剪绳子问题 java 剪绳子问题五下

题目如下：
给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]…k[m-1] 。请问 k[0]k[1]…*k[m-1] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

示例 1：
输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1

示例 2:
输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36

解题方法（一）

当n>=5时，3 ( n − 3 ) > = 2 ( n − 2 ) 且只在n取5时取等号，且它们都大于n ，所以应把绳子剪成尽量多的3

书上言尽于此，我想了下如果剪成其它大小的会不会更好。如果剪成4，那么4 = 2 × 2 = 2 + 2 就还是和剪成两个2一样，如果剪成5，那么5还能继续剪剪成3和2，往后也是一样。试想更大的数，比如15，得到一段15以后不剪是不可能的，因为前面说了这时候3 ( n − 3 ) > 2 ( n − 2 ) > n ，那么剪成更小的段，只要不小于5就一定满足这个就要继续减，如果比5小，从1~4的情况都想过了，4是不用管的或者剪成两个2，3就保留，2也保留，1不要出现。

当0< number <=3的时候，我们知道最大乘积就是number-1
当number=4,return number * max，4 *1=4；
当number>4时，我们得出规律，尽可能多剪长度为3的绳子，最后的乘积是最大的。

贪心算法思想

代码如下：

#include<stdio.h>
int cutRope(int number)
{
    int max = 1;
    if (number <= 3 && number > 0)
    {
        return number - 1;
    }
    while (number > 4)
    {
        number -= 3;
        max *= 3;
    }
    return number * max;
}

int main()
{
	int a=0;
	scanf("%d",&a);
	printf("%d\n",cutRope(a));

	return 0;
}

运行截图如下：

解题方法（二）

动态规划算法

首先定义函数f(n)为把长度为n的绳子剪成若干段后各段长度乘积的最大值。在剪第一刀时，我们有n-1种选择，也就是说第一段绳子的可能长度分别为1,2,3…，n-1。因此f(n)=max(f(i)*f(n-i))，其中0<i<n。这是一个自上而下的递归公式。由于递归会有大量的不必要的重复计算。

一个更好的办法是按照从下而上的顺序计算，也就是说我们先得到f(2)，f(3)，再得到f(4)，f(5)，直到得到f(n)。当绳子的长度为2的时候，只能剪成长度为1的两段，所以f(2) = 1，当n = 3时，容易得出f(3) = 2。

代码如下：

int maxProductOfCutRope(int length)
{
	if(length < 2)
		return 0;
	if(length == 2)
		return 1;
	if(length == 3)
		return 2;
	vector<int> products{0, 1, 2, 3};

	for(int i = 4; i <= length; ++i)
	{
		int max = 0;
		for(int j = 1; j <= i/2; ++j)
		{
			int product = products[j] * products[i - j];
			if(max < product)
			{
				max = product;
			}
		}
		products.push_back(max);
	}
	return products[length];
}