蒙特卡罗树搜索
AlphaGo火极一时，最近还出了新版本AlphaGo Zero，而我甚至对原版的AlphaGo v13还不甚了解。在查阅了一些博客、论文和代码之后，大致了解了AlphaGo的基本组成，蒙特卡罗树搜索MCST正是最核心的框架，它连接了AlphaGo的其他组件，构成了完整的系统。本篇是我对MCST的一些理解，当然包含部分搬运，旨在记录和总结备用。
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数据结构
首先，顾名思义MCST是一棵树，但并非二叉树，实际上MCST每个结点的度（最多能有多少个儿子）都不同。MCST每一层对应于博弈双方的其中一个，而且是交替的。
其次，MCST的结点代表着一种游戏状态（下称state），在围棋中一个结点对应于一个棋面，在OXO游戏中一个结点对应于一个板面。父结点的state在一次操作（下称action）之后，变成子结点的state，每一个子结点对应着对手操作的一种可能性。任意一个结点都有三种可能的情况：
- 结点没有可拓展操作
- 结点还有可拓展操作
- 结点对应着对决终结
什么叫做“有可拓展操作”？对于任何一个state，拓展即“假设对手会这么做”，“有可拓展操作”就表示“还没模拟过这么做”，“没有可拓展操作”表示“已经考虑过所有的可能性”。
下面用图描述OXO游戏的MCST数据结构。第一幅图中，蓝和黄分别表示游戏双方，结点上显示了对应的state，以及两个数字W/V，其中W表示胜局次数，V表示模拟次数（他们怎么来的后面会说）。显然在蓝方落子之后，正中央已不可能落子，黄方仍有8种落子的可能性，图中只给出了三种，是因为10次模拟中只尝试了这三种（什么是模拟后面会说）。第一幅图的所有结点，都属于仍有可拓展操作的情况（情况二），蓝结点仍有9-1-3=5种操作未曾探索，三个黄结点各仍有9-2=7种操作未曾探索。
结点上的数字分别是W（赢的次数）和V（模拟次数），例如蓝结点被遍历了10次，或者说基于蓝结点的模拟进行了10次，蓝方胜利的次数为6，另一方面，黄结点1/3表明该结点被遍历3次，黄方胜利1次。注意所有黄色结点上W之和不等于蓝结点的W，这是因为各层结点都对应着对局其中一方的落子，胜利是站在当前落子方的角度而言的，图例从蓝方的角度出发，10次模拟中蓝方赢了6次，相对地，下一步黄方落子，三种落子方案下黄方分别赢了1次、1次、3次共4次，等价于蓝方赢了6次。
第二幅图中，蓝结点属于没有可拓展操作的情况（情况一），因为它的三个子结点分别模拟了剩余的三种落子情况。三个黄结点则各仍有2种操作未曾探索（情况二）。在第三幅图中，蓝结点属于情况一，因为它的儿子模拟了唯一可能的落子，而黄结点的state正好对应着游戏终局（情况三，当然也属于情况二），黄方赢了。第四幅图描述了没有到达无子可落的局面就分出胜负的情况，蓝结点属于情况二，黄结点属于情况二和情况三，黄方赢了（蓝方太蠢）。
基本步骤
首先对MCTS的四个步骤给出基本的描述：
- Selection 从根结点开始，选择评分最高的儿子，直到当前结点的下一可能性还没完全被探索，或已抵达对局结束。
- Expansion 对于所选路径的叶结点，随机展开一个或多个操作action结点。
- Simulation 基于action进行快速对局模拟到对局结束。
- BackPropagation 根据模拟胜负结果，自action结点至根结点，回溯更新路径上结点的信息。
对局举例
- Selection. Selection是一次从根到叶子遍历路径的过程，它有两个要点，第一，选择是有条件的，第二，选择是有规则的。首先，如果当前结点的不可继续拓展，且不对应于对决终局，才可继续选择。例如图中假设结点A、B的下一步操作都已被充分探索，C结点没有进行过拓展，所以最多到达C为止（见红色箭头）。其次，可以看出对决交替进行中，轮到任意一方时，它都会优先选择自己所有可行操作中赢面最高的一种。例如，在第二层轮到黄方行动，黄方经过之前的模拟已经尝试过了所有可能的操作，于是它根据之前模拟的胜率，选择了B对应的操作，接着轮到蓝方，按照相同的规则，蓝方选择了C对应的操作。可以看到，双方都在根据自己的模拟实验，确定并选择当前对自己最有利的做法。实际上“赢面”是由UCB公式决定：$$score=\frac{W_{child}}{V_{child}}+C\cdot \log \frac{V_{parent}}{1+V_{child}}$$
- Expansion. Expansion是在一个仍有探索空间的结点上随机进行一次操作选择的过程，对应到树结构中就是尝试添加一个叶子结点。例如在蓝方选择C操作之后，黄方还没有进行过任何模拟，于是随机选择一个位置落子（操作D），此时D上数字应标0/0，表示未曾遍历也没有胜局。
