如何快速判断一个整数是否可以整除另一个整数的理论分析

 

    可能大家在小数初中的时候都知道一些快速判断一个数能被特殊的数整除的方法，如：

如果一个数的所有数字之和能被3整除，则这个数能被3整除；

如果一个数的个位为0或5，则这个数能被5整除；

如果一个数的所有数字之和能被9整除，则这个数能被9整除；

如果一个数所有奇数位的数字相加减去所有偶数位的数字后的值能被11整除，那么这个数能被11整除；

.....

但是如何快速判断一个数能被7整除呢？本文进行了被整除的理论深入分析。

 

设x和m是一个自然数：

x=xn …. x3 x2 x1

 

x1为x的个位， x2为x的十位， x3为x的百位， xn为x的N位

 

如x=2368，则x1=8,x2=6,x3=3,x4=2

 

则有如下公式：

x%m=( x1 +101%m*x2+102%m*x3+……+10n-1%m*xn)%m

 

其中%表示求余数的符号

 

公式证明

依据余数的两个定理

(m+n)%k=(m%k+n%k)%k（结合率）

 

(m*n)%k=((m%k)*n)%k （交换率）

 

则 x%m

= (x1 + x2*10 + x3*102 +xn*10n-1)%m

= (x1%m+ x2*10%m+ x3*102%m +xn*10n-1%m)%m

= (x1%m+ (10%m*x2)%m + (102%m*x3)%m +(10n-1%m*xn)%m)%m

= (x1 + 10%m*x2+ 102%m*x3 +10n-1%m*xn)%m

 

所以公式得证

 

举例：

如果一个数的所有数字之和能被3整除，则这个数能被3整除

10%3=1,100%3=1,1000%3=1.....10n%3=1

x%3=(x1 + x2+ x3 +......+xn)%3

 

如果一个数的个位数能被5整除，则这个数能被5整除，也就是说个位为0或5的数都能被 5整除

 

10%5=0,100%5=0,1000%5=0.....10n%5=0

x%5=x1%5

 

如果一个数的个位数加10位数的2倍加上百位数的4倍能被8整除，则这个数能被8整除

 

10%8=2,100%8=4,1000%8=0.....10n%8=0

x%8=(x1 + 2x2+ 4x3)%8

 

如果一个数的所有数字之和能被9整除，则这个数能被9整除

10%9=1,100%9=1,1000%9=1.....10n%9=1

x%9=(x1 + x2+ x3 +......+xn)%9

 

 

对于7这个数比较麻烦，用语言不好直接描述了，大家看公式就知道了

10 %7=3,102%7=2,103%7=6,104%7=4,105%7=5,106%7=1,

107%7=3,108%7=2.....

 

x%7=(x1 + 3x2+ 2x3+ 6x4+ 4x5+ 5x6+ x7+......)%7

也可写为

x%7= (x1 + 3x2+ 2x3 - x4 - 3x5 - 2x6+ x7+......)%7

例：

567%7=(7+3*6+2*5)%7=(7+18+10)%7=35%7=0

所以567%7=0

 

如果一个数所有奇数位的数字相加减去所有偶数位的数字后的值能被11整除，那么这个数能被11整除

 

10 %11=10,102%11=1,103%11=10,104%11=1.....

x%11=(x1 + 10x2+ x3+ 10x4+ x5+ 10x6+ x7+......)%11

x%11=(x1 - x2+ x3 - x4+ x5 - x6+ x7+......)%11

 

715%11=(7-1+5)%11=11%11=0

3454%11=(3-4+5-4)%11=0%11=0

 

再举一个特殊的数37

公式也不好用语言描述，但是公式比较简单

 

10 %37=10,102%37=26,103%37=1,

104%37=10,105%37=26,106%37=1

107%37=10,108%37=26,109%37=1.....

 

x%37=(x1 + 10x2+ 26x3+ x4+ 10x5+ 26x6+ x7+......)%37

x%37=(x1 + 10x2 - 11x3+ x4+ 10x5 - 11x6+ x7+......)%37

 

2368%37=(8+6*10-3*11+2)%37=37%37=0

最后感慨说一句：围绕概念理解问题，像绕口令一样绕到现在才算彻底理解。

除数和被除数的概念，除和除以的区别。

一般除式用中文表达如，“14➗2”读作“十四除以二”，除号前面的是“被除数”，除号后面的是“除数”。也可以这么理解14可以被2分割开来——2除14，2是一小块蛋糕而14是一大块蛋糕。

整除的概念：


若 整数 a除以非零整数b， 商 为整数，且 余数 [1]    为零， 我们就说a能被b整除（或说b能整除a），a为被除数，b为除数，即b|a（“|”是整除符号），读作“b整除a”或“a能被b整除”。a叫做b的倍数，b叫做a的约数（或因数）。整除属于 除尽 的一种特殊情况。