python opencv 畸变像素坐标转世界坐标 opencv 坐标系转换

第2章 几何变换

• 本章思维导图
• 本章内容概要

• 1、几何变换算法原理介绍

• 变换形式
• 坐标系变换

• 图像坐标系与笛卡尔坐标系转换关系
• 反向映射
• 插值

• 基于OpenCV的实现

• C++

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本章思维导图

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本章内容概要

1、几何变换算法原理介绍

变换形式

在冈萨雷斯的《数字图像处理_第三版》书中的描述，仿射变换的一般形式如下：

式中的 $T$ 就是变换矩阵，其中 $(v,w)$ 为原坐标，$(x,y)$

坐标系变换

对于缩放、平移可以以图像坐标原点（图像左上角为原点） 为中心变换，这不用坐标系变换，直接按照一般形式计算即可。

对于旋转和偏移，一般是以图像中心为原点，那么这就涉及坐标系转换了。

• 图像坐标系：原点在图像左上角，水平向右为 X 轴，垂直向下为 Y 轴。
• 笛卡尔坐标系：以图像中心为原点，水平向右为 X 轴，垂直向上为 Y 轴。

因此，对于旋转和偏移，就需要3步（3次变换）：

• 将输入原图的图像坐标转换为笛卡尔坐标；
• 根据前面给出的旋转矩阵，进行旋转计算；
• 将旋转后的图像的笛卡尔坐标转回图像坐标。

图像坐标系与笛卡尔坐标系转换关系

在图像中我们的坐标系通常是AB和AC方向的,原点为A，而笛卡尔直角坐标系是DE和DF方向的，原点为D。

令图像表示为M×N的矩阵，对于点A而言，两坐标系中的坐标分别是**(0，0)和(-N/2,M/2)**，则图像某像素点 (x’,y’) 转换为笛卡尔坐标 (x,y) 转换关系为(x为列，y为行)：

$x=x^{$

$y=-y^{$

逆变换为：

$x^{$

$y^{$

于是，根据前面说的3个步骤（3次变换），旋转(顺时针旋转)的变换形式就为，3次变换就有3个矩阵：

反向映射

前向映射就是根据原图用变换公式直接算出输出图像相应像素的空间位置。
那么这会导致一个问题：可能会有多个像素坐标映射到输出图像的同一位置，也可能输出图像的某些位置完全没有相应的输入图像像素与它匹配，也就是没有被映射到，造成有规律的空洞（黑色的蜂窝状）。
更好的一种方式是采用 反向映射（Inverse Mapping）：扫描输出图像的位置(x,y)，通过 $[v,w,1]=[x,y,1]*T^{-1}$（为T的逆矩阵）计算输入图像对应的位置 (v,w)，通过插值方法决定输出图像中对应位置的灰度值。

插值

采用反向映射后，需通过插值方法决定输出图像该位置的值，因此需要选择插值算法。通常有最近邻插值、双线性插值，双三次插值等，OpenCV默认采用双线性插值。

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基于OpenCV的实现

C++

OpenCV仿射变换相关的函数一般涉及到warpAffine和getRotationMatrix2D这两个：

• OpenCV函数 warpAffine 来实现一些简单的重映射。
• OpenCV函数 getRotationMatrix2D 来获得旋转矩阵。

1、warpAffined函数详解

void boxFilter( InputArray src, OutputArray dst, int ddepth, Size ksize, Point anchor = Point(-1,-1), bool normalize = true, int borderType = BORDER_DEFAULT );

• 第一个参数，InputArray类型的src，输入图像，即源图像，填Mat类的对象即可。
• 第二个参数，OutputArray类型的dst，函数调用后的运算结果存在这里，需和源图片有一样的尺寸和类型。
• 第三个参数，InputArray类型的M，2×3的变换矩阵。
• 第四个参数，Size类型的dsize，表示输出图像的尺寸。
• 第五个参数，int类型的flags，插值方法的标识符。
  此参数有默认值INTER_LINEAR(线性插值)，可选的插值方式如下：
  INTER_NEAREST - 最近邻插值
  INTER_LINEAR - 线性插值（默认值）
  INTER_AREA - 区域插值
  INTER_CUBIC –三次样条插值
  INTER_LANCZOS4 -Lanczos插值
  CV_WARP_FILL_OUTLIERS - 填充所有输出图像的象素
  如果部分象素落在输入图像的边界外，那么它们的值设定为 fillval. CV_WARP_INVERSE_MAP –表示M为输出图像到输入图像的反变换，即 。因此可以直接用来做象素插值。否则, warpAffine函数从M矩阵得到反变换。
• 第六个参数，int类型的borderMode，边界像素模式，默认值为BORDER_CONSTANT。
• 第七个参数，const Scalar&类型的borderValue，在恒定的边界情况下取的值，默认值为Scalar()，即0。

