2 − 1 ) / 12 (k^2-1)/12(k2−1)/12。变量
在k kk和N NN都较大时，服从自由度为k − 1 k-1k−1 的χ 2 \chi^2χ2分布。
然后，上述的这样的 “原始 Friedman 检验” 过于保守，现在通常使用变量
其中，τ F \tau_FτF服从自由度为k − 1 k-1k−1和( k − 1 ) ( N − 1 ) (k-1)(N-1)(k−1)(N−1)的F FF分布。常用的临界值可以见下表。
若 “所有算法的性能相同” 这个假设被拒绝，则说明算法的性能显著不同。
Nemenyi 后续检验
这个时候就需要使用 “后续检验”（post-hoc test）来进一步区分算法。常用的算法是 Nemenyi 后续检验。
Nemenyi 检验计算出平均序值差别的临界值域
下表给出了α = 0.05 \alpha = 0.05α=0.05和0.1 0.10.1时常用的q α q_\alphaqα值。
若两个算法的平均序值之差超出了临界值域#CD# ，则以相应的置信度拒绝 “两个算法性能相同” 这一假设。
