首先,广义线性模型是基于指数分布族的,而指数分布族的原型如下
其中
为自然参数,它可能是一个向量,而
叫做充分统计量,也可能是一个向量,通常来说
。 实际上线性最小二乘回归和Logistic回归都是广义线性模型的一个特例。当随机变量
服从高斯分布,那么 得到的是线性最小二乘回归,当随机变量
服从伯努利分布,则得到的是Logistic回归。
那么如何根据指数分布族来构建广义线性模型呢? 首先以如下三个假设为基础
(1)给定特征属性
和参数
后,
的条件概率
服从指数分布族,即
。 (2)预测
的期望,即计算
。 (3)
与
之间是线性的,即
。
在讲解利用广义线性模型推导最小二乘和Logistic回归之前,先来认识一些常见的分布,这是后面的基础。
(1)高斯分布
关于高斯分布的内容我就不再多讲了,如果把它看成指数分布族,那么有
对比一下指数分布族,可以发现
所以高斯分布实际上也是属于指数分布族,线性最小二乘就是基于高斯分布的。
(2)伯努利分布
两点分布或者0-1分布,是一个离散型概率分布,若伯努利实验成功,则伯努利随机变量取值为1,如果失败,则伯努利随机变量取值为0。并记成功的概率为
,那么失败的概率就是
,
所以得到其概率密度函数为
如果把伯努利分布写成指数分布族,形式如下
对比指数分布族,有
Logistic回归就是基于伯努利分布的,之前的Sigmoid函数,现在我们就可以知道它是如何来的了。如下
如果
那么
叫做正则响应函数,而
叫做正则关联函数。
(3)泊松分布
泊松分布是一种离散型概率分布,其随机变量
只能取非负整数值0,1,2,...
其中参数
是泊松分布的均值,也是泊松分布的方差,表示单位时间内随机事件的平均发生率。在实际
的实例中,近似服从泊松分布的事件有:收银员某段时间接受的顾客数,或者某段时间火车站排队的人数,以及客服接到的投诉数等计数问题。