2、getRotationMatrix2D函数详解

C++: Mat getRotationMatrix2D(Point2f center, double angle, double scale)

• 第一个参数，Point2f类型的center，表示源图像的旋转中心。
• 第二个参数，double类型的angle，旋转角度。角度为正值表示向逆时针旋转（坐标原点是左上角）。
• 第三个参数，double类型的scale，缩放系数。

代码实践：

1、旋转

#include <opencv2/opencv.hpp>
#include <iostream>

using namespace cv;
using namespace std;

    cv::Mat src = cv::imread("lenna.jpg");
	cv::Mat dst;
 
	//旋转角度
	double angle = 45;
 
	cv::Size src_sz = src.size();
	cv::Size dst_sz(src_sz.height, src_sz.width);
	int len = std::max(src.cols, src.rows);
 
	//指定旋转中心（图像中点）
	cv::Point2f center(len / 2., len / 2.);
	
	//获取旋转矩阵（2x3矩阵）
	cv::Mat rot_mat = cv::getRotationMatrix2D(center, angle, 1.0);
 
	//根据旋转矩阵进行仿射变换
	cv::warpAffine(src, dst, rot_mat, dst_sz);
 
	//显示旋转效果
	cv::imshow("image", src);
	cv::imshow("result", dst);
 
	cv::waitKey(0);
 
	return 0;

2、平移

#include <opencv2/opencv.hpp>
#include <iostream>

using namespace cv;
using namespace std;

    cv::Mat src = cv::imread("lenna.jpg");
	cv::Mat dst;
 
	cv::Size dst_sz = src.size();
	
	//定义平移矩阵
	cv::Mat t_mat =cv::Mat::zeros(2, 3, CV_32FC1);
 
	t_mat.at<float>(0, 0) = 1;
	t_mat.at<float>(0, 2) = 20; //水平平移量
	t_mat.at<float>(1, 1) = 1;
	t_mat.at<float>(1, 2) = 10; //竖直平移量
 
	//根据平移矩阵进行仿射变换
	cv::warpAffine(src, dst, t_mat, dst_sz);
 
	//显示平移效果
	cv::imshow("image", src);
	cv::imshow("result", dst);
 
	cv::waitKey(0);
 
	return 0;

进阶实现：

#include <iostream>
#include <opencv2/core.hpp>
#include <opencv2/highgui.hpp>
#include <opencv2/imgproc.hpp>
#include <math.h>
 
 
/*图像旋转（以图像中心为旋转中心）*/
void affine_trans_rotate(cv::Mat& src, cv::Mat& dst, double Angle){
	double angle = Angle*CV_PI / 180.0;
	//构造输出图像
	int dst_rows = round(fabs(src.rows * cos(angle)) + fabs(src.cols * sin(angle)));//图像高度
	int dst_cols = round(fabs(src.cols * cos(angle)) + fabs(src.rows * sin(angle)));//图像宽度
 
	if (src.channels() == 1) {
		dst = cv::Mat::zeros(dst_rows, dst_cols, CV_8UC1); //灰度图初始
	} 
	else {
		dst = cv::Mat::zeros(dst_rows, dst_cols, CV_8UC3); //RGB图初始
	}
 
	cv::Mat T1 = (cv::Mat_<double>(3,3) << 1.0,0.0,0.0 , 0.0,-1.0,0.0, -0.5*src.cols , 0.5*src.rows , 1.0); // 将原图像坐标映射到数学笛卡尔坐标
	cv::Mat T2 = (cv::Mat_<double>(3,3) << cos(angle),-sin(angle),0.0 , sin(angle), cos(angle),0.0, 0.0,0.0,1.0); //数学笛卡尔坐标下顺时针旋转的变换矩阵
	double t3[3][3] = { { 1.0, 0.0, 0.0 }, { 0.0, -1.0, 0.0 }, { 0.5*dst.cols, 0.5*dst.rows ,1.0} }; // 将数学笛卡尔坐标映射到旋转后的图像坐标
	cv::Mat T3 = cv::Mat(3.0,3.0,CV_64FC1,t3);
	cv::Mat T = T1*T2*T3;
	cv::Mat T_inv = T.inv(); // 求逆矩阵
 
