零、前言
这篇是为了下一篇做点铺垫,也是来复习一些数学基础,本篇属于休闲娱乐,不要太较真,小科普一下,不喜勿喷。本文知识点前 4 点你可以随便看看,但 第5点非常重要,本文源码见 捷文规范
本文知识点:
- 数学函数的概念
- 直角坐标系的下函数图形
- 极坐标下的函数图象
- 参数方程下的函数图形
- 正弦函数的详细分析(为下一篇文章做铺垫)
一、数学函数的概念:
1.高中数学必修1:
设A,B为非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f, 使对于集合A中的任意的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称"f:A→B"为从集合A到集合B的一个函数,记作:y=f(x),x∈A其中,x叫做自变量,x的取值范围叫做函数的[定义域]与x的值对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的[值域]
2.大学高等数学
设数集D⊂ R,则称映射f:D→R为定义在D上的函数,通常简记为y=f(x),x∈ D其中x称自变量,y称因变量,D称定义域,记作Df,即Df=D.值域:Rf=f(D)={y|y=f(x),x∈ D}
3.映射:
设X,Y是两个非集合,如果存在一个法则f,使的对X中的每个元素x,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应,则称f为X到Y的映射,记作f:X→Y其中y称为元素x(在映射f下)的像,并记作f(x),即y=f(x)而元素x称为元素y(在映射f下)的原像
二、直角坐标系的下函数图形
这里只是模拟函数,然后绘制出可视的图象
数学中的实数是连续的,这里在屏幕中将像素作为基本的单元
绘图核心:点集成线,单点半径1px
自变量:x
定义域:Df用集合Set表示
函数关系:函数f(x)
点集用Map表示,x→y
0.网格与坐标系的绘制
网格和坐标系我已经封装,初始View如下:
public class MathView extends View { private Point mCoo = new Point(500, 700);//坐标系 private Picture mCooPicture;//坐标系canvas元件 private Picture mGridPicture;//网格canvas元件 private Paint mHelpPint;//辅助画笔 private Paint mPaint;//主画笔 private Path mPath;//主路径 public MathView(Context context) { this(context, null); } public MathView(Context context, @Nullable AttributeSet attrs) { super(context, attrs); init();//初始化 } private void init() { //初始化主画笔 mPaint = new Paint(Paint.ANTI_ALIAS_FLAG); mPaint.setColor(Color.BLUE); mPaint.setStrokeWidth(2); mPaint.setStyle(Paint.Style.STROKE); mPaint.setStrokeCap(Paint.Cap.ROUND); //初始化主路径 mPath = new Path(); //初始化辅助 mHelpPint = HelpDraw.getHelpPint(Color.RED); mCooPicture = HelpDraw.getCoo(getContext(), mCoo); mGridPicture = HelpDraw.getGrid(getContext()); } @Override protected void onDraw(Canvas canvas) { super.onDraw(canvas); HelpDraw.draw(canvas, mGridPicture, mCooPicture); canvas.save(); canvas.translate(mCoo.x, mCoo.y); canvas.scale(1, -1);//y轴向上 canvas.restore(); }
具体细节这里不说了,详见:Android关于Canvas你所知道的和不知道的一切,或源码
1.一次函数:y=x,定义域[-200,300]
1.1:几个成员变量
private TreeSet Df = new TreeSet<>();//定义域private Map funMap = new HashMap<>();//映射表private Paint mTextPaint;//文字画笔
1.2:初始化定义域
/** * 初始化定义域 */private void initDf() { for (float i = -200; i <= 300; i++) { Df.add(i);//初始化定义域 }}
1.3:对应法则fx
/** * 对应法则 * @param x 原像(自变量) * @return 像(因变量) */private float f(Float x) { float y = x; return y;}
1.4:遍历定义域,将原像x和像f(x)加入映射表
/** * 遍历定义域,将原像x和像f(x)加入映射表 */private void map() { Df.forEach(x -> { funMap.put(x, f(x)); }); //添加所有点}
1.5:绘制映射表
/** * 绘制映射表 * @param canvas 画笔 * @param map 点集映射表 */private void drawMap(Canvas canvas, Map map) { map.forEach((k, v) -> { canvas.drawPoint(k, v, mPaint); });}
2.绝对值函数:y=|x|,定义域[-200,300]
只需改一点
/** * 对应法则 * @param x 原像(自变量) * @return 像(因变量) */private float f(Float x) { float y=Math.abs(x); return y;}
3.二次函数,定义域[-200,300]
/** * 对应法则 * @param x 原像(自变量) * @return 像(因变量) */private float f(Float x) { float y=(x - 100) * (x - 100) / 200 + 100; return y;}
4.对数函数:log10(x)为例,定义域[1,1000]
/** * 初始化定义域 */private void initDf() { for (float i = 1; i <= 1000; i++) { Df.add(i);//初始化定义域 }}/** * 对应法则 * * @param x 原像(自变量) * @return 像(因变量) */private float f(Float x) { float y = (float) (100.f * Math.log10(x)); return y;}
5.指数函数:定义域[-400,500]
/** * 初始化定义域 */private void initDf() { for (float i = -400; i <= 500; i++) { Df.add(i);//初始化定义域 }}/** * 对应法则 * * @param x 原像(自变量) * @return 像(因变量) */private float f(Float x) { float y= 100*(float) Math.pow(Math.E,x/300f); return y;}
