池化层（Pooling Layer）


pytorch图像平均池化后还原 pytorch池化层_激活函数


图1 左-最大值池化、右-平均值池化

池化定义
池化运算是对信号进行“收集”并“总结”。由于池化操作类似蓄水池收集水资源，因此得名池化。
（1）收集
通过池化运算将信号由多变少，图像尺寸由大变小的过程；
（2）总结
如图1中左图所示，1张\(\ 4 \times 4\) 的输入图像经过\(\ 2 \times 2\) 的池化窗口池化运算后，得到\(\ 2 \times 2\) 的输出特征图。原本具有16个像素的图像变为4个像素进行表示，1个池化窗口内部用1个像素值来表示原本的4个像素值，这一过程就是总结。
在总结方法中，最常用的2种方法是最大值池化、平均值池化，如图1所示。

Pytorch中池化实现

1、二维最大值池化

1.1 理论

nn.MaxPool2d(kernel_size,stride=None,
             padding=0,dilation=1,
             return_indices=False,
             ceil_mode=False)
功能：对二维信号（图像）进行最大值池化
主要参数：kernel_size：池化核尺寸
stride:步长  
padding:填充个数
dilation:池化核间隔大小
ceil_mode：尺寸向上取整（Ture：向上；False:默认，向下）
return_indices:记录池化像素索引

解释：
（1）ceil_mode: 池化后，在计算输出特征图尺寸时，存在1个除法操作。如果除法不能整除时，可通过对ceil_mode进行设置选择尺寸向上或向下取整；设置ceil_mode=True时，输出特征图尺寸采用向上取整；ceil_mode=False时，此为默认设置，输出特征图尺寸采用向下取整。
卷积、池化输出特征图尺寸简化版公式：

\[\frac{Insize-kernelsize+2padding}{stride}+1= outsize\,. \]

(2)return_indices: 记录下来的像素索引，通常会用于最大值反池化操作。早期自编码器、图像分割任务通常会利用最大值反池化来进行上采样， return_indices在反池化中则起着至关重要的作用。
举个例子：


pytorch图像平均池化后还原 pytorch池化层_池化_02


图2


pytorch图像平均池化后还原 pytorch池化层_激活函数_03


图3 前段-池化、后段-反池化

从图2、3的网络结构可以看出，红色线划分的前段是1个 正常的最大值池化下采样过程： 从\(\ 4 \times 4\) 输入图像池化得到\(\ 2\times 2\)的特征图，对于第1个池化窗口首先记录下最大像素值2的位置索引。该最大像素值经过中间一系列网络层运算后，变为了3而后进入反池化上采样环节，通过return_indices记录的2的索引值把3放到\(\ 4 \times 4\) 图像中，完成反池化。
总而言之，记录最大值池化时像素点的索引值，反池化时，可通过该索引值将运算得来的新最大值放到相应的的位置。

1.2 实验

代码来自余老师
# ================ maxpool
# flag = 1
flag = 0
if flag:
//参数设置：
// kernel_size—2×2池化核、
// 步长—池化通常不重叠，步长与池化核参数相同；
// 其他均为默认设置
    maxpool_layer = nn.MaxPool2d((2, 2), stride=(2, 2))   # input:(i, o, size) weights:(o, i , h, w)
    img_pool = maxpool_layer(img_tensor)

2、二维平均值池化

2.1 理论

nn.AvgPool2d(kernel_size, stride=None
             padding=0,ceil_mode=False,
             count_include_pad=True,
             divisor_override=None)
功能：对二维信号（图像）进行平均值池化
主要参数：kernel_size：池化核尺寸
stride:步长
padding：填充个数
ceil_mode:尺寸向上取整
count_include_pad:填充值用于计算（True-用于计算，False-不用于计算）
divisor_override:除法因子

解释：
divisor_override除法因子：在进行平均值池化时，计算方法是：

\[\frac{池化窗所覆盖像素点像素值之和}{被覆盖的像素点个数}= 当前窗口平均值\,. \]

有了除法因子，就不再除以 被覆盖的像素点个数，而是可以通过任意赋值（见实验2.2）。

2.2 实验

代码来自余老师
#==================AvgPool
flag = 1
# flag = 0
if flag:
    img_tensor = torch.ones((1, 1, 4, 4)) //创建张量
    avgpool_layer = nn.AvgPool2d((2, 2), stride=(2, 2), divisor_override=3) //设置平均值池化中除法因子为3
    img_pool = avgpool_layer(img_tensor)

print("raw_img:\n{}\npooling_img:\n{}".format(img_tensor, img_pool))

实验意味着，原本\(\ 4 \times 4\)的输入图像经过池化下采样得到\(\ 2\times 2\)的特征图。1个\(\ 2\times 2\)池化窗口内，像素值计算变为：

\[\frac{像素值之和：1+1+1+1}{除法因子3}= 当前窗口平均值1.3333...\,. \]


pytorch图像平均池化后还原 pytorch池化层_激活函数_04


图4 平均值池化：除法因子改变对池化结果的影响

3、二维最大值反池化

3.1、理论

nn.MaxUnpool2d(kernel_size,stride=None,
               padding=0)
功能：对二维信号（图像）进行最大值反池化（池化上采样）
主要参数：kernel_size:池化核尺寸
stride:步长
padding:填充个数

forward(self,input,indices,output_size=None)