	for (double i = 0.0; i < dst.rows; i++){
		for (double j = 0.0; j < dst.cols; j++){
			cv::Mat dst_coordinate = (cv::Mat_<double>(1, 3) << j, i, 1.0);
			cv::Mat src_coordinate = dst_coordinate * T_inv;
			double v = src_coordinate.at<double>(0, 0); // 原图像的横坐标，列，宽
			double w = src_coordinate.at<double>(0, 1); // 原图像的纵坐标，行，高
		//	std::cout << v << std::endl;
 
			/*双线性插值*/
			// 判断是否越界
			if (int(Angle) % 90 == 0) {
				if (v < 0) v = 0; if (v > src.cols - 1) v = src.cols - 1;
				if (w < 0) w = 0; if (w > src.rows - 1) w = src.rows - 1; //必须要加上，否则会出现边界问题
			}
 
			if (v >= 0 && w >= 0 && v <= src.cols - 1 && w <= src.rows - 1){
				int top = floor(w), bottom = ceil(w), left = floor(v), right = ceil(v); //与映射到原图坐标相邻的四个像素点的坐标
				double pw = w - top ; //pw为坐标 行 的小数部分(坐标偏差)
				double pv = v - left; //pv为坐标 列 的小数部分(坐标偏差)
				if (src.channels() == 1){
					//灰度图像
					dst.at<uchar>(i, j) = (1 - pw)*(1 - pv)*src.at<uchar>(top, left) + (1 - pw)*pv*src.at<uchar>(top, right) + pw*(1 - pv)*src.at<uchar>(bottom, left) + pw*pv*src.at<uchar>(bottom, right);
				}
				else{
					//彩色图像
					dst.at<cv::Vec3b>(i, j)[0] = (1 - pw)*(1 - pv)*src.at<cv::Vec3b>(top, left)[0] + (1 - pw)*pv*src.at<cv::Vec3b>(top, right)[0] + pw*(1 - pv)*src.at<cv::Vec3b>(bottom, left)[0] + pw*pv*src.at<cv::Vec3b>(bottom, right)[0];
					dst.at<cv::Vec3b>(i, j)[1] = (1 - pw)*(1 - pv)*src.at<cv::Vec3b>(top, left)[1] + (1 - pw)*pv*src.at<cv::Vec3b>(top, right)[1] + pw*(1 - pv)*src.at<cv::Vec3b>(bottom, left)[1] + pw*pv*src.at<cv::Vec3b>(bottom, right)[1];
					dst.at<cv::Vec3b>(i, j)[2] = (1 - pw)*(1 - pv)*src.at<cv::Vec3b>(top, left)[2] + (1 - pw)*pv*src.at<cv::Vec3b>(top, right)[2] + pw*(1 - pv)*src.at<cv::Vec3b>(bottom, left)[2] + pw*pv*src.at<cv::Vec3b>(bottom, right)[2];
				}
			}
		}
	}
}
 
/*平移变换*（以图像左顶点为原点）/
/****************************************
tx: 水平平移距离 正数向右移动 负数向左移动
ty: 垂直平移距离 正数向下移动 负数向上移动
*****************************************/
void affine_trans_translation(cv::Mat& src, cv::Mat& dst, double tx, double ty){
	//构造输出图像
	int dst_rows = src.rows;//图像高度
	int dst_cols = src.cols;//图像宽度
 
	if (src.channels() == 1) {
		dst = cv::Mat::zeros(dst_rows, dst_cols, CV_8UC1); //灰度图初始
	}
	else {
		dst = cv::Mat::zeros(dst_rows, dst_cols, CV_8UC3); //RGB图初始
	}
 
	cv::Mat T = (cv::Mat_<double>(3, 3) << 1,0,0 , 0,1,0 , tx,ty,1); //平移变换矩阵
	cv::Mat T_inv = T.inv(); // 求逆矩阵
 
	for (int i = 0; i < dst.rows; i++){
		for (int j = 0; j < dst.cols; j++){
			cv::Mat dst_coordinate = (cv::Mat_<double>(1, 3) << j, i, 1);
			cv::Mat src_coordinate = dst_coordinate * T_inv;
			double v = src_coordinate.at<double>(0, 0); // 原图像的横坐标，列，宽
			double w = src_coordinate.at<double>(0, 1); // 原图像的纵坐标，行，高
 