- Simulation. Simulation基于Expansion中选择的操作，进行快速走子模拟对局直到游戏结束。具体地，黄蓝交替完全随机落子，假设到对局结束时黄方获得了胜利。
- BackPropagation. BackPropagation是从Expansion的操作开始往根结点回溯的过程。在例子中，基于D的模拟结果是黄方取胜，因此按照路径D-C-B-A回溯，所有结点的遍历次数V加一，黄结点的胜局次数W加一。若模拟结果是蓝方取胜，则回溯中蓝结点胜局次数W加一。
任意一方落子时，都是一个决策的过程，有如下几个细节有助于理解整个过程：
- 一次决策（决定在何处落子）需要进行若干次（可能上百万次）迭代，每次迭代都以当前对局棋面为根结点，通过以上四个步骤进行一次模拟，多次迭代众多模拟提供了决策的参考，最终根据评分函数选择一个最有利的位置落子。
- 可以一边对决一边模拟，也可以预先进行过充分地模拟再进行对局。前者的开局可能对应于MCTS中一个完全没拓展探索过的根结点，于是在每次决策前都要进行相当充分的模拟，时间消耗大。后者的开局可能对应于一棵相当宽而深的数，极端情况下它在对决前模拟过所有对局情况。
- 一个预先进行充分训练（模拟）过的AI，可以从任意棋面开始对决，只需要以当前棋面为根结点进行搜索。
- 对决双方可以是同一个AI，但实际上真正使得AI进步的实际上是模拟次数，极端地，对于任意一种棋面state，AI都对未来的所有可能性进行过模拟（完全遍历），从而选出当前对自己最有利的操作。
- 简单的游戏由于操作的可能性少，因此可以通过遍历模拟所有对局情况，例如OXO的MCST最深能达到9层，对应于state满了的情况。围棋这样有19*19=361个落子点可能达到361层，短时间遍历所有对局显然是不可能的。
个人认为，MCTS提供了一种规避完全遍历而通过多次模拟获得次优解的方法。知乎某答案描述了一个黑箱子取苹果的问题，箱子中有n个苹果，要求取出最大的那个。于是我可以这样取苹果：先取出一个苹果，然后以后每次取苹果都比较一下，把小的那个放回去。于是经历m次之后我拿到了一个苹果，即使它可能不是最大的（最优解），但也比我之前拿到的都大（次优解）。这个比喻可能跟下棋的情况不太一样，但有助于理解。
AlphaGo
AlphaGo v13的基本原理不在这里过多叙述，只描述它是如何用MCTS将各个组件连接起来的。
AlphaGo的基本组件有四个，他们都是DCNN，包括一个基于SL（Supervised Learning）的策略网络 Policy Network，一个基于SL的快速走子网络 Rollout Network，一个基于RL（Reinforcement Learning）的策略网络，以及一个价值网络 Value Network。AlphaGo的MCTS的结点储存三个变量，评分Q值、遍历次数N和先验概率P。
如图，MCTS的四步骤为：
- Selection。倾向于选择Q值大，赢面高（P大）和遍历次数较少的action。此处的P实际上是SL模型提供的概率$P_{\sigma}(a|s)$，而Q值正比于模拟评分。具体根据：$$a_t=arg\max_a (Q(s_t,a)+u(s_t,a))=arg\max_a (Q(s_t,a)+C\cdot \frac{P(s,a)}{1+N(s,a)})$$
- Expansion。随机选择一个落子位置，由SL决定结点上的先验概率P。
- Simulation&Evaluation。相比于普通的MCTS，此处增加了一个Evaluation，这是因为普通的MCTS直接以胜负（1或0）回溯更新。AlphaGo除了模拟胜负，还引入RL网络和价值网络进行评分，Value Network与RL有相似的网络结构和相同的参数，单值输出对决一方的胜率，s表示state，$V_{\theta}(s)$ 是价值网络输出，z是模拟的输赢（0或1）。最终评分公式为：$$V(s)=(1-\lambda)V_{\theta}(s)+\lambda z$$
- BackPropagation。从叶结点往根结点回溯，更新各结点上的Q值和N值。具体公式可见论文。
AlphaGo的训练不仅仅是对于对局的上百万次模拟从而统计胜率，还有针对MCTS的不同步骤设计了专门的DCNN并分别训练。各组件在Selection上帮助选路，在Simulation上帮助评估赢面，而AlphaGo跟自己进行模拟对局的过程中所产生的大量state，又可以进一步提供给网络进行训练（当然SL和rollout的训练核心还是去学习人类高手的下法，只有RL训练才是自己打自己）。AlphaGo的强大不仅仅依靠MCTS，更来自于各组件发挥的作用，如下图，虽然只有MCTS也可以实现，但当各组件逐个加入时，可以看到AlphaGo的棋力在不断提升。