解释：
后段进入【反池化层】，从\(\ 2\times 2\)输入图像上采样到\(\ 4\times 4\)输出特征图，涉及到像素点放在哪里的问题。这一步就可依靠【最大值池化层】中的return_indices来记录索引，【最大值池化层】中最大像素值的索引传入到【反池化层】中，如反池化层中红色标注的各个像素点，将当前\(\ 2\times 2\)输入图像中的像素点放在对应的位置上。因此，【最大反池化】参数与【最大值池化】参数类似，只是在forward时需要多传入indices索引参数。


pytorch图像平均池化后还原 pytorch池化层_激活函数_03


图5 第1层：输入图像 第2层：最大值池化特征图 ....一系列网络层..... 第3层：输入特征图 第4层：反池化层

3.2、实验

# ================ max unpool
flag = 1
# flag = 0
if flag:
    # pooling【最大值池化】
    img_tensor = torch.randint(high=5, size=(1, 1, 4, 4), dtype=torch.float) //随机初始化1个尺寸为4*4的图像
    maxpool_layer = nn.MaxPool2d((2, 2), stride=(2, 2), return_indices=True) //设置最大值池化参数，记录索引
    img_pool, indices = maxpool_layer(img_tensor)

    # unpooling【最大值反池化】
    img_reconstruct = torch.randn_like(img_pool, dtype=torch.float)
     //这一步形如图5中第3层，其参数应与第二层输出特征图一样，
    //因此用randn_like(img_pool)进行初始化
    maxunpool_layer = nn.MaxUnpool2d((2, 2), stride=(2, 2))
    img_unpool = maxunpool_layer(img_reconstruct, indices)

    print("raw_img:\n{}\nimg_pool:\n{}".format(img_tensor, img_pool))
    print("img_reconstruct:\n{}\nimg_unpool:\n{}".format(img_reconstruct, img_unpool))

结果：


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图6 实验结果


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图7 第1层：输入图像 第2层：最大值池化特征图 ....一系列网络层..... 第3层：输入特征图 第4层：最大值反池化层

线性层（Linear Layer）

线性层定义
线性层又称为全连接层，其每个神经元与上一层所有神经元相连，实现对前一层的线性组合，线性变换。
线性层功能
在卷积神经网络进行分类时，输出分类结果前，通常采用全连接层对特征进行处理。Pytorch中全连接层又称为Linear线性层，因为如果不考虑激活函数的非线性性质，那么全连接层就是对输入数据进行线性组合，因此而得名"线性层"。

以图8为例，观察2层全连接网络：
（1）连接方式：每个神经元与上一层所有神经元相连
（2）运算方式：每个神经元的输出结果是对上一层输入值的加权求和，即采用前一层的输入乘以权值、相加然后输出。
例如，图8中看到隐藏层第1个神经元有3个箭头指向它，说明有3个输入。这3个输入 乘以对应权值并求和得到该神经元的输出结果：

\[\ 1\times 1 +2 \times 1+3 \times 1= 6\, \]

以此类推，通过矩阵乘法得到隐藏层的全部输出值。


pytorch图像平均池化后还原 pytorch池化层_ide_08


图8 线性层运算原理

**Pytorch中线性层实现-nn.Linear** ``` nn.Linear(in_features,out_features,bias=True) 功能：对一维信号（向量）进行线性组合 主要参数：in_features:输入结点数 out_features:输出结点数 bias:是否需要偏置 ``` **nn.Linear计算公式**$\ y=X\mathbf{W}^\mathrm{T}+bias$ 注意：由于计算过程中，会自动将权值矩阵$\ W$进行转置$\mathbf{W}^\mathrm{T}$，因此输入的权值矩阵应当注意形状和数值（见实验）

nn.Linear实验

# ================ linear
# flag = 1
flag = 0
if flag:
    inputs = torch.tensor([[1., 2, 3]])
    linear_layer = nn.Linear(3, 4)  
    linear_layer.weight.data = torch.tensor([[1., 1., 1.],
                                             [2., 2., 2.],
                                             [3., 3., 3.],
                                             [4., 4., 4.]])
 //形状变为4×3的权值矩阵
    linear_layer.bias.data.fill_(0.5)
    output = linear_layer(inputs)
    print(inputs, inputs.shape)
    print(linear_layer.weight.data, linear_layer.weight.data.shape)
    print(output, output.shape)

可以看到代码中，权值矩阵\(\ W\)变为\(\ 4\times 3\)的，这是因为计算过程中会自动将其转置为\(\ 3\times 4\)再运算。


pytorch图像平均池化后还原 pytorch池化层_pytorch图像平均池化后还原_09


图9 Pytorch中线性层运算机制

激活函数层（ Activation Layer）

激活函数层功能
激活函数对特征进行非线性变换，赋予多层神经网络具有深度的意义。

神经网络中通常会采用全连接层进行叠加，例如Lenet输出分类结果时，采用了3个全连接层进行叠加；同时在每个全连接层输出时添加1个非线性激活函数层，它赋予了多层神经网络具有深度的意义。