			/*双线性插值*/
			// 判断是否越界
 
			if (v >= 0 && w >= 0 && v <= src.cols - 1 && w <= src.rows - 1){
				int top = floor(w), bottom = ceil(w), left = floor(v), right = ceil(v); //与映射到原图坐标相邻的四个像素点的坐标
				double pw = w - top; //pw为坐标 行 的小数部分(坐标偏差)
				double pv = v - left; //pv为坐标 列 的小数部分(坐标偏差)
				if (src.channels() == 1){
					//灰度图像
					dst.at<uchar>(i, j) = (1 - pw)*(1 - pv)*src.at<uchar>(top, left) + (1 - pw)*pv*src.at<uchar>(top, right) + pw*(1 - pv)*src.at<uchar>(bottom, left) + pw*pv*src.at<uchar>(bottom, right);
				}
				else{
					//彩色图像
					dst.at<cv::Vec3b>(i, j)[0] = (1 - pw)*(1 - pv)*src.at<cv::Vec3b>(top, left)[0] + (1 - pw)*pv*src.at<cv::Vec3b>(top, right)[0] + pw*(1 - pv)*src.at<cv::Vec3b>(bottom, left)[0] + pw*pv*src.at<cv::Vec3b>(bottom, right)[0];
					dst.at<cv::Vec3b>(i, j)[1] = (1 - pw)*(1 - pv)*src.at<cv::Vec3b>(top, left)[1] + (1 - pw)*pv*src.at<cv::Vec3b>(top, right)[1] + pw*(1 - pv)*src.at<cv::Vec3b>(bottom, left)[1] + pw*pv*src.at<cv::Vec3b>(bottom, right)[1];
					dst.at<cv::Vec3b>(i, j)[2] = (1 - pw)*(1 - pv)*src.at<cv::Vec3b>(top, left)[2] + (1 - pw)*pv*src.at<cv::Vec3b>(top, right)[2] + pw*(1 - pv)*src.at<cv::Vec3b>(bottom, left)[2] + pw*pv*src.at<cv::Vec3b>(bottom, right)[2];
				}
			}
		}
	}
}
 
 
/*尺度变换*（以图像左顶点为原点）/
/***************
cx: 水平缩放尺度
cy: 垂直缩放尺度
***************/
void affine_trans_scale(cv::Mat& src, cv::Mat& dst, double cx, double cy){
	//构造输出图像
	int dst_rows = round(cy*src.rows);//图像高度
	int dst_cols = round(cx*src.cols);//图像宽度
 
	if (src.channels() == 1) {
		dst = cv::Mat::zeros(dst_rows, dst_cols, CV_8UC1); //灰度图初始
	}
	else {
		dst = cv::Mat::zeros(dst_rows, dst_cols, CV_8UC3); //RGB图初始
	}
 
	cv::Mat T = (cv::Mat_<double>(3, 3) <<cx,0,0, 0,cy,0 ,0,0,1 ); //尺度变换矩阵
	cv::Mat T_inv = T.inv(); // 求逆矩阵
 
	for (int i = 0; i < dst.rows; i++){
		for (int j = 0; j < dst.cols; j++){
			cv::Mat dst_coordinate = (cv::Mat_<double>(1, 3) << j, i, 1);
			cv::Mat src_coordinate = dst_coordinate * T_inv;
			double v = src_coordinate.at<double>(0, 0); // 原图像的横坐标，列，宽
			double w = src_coordinate.at<double>(0, 1); // 原图像的纵坐标，行，高
 