6.正弦函数:定义域[-360°,450°]
/** * 初始化定义域 */private void initDf() { for (float i =-360; i <= 450; i++) { Df.add(i);//初始化定义域 }}/** * 对应法则 * * @param x 原像(自变量) * @return 像(因变量) */private float f(Float x) { float y= (float) (100*Math.sin(Math.PI/180*x)); return y;}
经历过上面几个函数的绘制,不难发现,只有更改对应法则,即函数关系式就可以了
三、极坐标下的函数图象
1).寻找角度thta和长度p的函数关系
2).使用极坐标与直角坐标系的转换关系来绘制点集
1.笛卡尔心型线: ρ=100*(1-cosθ)
/** * 初始化定义域 */private void initDf() { for (float i = 1; i <= 360; i++) { Df.add(i);//初始化定义域 }}/** * 绘制映射表 * * @param canvas 画笔 * @param map 点集映射表 */private void drawMap(Canvas canvas, Map map) { map.forEach((thta, p) -> { Log.e(TAG, "drawMap: "+p+thta); canvas.drawPoint((float) (p * Math.cos(thta)), (float) (p * Math.sin(thta)), mPaint); });}/** * 对应法则 * * @param thta 原像(自变量) * @return 像(因变量) */private float f(Float thta) { float p = (float) (100 * (1 - Math.cos(thta))); return p;}/** * 遍历定义域,将原像x和像f(x)加入映射表 */private void map() { Df.forEach(x -> { float thta = (float) (Math.PI / 180 * x); funMap.put(thta, f(thta)); }); //添加所有点}
2.四叶草: ρ=100*(1-4*sinθ)
/** * 对应法则 * * @param thta 原像(自变量) * @return 像(因变量) */private float f(Float thta) { float p = (float) (100 * (1 - Math.sin(4 * thta))); return p;}
3.画着玩: ρ=(e^(cosθ)-2cos(4θ)+[sin(θ/12)]^5)*100
/** * 对应法则 * * @param thta 原像(自变量) * @return 像(因变量) */private float f(Float thta) { float p = (float) (100f*(Math.pow(Math.E,Math.cos(thta)) - 2 * Math.cos(4 * thta) + Math.pow(Math.sin(thta / 12), 5)));; return p;}
4.涡旋线: ρ=a*θ
/** * 对应法则 * * @param thta 原像(自变量) * @return 像(因变量) */private float f(Float thta) { float p = 30*thta; return p;}
5.极坐标下的圆
/** * 对应法则 * * @param thta 原像(自变量) * @return 像(因变量) */private float f(Float thta) { float p = 200; return p;}
四、参数方程下的函数图象
1.双曲线: x=a/cosα, y=btanα
/** * 初始化定义域 */ private void initDf() { for (float i = 0; i <= 360 ; i++) { Df.add(i);//初始化定义域 } } /** * 绘制映射表 * * @param canvas 画笔 * @param map 点集映射表 */ private void drawMap(Canvas canvas, Map map) { map.forEach((k, v) -> { canvas.drawPoint(k, v, mPaint); }); } /** * 对应法则 * * @param thta 原像(自变量) * @return y像(因变量) */ private float y(Float thta) { float y = (float) (100 * Math.tan(thta)); return y; } /** * 对应法则 * * @param thta 原像(自变量) * @return x像(因变量) */ private float x(Float thta) { float x = (float) (200 / Math.cos(thta)); return x; } /** * 遍历定义域,将原像x和像f(x)加入映射表 */ private void map() { Df.forEach(x -> { float thta = (float) (Math.PI / 180 * x); funMap.put(x(thta), y(thta)); }); //添加所有点 }
2.椭圆: x=a*cosα, y=bsinα
/** * 对应法则 * * @param thta 原像(自变量) * @return y像(因变量) */private float y(Float thta) { float y = (float) (300 * Math.sin(thta)); return y;}/** * 对应法则 * * @param thta 原像(自变量) * @return x像(因变量) */private float x(Float thta) { float x = (float) (400 * Math.cos(thta)); return x;}
3.参数方程:双钮线 x=a√(cos2θ)cosθ, y=a√(cos2θ)sinθ
/** * 对应法则:y=a√(cos2θ)sinθ * * @param thta 原像(自变量) * @return y像(因变量) */private float y(Float thta) { float y = (float) (200 * Math.sqrt(Math.cos(2*thta))*Math.sin(thta)); return y;}/** * 对应法则:x=a√(cos2θ )cosθ * * @param thta 原像(自变量) * @return x像(因变量) */private float x(Float thta) { float x = (float) (200 * Math.sqrt(Math.cos(2*thta))*Math.cos(thta)); return x;}
五、分析与优化
1.分析
你可能已经吐槽了:什么鬼,怎么后面都是断断续续的点拼成的
等等...先别急,我们来看看这幅图能说明什么?