分析


pytorch图像平均池化后还原 pytorch池化层_激活函数_10


图10 不具有激活函数的多层神经网络

\[\ output=X\times W 等价于 H_1=X\times W_1 \, \]

由图可以看出，多层神经网络由于矩阵乘法的结合性退化成了单层。 如果加入了非线性激活函数，那么多个矩阵相乘的公式就不成立了：

\[\ W\ne W_1*W_2*W_3\, \]

多层神经网络也就不会退化。

1、激活函数sigmoid()—nn.sigmoid


pytorch图像平均池化后还原 pytorch池化层_pytorch图像平均池化后还原_11


图11 sigmoid()函数

计算公式

\(\ y= \frac{1}{1+e^{-x} \quad}\)

梯度公式

\(\ y^{'}= y*(1-y)\)

特性

1、输出值在(0,1)，符合概率

2、导数范围是[0,0.25],易导致梯度消失

3、输出为非0均值，破坏数据分布

分析

由图11可知，

（1）符合概率：蓝色曲线为sigmoid函数值。其函数值在(0,1),符合概率值的区间，sigmoid()因此也常用作二分类输出的激活函数；在循环神经网络RNN中，也作为各种门控单元的激活函数用来控制信息的流动。

（2）梯度消失：黄色曲线为导函数。导函数有2个饱和区，易导致梯度消失， 若神经元落入到饱和区，梯度几乎为0，就无法反向传播梯度、更新权重了。

（3）破坏数据分布：由曲线图可以看出，sigmoid函数值都是大于0的，形成非0均值的数据分布。

2、双曲正切函数Tanh()—nn.Tanh

计算公式

\(\ y=\frac{sinx}{cosx}= \frac{e^x-e^{-x}\quad }{e^x+e^{-x}\quad}=\frac {2}{1+e^{-x}\quad}+1\)

梯度公式

\(\ y^{'}= 1-y^{2}\)

特性

1、输出值在(-1,1),数据分布符合0均值

2、导数范围是(0,1),易导致梯度消失


pytorch图像平均池化后还原 pytorch池化层_pytorch图像平均池化后还原_12


图12 Tanh()函数

分析
由图12可知，
（1）破坏数据分布现象有所"减缓"：蓝色曲线为输出函数，其范围为(-1,1),均值控制在0均值。
（2）梯度消失：黄色曲线为导函数，范围为()导函数仍有2个饱和区，虽然数值有所增大，但仍易导致梯度消失。

为什么上述两种激活函数都会导致梯度消失？


pytorch图像平均池化后还原 pytorch池化层_池化_13



3、线性修正单元ReLU()—nn.ReLU
为了解决sigmoid和Tanh饱和激活函数的梯度消失这一问题，就提出了线性修正单元ReLU以解决。


pytorch图像平均池化后还原 pytorch池化层_ide_14


图13 ReLU修正线性单元

计算公式

\(\ y=max(0,x)\)

梯度公式

\(\ y = \begin{cases} 1, & x > 0 \\undefined, & x=0\\0,& x<0 \end{cases}\)

特性

1、输出值均为正数，负半轴导致死神经元

2、导数是1，缓解梯度消失，但是引发梯度爆炸

分析

由图13可知，

（1）何为修正？正半轴输出函数值 \(\ y=x\)，但负半轴不再服从线性关系，输出为0，因此称为修正线性单元。

（2）导函数值：正半轴梯度为1，链式求导每次乘以1不会改变梯度尺度，不会造成梯度消失。但随着梯度不断相乘，也有可能造成梯度不断变大而造成梯度爆炸的问题。

（3）函数值：负半轴输出函数值均为0，导致死神经元现象，导致经过激活函数后没有输出。

针对负半轴死神经元而引起的一系列问题，有很多改进。

3种改进的ReLU修正线性单元
针对负半轴死神经元而引起的一系列问题，有很多改进。


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图14 3种激活函数曲线

（1）nn.LeakyReLU（negative_slope）：负半轴增加了1个很小的斜率，该斜率一旦设置就是固定的（如图所示曲线是增加了0.01的斜率）；
（2）nn.PReLU（init）：P表示斜率是可学习的参数，init用来设置可学习斜率的初始化值（如图所示初始化为0.25，随着网络的迭代更新，该斜率值是会变化的）；
（3）nn.RReLU（lower均匀分布下限/upper均匀分布上限）:R表示每一次的斜率都是随机的从1个均匀分布中采样得到的（如图绿色曲线所示，每一次斜率都有变化）。

关于激活函数可查阅：
激活函数的更多资料

总结
1、池化层：最大值池化、平均值池化、最大值反池化上采样
2、线性层：分析了如果没有非线性激活函数的加入，再多的线性层的叠加都等价于1层。
3、常用的激活函数sigmoid、Tanh,但这两类饱和激活函数会引发梯度消失，可采用非饱和激活函数ReLU进行替换，针对ReLU在负半轴导致死神经元的一系列问题，有一些变种函数。