			/*双线性插值*/
			// 判断是否越界
			if (v < 0) v = 0; if (v > src.cols - 1) v = src.cols - 1;
			if (w < 0) w = 0; if (w > src.rows - 1) w = src.rows - 1; 
 
			if (v >= 0 && w >= 0 && v <= src.cols - 1 && w <= src.rows - 1){
				int top = floor(w), bottom = ceil(w), left = floor(v), right = ceil(v); //与映射到原图坐标相邻的四个像素点的坐标
				double pw = w - top; //pw为坐标 行 的小数部分(坐标偏差)
				double pv = v - left; //pv为坐标 列 的小数部分(坐标偏差)
				if (src.channels() == 1){
					//灰度图像
					dst.at<uchar>(i, j) = (1 - pw)*(1 - pv)*src.at<uchar>(top, left) + (1 - pw)*pv*src.at<uchar>(top, right) + pw*(1 - pv)*src.at<uchar>(bottom, left) + pw*pv*src.at<uchar>(bottom, right);
				}
				else{
					//彩色图像
					dst.at<cv::Vec3b>(i, j)[0] = (1 - pw)*(1 - pv)*src.at<cv::Vec3b>(top, left)[0] + (1 - pw)*pv*src.at<cv::Vec3b>(top, right)[0] + pw*(1 - pv)*src.at<cv::Vec3b>(bottom, left)[0] + pw*pv*src.at<cv::Vec3b>(bottom, right)[0];
					dst.at<cv::Vec3b>(i, j)[1] = (1 - pw)*(1 - pv)*src.at<cv::Vec3b>(top, left)[1] + (1 - pw)*pv*src.at<cv::Vec3b>(top, right)[1] + pw*(1 - pv)*src.at<cv::Vec3b>(bottom, left)[1] + pw*pv*src.at<cv::Vec3b>(bottom, right)[1];
					dst.at<cv::Vec3b>(i, j)[2] = (1 - pw)*(1 - pv)*src.at<cv::Vec3b>(top, left)[2] + (1 - pw)*pv*src.at<cv::Vec3b>(top, right)[2] + pw*(1 - pv)*src.at<cv::Vec3b>(bottom, left)[2] + pw*pv*src.at<cv::Vec3b>(bottom, right)[2];
				}
			}
		}
	}
}
 
/*偏移变换*（以图像中心为偏移中心）/
/***************************************
sx: 水平偏移尺度 正数向左偏移 负数向右偏移
sy: 垂直偏移尺度 正数向上偏移 负数向下偏移
****************************************/
void affine_trans_deviation(cv::Mat& src, cv::Mat& dst, double sx, double sy){
	//构造输出图像
	int dst_rows = fabs(sy)*src.cols + src.rows;//图像高度
	int dst_cols = fabs(sx)*src.rows + src.cols;//图像宽度
 
	if (src.channels() == 1) {
		dst = cv::Mat::zeros(dst_rows, dst_cols, CV_8UC1); //灰度图初始
	}
	else {
		dst = cv::Mat::zeros(dst_rows, dst_cols, CV_8UC3); //RGB图初始
	}
 
	cv::Mat T1 = (cv::Mat_<double>(3, 3) << 1, 0, 0, 0, -1, 0, -0.5*src.cols, 0.5*src.rows, 1); // 将原图像坐标映射到数学笛卡尔坐标
	cv::Mat T2 = (cv::Mat_<double>(3, 3) << 1,sy,0, sx,1,0, 0,0,1); //数学笛卡尔坐标偏移变换矩阵
	double t3[3][3] = { { 1, 0, 0 }, { 0, -1, 0 }, { 0.5*dst.cols, 0.5*dst.rows, 1 } }; // 将数学笛卡尔坐标映射到旋转后的图像坐标
	cv::Mat T3 = cv::Mat(3, 3, CV_64FC1, t3);
	cv::Mat T = T1*T2*T3;
	cv::Mat T_inv = T.inv(); // 求逆矩阵
 
	for (int i = 0; i < dst.rows; i++){
		for (int j = 0; j < dst.cols; j++){
			cv::Mat dst_coordinate = (cv::Mat_<double>(1, 3) << j, i, 1);
			cv::Mat src_coordinate = dst_coordinate * T_inv;
			double v = src_coordinate.at<double>(0, 0); // 原图像的横坐标，列，宽
			double w = src_coordinate.at<double>(0, 1); // 原图像的纵坐标，行，高
 
