在地学中，PCA和EOF通常用于信号提取，从繁杂的时空数据中分离出地理要素的时空变化特征，是进行地学信号分析的前提。本质上PCA和EOF没有什么不同，只是：EOF为空间特征向量，也称为空间模态，在一定程度上反映了要素场的空间分布特点；PC（主成分）对应时间变化，也称为时间系数，反映相应空间模态（EOF）随时间的权重变化。简而言之，二者是利用经验正交分解过程中的两个重要元素。

下面我略过基本概念的介绍，直接给出一个Matlab进行EOF分解的示例代码：

1.加载数据

% Load sample data:
load pacific_sst.mat
% Calculate the first EOF of sea surface temperatures and its
% principal component time series:
[eofmap,pc] = eof(sst,1);
% Plot the first EOF map:
imagescn(lon,lat,eofmap);
axis xy image off
% Optional: Use a cmocean colormap:
cmocean('delta','pivot',0)

得到的是海温数据集的第一个EOF

CEEmd分解matlab matlab eof分解_开发语言

但由于我们没有去掉季节周期，第一个EOF主要代表季节变化。作为上述模式与季节周期相关的证据，看看相应的主成分时间序列。

figure
anomaly(t,pc)
axis tight
xlim([datenum('jan 1, 1990') datenum('jan 1, 1995')])
datetick('x','keeplimits')

 

CEEmd分解matlab matlab eof分解_开发语言_02

2. 计算平均的海洋温度数据，并展示多年的平均温度

figure
imagescn(lon,lat,mean(sst,3));
axis xy off
cb = colorbar;
ylabel(cb,' mean temperature {\circ}C ')
cmocean thermal

 

CEEmd分解matlab matlab eof分解_开发语言_03

3. 计算1950年至2016年的线性变化趋势，请确保将趋势乘以10*365.25，以将每天的度数转换为每十年的度数:

CEEmd分解matlab matlab eof分解_CEEmd分解matlab_04

为了移除季节项和趋势项对异常信号的影响，我们接下来对数据进行去趋势和去周期处理

sst = detrend3(sst,t);
sst = deseason(sst,t);

所以现在我们的海温数据已经去趋势化了，均值被去除了，季节周期也被去除了。海温中剩下的都是异常现象——变化的东西，但不是长期趋势或短期年度周期。这是我们海温异常数据集的剩余方差:

CEEmd分解matlab matlab eof分解_模态_05

4. 接着计算EOF前三个模态

 

figure
subsubplot(3,1,1)
plot(t,pc(1,:))
box off
axis tight
ylabel 'pc1'
title 'The first three principal components'

subsubplot(3,1,2)
plot(t,pc(2,:))
box off
axis tight
set(gca,'yaxislocation','right')
ylabel 'pc2'

subsubplot(3,1,3)
plot(t,pc(3,:))
box off
axis tight
ylabel 'pc3'
datetick('x','keeplimits')

CEEmd分解matlab matlab eof分解_CEEmd分解matlab_06

5. El Niño南方涛动(ENSO)时间序列，果然，有记录以来最强的厄尔尼诺现象发生在1982-1983年、1997-1998年和2014-2016年。

figure('pos',[100 100 600 250])
anomaly(t,-pc(1,:),'topcolor',rgb('bubblegum'),...
   'bottomcolor',rgb('periwinkle blue')) % First principal component is enso
box off
axis tight
datetick('x','keeplimits')
text([724316 729713 736290],[.95 .99 .81],'El Nino','horiz','center')

 

CEEmd分解matlab matlab eof分解_模态_07

有时我们听说厄尔尼诺现象的特征频率是每5年一次，或者5到7年一次，有时你听说是每2到7年一次。在时间序列中很难看到这一点，所以我们用plotpsd绘制频域的第一个主成分，指定每年12个样本的采样频率，绘制在log x轴上，x值以lambda(年)为单位，而不是频率:

 

figure
plotpsd(pc(1,:),12,'logx','lambda')
xlabel 'periodicity (years)'
set(gca,'xtick',[1:7 33])

CEEmd分解matlab matlab eof分解_CEEmd分解matlab_08

下面是前6个模态的空间分布：

s = [-1 1 -1 1 -1 1]; % (sign multiplier to match Messie and Chavez 2011)

figure('pos',[100 100 500 700])
for k = 1:6
   subplot(3,2,k)
   imagescn(lon,lat,eof_maps(:,:,k)*s(k));
   axis xy off
   title(['Mode ',num2str(k),' (',num2str(expv(k),'%0.1f'),'%)'])
   caxis([-2 2])
end

colormap jet

 

CEEmd分解matlab matlab eof分解_模态_09

在任何给定时间，通过绘制上图所示的模态1的图，乘以其对应的主成分(向量pc(1，:)))，都可以获得与ENSO相关的海面温度异常的快照。同样地，你可以通过将所有EOF图加起来，再乘以当时对应的主成分，得到给定时间内全球海面温度异常的图像。通过这种方式，我们可以建立一个越来越完整的海温异常电影，因为我们包括越来越多的变率模态。

例如，在特定时间内，与前三个变率模态相关的海温异常图可以通过将每个模态的eof图相加，乘以相应的pc值来获得。这样计算90年代的总和:

 

% Indices of start and end dates for the movie:
startind = find(t>=datenum('jan 1, 1990'),1,'first');
endind = find(t<=datenum('dec 31, 1999'),1,'last');
% A map of SST anomalies from first three modes at start:
map = eof_maps(:,:,1)*pc(1,startind) + ... % Mode 1, Jan 1990
      eof_maps(:,:,2)*pc(2,startind) + ... % Mode 2, Jan 1990
      eof_maps(:,:,3)*pc(3,startind);      % Mode 3, Jan 1990
sst_f = reof(eof_maps,pc,1:3);
ind_1990s = 481:3:600; % (every third value to cut down on gif size)
figure
h = imagescn(sst_f(:,:,ind_1990s(1)));
caxis([-2 2])
cmocean balance
cb = colorbar;
ylabel(cb,'temperature anomaly (modes 1-3)')
title(datestr(t(ind_1990s(1)),'yyyy'))
gif('SSTs_1990s.gif','frame',gcf) % writes the first frame
for k = 2:length(ind_1990s)
   h.CData = sst_f(:,:,ind_1990s(k));
   title(datestr(t(ind_1990s(k)),'yyyy'))
   gif % adds this frame to the gif
end

参考资料：


  1. Messié, Monique, and Francisco Chavez. "Global modes of sea surface temperature variability in relation to regional climate indices." Journal of Climate 24.16 (2011): 4314-4331. doi:10.1175/2011JCLI3941.1.
  2. Rayner, N. A., Parker, D. E., Horton, E. B., Folland, C. K., Alexander, L. V., Rowell, D. P., Kent, E. C., Kaplan, A. (2003). Global analyses of sea surface temperature, sea ice, and night marine air temperature since the late nineteenth century. J. Geophys. Res.Vol. 108, No. D14, 4407 doi:10.1029/2002JD002670.
  3. Thyng, K.M., C.A. Greene, R.D. Hetland, H.M. Zimmerle, and S.F. DiMarco. 2016. True colors of oceanography: Guidelines for effective and accurate colormap selection. Oceanography 29(3):9-13, doi:10.5670/oceanog.2016.66.