下三角java 下三角行列式怎么计算

Part1:几种特殊的行列式

\(1.\)上三角行列式:

$\[D=\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\ 0&a_{22}&\dots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\dots&a_{nn} \end{vmatrix} \]$

称为上三角行列式,即主对角线下均为\(0\)的行列式,其值等于

\[D=\prod_{i=1}^n a_{ii} \]

即主对角线上元素的乘积.

\(2.\)下三角行列式:

$\[D=\begin{vmatrix} a_{11}&0&\dots&0\\ a_{21}&a_{22}&\dots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn} \end{vmatrix} \]$

称为下三角行列式,即主对角线上均为\(0\)的行列式,其值等于

$\[D=\prod_{i=1}^n a_{ii} \]$

与上三角行列式相等.

\(3.\)次对角线行列式:

$\[D=\begin{vmatrix} 0&\dots&0&a_{1n}\\ 0&\dots&a_{2(n-1)}&a_{2n}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ a_{n1}&\dots&a_{n(n-1)}&a_{nn} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_{11}&\dots&a_{1(n-1)}&a_{1n}\\ 0&\dots&a_{2(n-1)}&a_{2n}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 0&\dots&0&a_{nn} \end{vmatrix} \]$

称为次对角线行列式,其值都等于

$\[D=(-1)^{\frac{n(n-1)}2}\prod_{i=1}^n a_{ii} \]$

\(4.\)范德蒙德行列式:

$\[D=\begin{vmatrix} 1&1&\dots&1\\ a_1&a_2&\dots&a_n\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_1^n&a_2^n&\dots&a_n^n \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1&a_1&\dots&a_1^n\\ 1&a_2&\dots&a_2^n\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 1&a_n&\dots&a_n^n \end{vmatrix} \]$

称为范德蒙德(Vandermonde)行列式,其值等于:

\[D=\prod_{1\le j<i\le n}(a_i-a_j) \]

范氏行列式的一个重要运用就是多项式中的Lagrange插值公式.

Part2:行列式的性质

\(1.\)行列式等于它的转置.所谓转置是指,

$\[D^T=\det (a_{ji})=\begin{vmatrix} a_{11}&a_{21}&\dots&a_{n1}\\ a_{12}&a_{22}&\dots&a_{n2}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{1n}&a_{2n}&\dots&a_{nn} \end{vmatrix}=D. \]$

\(2.\)交换行列式的不相等的两行(列),行列式变号.我们把交换第\(i,j(i\ne j)\)行(列)的操作记作\(r_i\leftrightarrow r_j\)(\(c_i\leftrightarrow c_j\)).

\(3.\)将行列式的一行(列)乘以\(k\),整个行列式乘以\(k\).我们把将第\(i\)行(列)乘以\(k\)的操作记作\(r_i\times k\)(\(c_i\times k\)).

推论1: 行列式的一行全为\(0\),行列式等于\(0\).

推论2: 行列式某一行的公因子可以提到行列式外面.

\(4.\)把行列式的某行(列)元素的\(k\)倍,加到行列式的另一行(列)上,行列式不变.我们把将第\(i\)行(列)的\(k\)倍加到第\(j(i\ne j)\)行(列)的操作记作\(r_j+r_i\times k\)(\(c_j+c_i\times k\)).

推论3: 行列式的两行对应成比例,行列式等于\(0\).

上面的\(2,3,4\)性质称为行列式的行变换性质.

\(5.\)行列式的某行(列)的每个元素可以表示成两数的和,则行列式等于两个加数对应的替换该行(列)的行列式之和.如,设

$\[D=\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\dots&a_{nn}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ b_{i1}+c_{i1}&b_{i2}+c_{i2}&\dots&b_{in}+c_{in}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn} \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\dots&a_{nn}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ b_{i1}&b_{i2}&\dots&b_{in}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\dots&a_{nn}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ c_{i1}&c_{i2}&\dots&c_{in}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn} \end{vmatrix} \]$

有了这些性质(主要是性质\(4\)),我们就可以把行列式转化为已知的行列式类型(大多数为三角行列式),快速求值.这种方法的本质是Gauss消元(Gaussian elimination).

Part3:Gauss消元求行列式

栗子:求

$\[D=\begin{vmatrix} 2&-1&3\\ 4&2&5\\ 2&0&2 \end{vmatrix} \]$

解:

$\[\begin{align} D&{\xlongequal{r_2+r_1\times -2}} \begin{vmatrix} 2&-1&3\\ 0&4&-1\\ 2&0&2 \end{vmatrix}\\ &{\xlongequal{r_3+r_1\times (-1)}} \begin{vmatrix} 2&-1&3\\ 0&4&-1\\ 0&1&-1 \end{vmatrix}\\ &{\xlongequal{r_2\leftrightarrow r_3}}- \begin{vmatrix} 2&-1&3\\ 0&1&-1\\ 0&4&-1 \end{vmatrix}\\ &{\xlongequal{r_3+r_2\times (-4)}}- \begin{vmatrix} 2&-1&3\\ 0&1&-1\\ 0&0&3 \end{vmatrix}\\ &=-(2\times1\times3)=-6. \end{align} \]$

Gauss消元算法是\(O(n^3)\)的.运用熟练之后,是非常快的行列式求值方法.

本文完

The man who follow the shadow is just the shadow itself.