			/*双线性插值*/
			// 判断是否越界
 
			if (v >= 0 && w >= 0 && v <= src.cols - 1 && w <= src.rows - 1){
				int top = floor(w), bottom = ceil(w), left = floor(v), right = ceil(v); //与映射到原图坐标相邻的四个像素点的坐标
				double pw = w - top; //pw为坐标 行 的小数部分(坐标偏差)
				double pv = v - left; //pv为坐标 列 的小数部分(坐标偏差)
				if (src.channels() == 1){
					//灰度图像
					dst.at<uchar>(i, j) = (1 - pw)*(1 - pv)*src.at<uchar>(top, left) + (1 - pw)*pv*src.at<uchar>(top, right) + pw*(1 - pv)*src.at<uchar>(bottom, left) + pw*pv*src.at<uchar>(bottom, right);
				}
				else{
					//彩色图像
					dst.at<cv::Vec3b>(i, j)[0] = (1 - pw)*(1 - pv)*src.at<cv::Vec3b>(top, left)[0] + (1 - pw)*pv*src.at<cv::Vec3b>(top, right)[0] + pw*(1 - pv)*src.at<cv::Vec3b>(bottom, left)[0] + pw*pv*src.at<cv::Vec3b>(bottom, right)[0];
					dst.at<cv::Vec3b>(i, j)[1] = (1 - pw)*(1 - pv)*src.at<cv::Vec3b>(top, left)[1] + (1 - pw)*pv*src.at<cv::Vec3b>(top, right)[1] + pw*(1 - pv)*src.at<cv::Vec3b>(bottom, left)[1] + pw*pv*src.at<cv::Vec3b>(bottom, right)[1];
					dst.at<cv::Vec3b>(i, j)[2] = (1 - pw)*(1 - pv)*src.at<cv::Vec3b>(top, left)[2] + (1 - pw)*pv*src.at<cv::Vec3b>(top, right)[2] + pw*(1 - pv)*src.at<cv::Vec3b>(bottom, left)[2] + pw*pv*src.at<cv::Vec3b>(bottom, right)[2];
				}
			}
		}
	}
}
 
/*组合变换*/
/*变换顺序：缩放->旋转—>偏移*/
void affine_trans_comb(cv::Mat& src, cv::Mat& dst, double cx, double cy, double Angle, double sx, double sy){
	double angle = Angle*CV_PI / 180;
	//构造输出图像
	int dst_s_rows = round(cy*src.rows);//尺度变换后图像高度
	int dst_s_cols = round(cx*src.cols);//尺度变换后图像宽度
 
	int dst_sr_rows = round(fabs(dst_s_rows * cos(angle)) + fabs(dst_s_cols * sin(angle)));//再经过旋转后图像高度
	int dst_sr_cols = round(fabs(dst_s_cols * cos(angle)) + fabs(dst_s_rows * sin(angle)));//再经过旋转后图像宽度
 
	int dst_srd_rows = fabs(sy)*dst_sr_cols + dst_sr_rows;//最后经过偏移后图像高度
    int dst_srd_cols = fabs(sx)*dst_sr_rows + dst_sr_cols;//最后经过偏移后图像宽度
 
 
	if (src.channels() == 1) {
 
		dst = cv::Mat::zeros(dst_srd_rows, dst_srd_cols, CV_8UC1); //灰度图初始
	}
	else {
		dst = cv::Mat::zeros(dst_srd_rows, dst_srd_cols, CV_8UC3); //RGB图初始
	}
 
	cv::Mat T1 = (cv::Mat_<double>(3, 3) << cx, 0, 0, 0, cy, 0, 0, 0, 1); //尺度变换矩阵
 
	cv::Mat T21 = (cv::Mat_<double>(3, 3) << 1, 0, 0, 0, -1, 0, -0.5*dst_s_cols, 0.5*dst_s_rows, 1); // 将尺度变换后的图像坐标映射到数学笛卡尔坐标
	cv::Mat T22 = (cv::Mat_<double>(3, 3) << cos(angle), -sin(angle), 0, sin(angle), cos(angle), 0, 0, 0, 1); //数学笛卡尔坐标下顺时针旋转的变换矩阵
	cv::Mat T2 = T21*T22;// 这里不需要转回图像坐标了，因为下面的偏移变换是在笛卡尔坐标下进行的
 
	cv::Mat T32 = (cv::Mat_<double>(3, 3) << 1, sy, 0, sx, 1, 0, 0, 0, 1); //数学笛卡尔坐标偏移变换矩阵
	double t33[3][3] = { { 1, 0, 0 }, { 0, -1, 0 }, { 0.5*dst.cols, 0.5*dst.rows, 1 } }; // 将数学笛卡尔坐标映射到偏移后的图像坐标
	cv::Mat T33 = cv::Mat(3, 3, CV_64FC1, t33);
	cv::Mat T3 = T32*T33;
 