先看一下定义域: [-360,450],共810个点,每个点半径1px,每个点横向距离1px
点密集则说明相邻两点间的dy很小,相反,稀疏则说明相邻两点间的dy很大
也就是密集说明函数变化的幅度小,稀疏说明函数变化的幅度大
当相邻两点距离大于圆的直径(2px)时,视觉上会看出两个点,即不连续。
2.分析总结
为了方便描述,这里定义了几个概念
如果把一条完美的函数曲线看作P,那所有现实中(纸、屏幕)的函数图象P'都是对P的取点模拟,从P上取点的行为称为[取样],采样的个数称为[取样总数],取样的相邻两点xn,xn+1间的距离称为[取样距离dxn]当每个dxn值都相等的时,称为[等距采样]两个样本点pn,pn+1之间的距离称为[样本距离dpn]
3.看一下连续的点有哪些
在加入点集时过滤掉相邻两点间距离大于直径的点
/** * 两点间的距离 * @return */private float dis(float x0, float y0, float x1, float y1) { return (float) Math.sqrt((x0 - x1) * (x0 - x1) + (y0 - y1) * (y0 - y1));}/** * 遍历定义域,将原像x和像f(x)加入映射表 */private void map() { Df.forEach(x -> { float dis = dis(x, f(x), x + 1, f(x + 1));//每相邻两点间距离 if (dis < mLineWidth && dis > mLineWidth / 2) { funMap.put(x, f(x)); } });
4.不行连续的点处理思路:
思路也就是在间距处再取样
/** * 遍历定义域,将原像x和像f(x)加入映射表 */private void map() { Df.forEach(x -> { float dis = dis(x, f(x), x + 1, f(x + 1));//每相邻两点间距离 if (dis < mLineWidth && dis > mLineWidth / 2) { funMap.put(x, f(x)); } else if (dis > mLineWidth) { float num = dis / mLineWidth;//在切割数 for (float di = 0; di <= num; di += (1.f / num)) { x += di; funMap.put(x, f(x)); } } }); //添加所有点}
六、正弦函数的详细分析
1.正弦函数简介
其中A,ω,φ,k是常数,且ω≠0振幅:A角频率:ω周期:T=2π/ω 频率:f=1/T=ω/2π相位:ωx+φ初相:φ平衡线:y=k波峰:最大值|A|波谷:最小值-|A|
2.振幅A: 离开平衡位置的最大距离
下面横轴的每格代表90°,化为弧度制表示即:π/2,每四格是360°,即2π
2.1: A=300
2.2: A=100
2.3:振幅的作用
决定正弦曲线的波峰与波谷,形象来说就是"高矮" 振幅越大,波峰越高,波谷越低,每个周期的图象显得"高"
3.角频率ω: 单位时间内变化的相角弧度值
3.1: ω=2
3.2: ω=5
3.3:角频率的作用
决定正弦曲线的周期,形象来说就是"胖瘦" 角频率越大,周期越小,每个周期的图象显得"瘦"ω=2 周期:T = 2π/ω = π 从图中看,每两格一周期,即π 频率:f = 1/T = 1/π
4.初相φ: x=0时的相位
4.1: φ=π/6
4.2: φ=π/2
4.3:振幅的作用
相位决定了标准正弦函数的左右偏移:正左偏,负右偏,偏移量:φ/ω
5.平衡值k: 决定平衡线的位置
5.1: k=100
5.2: k=200
5.3:平衡值的作用
平衡值决定标准正弦函数的上下偏移:正上偏,负下偏,偏移量:k
现在对于几个正弦函数的参数值已经有了一点了解,本篇结束
附录:一些常用符号:
←↑→↓∪∩⊂⊃∈∝⊆⊇∞θρφπαβγημζΩ
后记:捷文规范
1.本文成长记录及勘误表
项目源码日期备注V0.1-github2018-1-2Android绘制函数图象及正弦函数的介绍
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