PLSA (概率潜语义分析) 是基于 双模式 和 共现 的数据分析方法延伸的经典的统计学方法。概率潜语义分析 应用于信息检索，过滤，自然语言处理，文本的机器学习或者其他相关领域。概率潜语义分析 与 标准潜语义分析 的不同是，标准潜在语义分析是以 共现表（就是共现的矩阵）的奇异值分解的形式表现的，而概率潜在语义分析却是基于派生自 LCM 的混合矩阵分解。考虑到word和doc共现形式，概率潜语义分析 基于 多项式分布 和 条件分布 的混合来建模共现的概率。所谓 共现 其实就是 W和D 的一个矩阵，所谓 双模式 就是在 W和D 上同时进行考虑。
PLSA的缺点：
PLSA有时会出现过拟合的现象。所谓过拟合（Overfit），是这样一种现象：一个假设在训练数据上能够获得比其他假设更好的拟合，但是在训练数据外的数据集上却不能很好的拟合数据。此时我们就叫这个假设出现了overfit的现象。出现这种现象的主要原因是训练数据中存在噪音或者训练数据太少。
解决办法，要避免过拟合的问题，PLSA使用了一种广泛应用的最大似然估计的方法，期望最大化。PLSA中训练参数的值会随着文档的数目线性递增。PLSA可以生成其所在数据集的的文档的模型，但却不能生成新文档的模型。
关于SVD：
LSA的基本思想就是把高维的文档降到低维空间，那个空间被称为潜在语义空间。这个映射必须是严格线性的而且是基于共现表（就是那个矩阵啦）的奇异值分解。
PLSA是LSA的概率学延伸，所以我们首先要知道LSA的算法。
LSA的算法：
假设有N篇的document，D={d_1, … ,d_N}，和M个words，W={w_1, … ,w_M}，再设置K个潜在类Z={z_1, … ,z_K}。
首先，建立一个N*M的项——文档矩阵，统计频率。矩阵A中的每一项分别对应了DiWj出现的频率。这个就是前面说的共现表。
接着，对这个矩阵做奇异值分解。这个是奇异值分解的公式。A(n*m) = U(n*n) E(n*m) VT(m*m)
保留奇异值矩阵E的K个特征值（奇异值是特征值的非负平方根）。然后求矩阵A的共轭转置AH，然后奇异值分解AH。
AH(n*m) = U(n*k) E(k*k) VT(k*m)
AH ≈ A (这是啥意思呢)
这时，一个项（term）其实就是K维向量空间的的一维。
把意义相同的项（term）做同一映射。
到这里就很清楚的看出来，LSA没有建立统计学基础。但是PLSA就解决了这个问题。
PLSA：
PLSA是更为先进的方法。他解决了同义词和多义词的问题，利用了强化的期望最大化算法（EM）来训练隐含类（潜在类）。而且相对了LSA，有了坚实的统计学基础。
PLSA的建模——层面模型
层面模型就是关联于潜在类Z的共现表的潜在可变模型。在层面模型中，文档被视为潜在的K个层面的混合。每一个层面就是word对于z(潜在类)的概率分布。
PLSA的建模——数据的共现
对于每一组（w,d）都使之与潜在变量z关联。
PLSA的建模——预测words
已经的是文档的概率，首先要计算潜在类Z根据条件概率D，生成单词W根据条件概率Z。
PLSA的公式：
P(w,d) = ∑ P(c)P(d | c)P(w | c) = P(d) ∑ P(c | d)P(w | c) |
注：这里的C和上面说的Z是一样的。
公式解析：第一个公式是对称公式，在这个公式中,W和D都是以相同的方式（都用了W和D基于C的条件概率）通过潜在类C处理的。第二个公式是非对称公式。在这个公式中，对于每一个D，先根据D的条件概率计算C，然后根据C的条件概率计算W。事实上，这个公式可以扩展成计算任何一对离散变量的共现。因为我们的W和D是已知的，但是Z是未知的，所以我们的重心放在求Z上。那么如何求Z呢？
最大似然估计：
概率学中有很多隐含的量是未知的，我们处理的办法有很多种，可以根据经典统计学，也有很多现在统计学的分支，比较著名的是贝叶斯统计学。
在PLSA中，我们使用最大似然估计来训练隐含量。最大似然估计中比较常用的算法就是期望最大化算法。期望最大化算法分为两步：
1. Expectation Step——隐含参数的估计
2. Maximization Step——确定实际参数，然后根据实际参数做最大似然估计。
关于过拟合的问题，过拟合的概念已经提到了，在PLSA中，我们通过修改EM（期望最大化）的算法来避免这个问题，我么把这个算法称为强化的期望最大化算法（tempered EM）。
强化的期望最大化算法中引入了控制参数beta。
Beta值起始是1，紧着逐渐减少。引入beta的目的就是为了避免过拟合的问题，在beta中，过拟合和不充分拟合的状态被定义。具体的算法是：
让beta的初始值为1，然后根据待训练数据来测试模型，如果成功，则使用该beta，如果不成功，则收敛。收敛的意思就是使得beta = n*beta， n<1。