	cv::Mat T = T1*T2*T3; //矩阵相乘按照组合变换的顺序
	cv::Mat T_inv = T.inv(); // 求逆矩阵
 
	for (int i = 0; i < dst.rows; i++){
		for (int j = 0; j < dst.cols; j++){
			cv::Mat dst_coordinate = (cv::Mat_<double>(1, 3) << j, i, 1);
			cv::Mat src_coordinate = dst_coordinate * T_inv;
			double v = src_coordinate.at<double>(0, 0); // 原图像的横坐标，列，宽
			double w = src_coordinate.at<double>(0, 1); // 原图像的纵坐标，行，高
 
			/*双线性插值*/
			// 判断是否越界
			if (int(Angle) % 90 == 0) {
				if (v < 0) v = 0; if (v > src.cols - 1) v = src.cols - 1;
				if (w < 0) w = 0; if (w > src.rows - 1) w = src.rows - 1; //必须要加上，否则会出现边界问题
			}
 
			if (v >= 0 && w >= 0 && v <= src.cols - 1 && w <= src.rows - 1){
				int top = floor(w), bottom = ceil(w), left = floor(v), right = ceil(v); //与映射到原图坐标相邻的四个像素点的坐标
				double pw = w - top; //pw为坐标 行 的小数部分(坐标偏差)
				double pv = v - left; //pv为坐标 列 的小数部分(坐标偏差)
				if (src.channels() == 1){
					//灰度图像
					dst.at<uchar>(i, j) = (1 - pw)*(1 - pv)*src.at<uchar>(top, left) + (1 - pw)*pv*src.at<uchar>(top, right) + pw*(1 - pv)*src.at<uchar>(bottom, left) + pw*pv*src.at<uchar>(bottom, right);
				}
				else{
					//彩色图像
					dst.at<cv::Vec3b>(i, j)[0] = (1 - pw)*(1 - pv)*src.at<cv::Vec3b>(top, left)[0] + (1 - pw)*pv*src.at<cv::Vec3b>(top, right)[0] + pw*(1 - pv)*src.at<cv::Vec3b>(bottom, left)[0] + pw*pv*src.at<cv::Vec3b>(bottom, right)[0];
					dst.at<cv::Vec3b>(i, j)[1] = (1 - pw)*(1 - pv)*src.at<cv::Vec3b>(top, left)[1] + (1 - pw)*pv*src.at<cv::Vec3b>(top, right)[1] + pw*(1 - pv)*src.at<cv::Vec3b>(bottom, left)[1] + pw*pv*src.at<cv::Vec3b>(bottom, right)[1];
					dst.at<cv::Vec3b>(i, j)[2] = (1 - pw)*(1 - pv)*src.at<cv::Vec3b>(top, left)[2] + (1 - pw)*pv*src.at<cv::Vec3b>(top, right)[2] + pw*(1 - pv)*src.at<cv::Vec3b>(bottom, left)[2] + pw*pv*src.at<cv::Vec3b>(bottom, right)[2];
				}
			}
		}
	}
}
 
 
int main(){
	cv::Mat src = cv::imread("I:\\Learning-and-Practice\\2019Change\\Image process algorithm\\Img\\5.bmp");
	cvtColor(src, src, CV_BGR2GRAY);
	if (src.empty()){
		std::cout << "Failure to load image..." << std::endl;
		return -1;
	}
	cv::Mat dst;
	double angle =250;  //旋转角度
	double tx = 50, ty = -50; //平移距离
	double cx =1.5, cy = 1.5; //缩放尺度
	double sx = 0.2, sy =0.2; //偏移尺度
 
	//affine_trans_rotate(src, dst, angle); //旋转
 
	//affine_trans_translation(src, dst, tx,ty); //平移
 
	//affine_trans_scale(src, dst, cx, cy);  //尺度缩放
 
    //affine_trans_deviation(src, dst, sx, sy); //偏移
 
	affine_trans_comb(src, dst, cx,  cy, angle, sx,  sy); // 缩放->旋转—>偏移
 
	//cv::imwrite("result.jpg", dst);
	cv::namedWindow("src");
	cv::imshow("src", src);
	cv::namedWindow("dst",CV_WINDOW_NORMAL);
	cv::imshow("dst", dst);
	cv::waitKey(0);
}

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