文章目录
- 什么是栈？
- 用Python实现栈
- 栈的应用：简单括号匹配
- 栈的应用：十进制转换为二进制
- 栈的应用：表达式转换
什么是栈？
栈有时也被称作“下推栈”。它是一种有次序的数据项集合，添加操作和移除操作总发生在同一端，即“顶端”，另一端则被称为“底端”。
栈中的元素离底端越近，代表其在栈中的时间越长，因此栈的底端具有非常重要的意义。最新添加的元素将被最先移除。这种排序原则被称作LIFO ( last-in first-out )，即后进先出。这是一种基于数据项保存时间的次序，时间越短的离栈顶越近，而时间越长的离栈底越近。最近添加的元素靠近顶端，旧元素则靠近底端。
日常生活中有很多栈的应用,如盘子、托盘、书堆等等。
我们观察一个由混合的python原生数据对象形成的栈：
进栈和出栈的次序正好相反。
这种访问次序反转的特性，我们也在某些计算机操作上碰到过。
比如浏览器的“后退back”按钮，当我们从一个网页跳转到另一个网页时，这些网页——实际上是 URL—都被存放在一个栈中。当前正在浏览的网页位于栈的顶端，最早浏览的网页则位于底端。如果点击返回按钮,便开始反向浏览这些网页。
抽象数据类型“栈”定义为如下的操作:
Stack()：创建一个空栈，不包含任何数据项
push(item)：将item加入栈顶，无返回值
pop()：将栈顶数据项移除，并返回，栈被修改
peek()：“窥视”栈顶数据项，返回栈顶的数据项但不移除，栈不被修改
isEmpty()：返回栈是否为空栈
size()：返回栈中有多少个数据项
抽象数据类型Stack操作样例:
用Python实现栈
在清楚地定义了抽象数据类型Stack之后，我们看看如何用Python来实现它。
Python的面向对象机制可以用来实现用户自定义类型，将ADT Stack实现为Python的一个Class，将ADT Stack的操作实现为Class的方法，由于Stack是一个数据集，所以可以采用Python的原生数据集来实现，我们选用最常用的数据集List来实现。
Python列表是有序集合，它提供了一整套方法。举例来说，对于列表[2，5，3，6，7，4] ,只需要考虑将它的哪一边视为栈的顶端。一旦确定了顶端，所有的操作就可以利用 append 和pop等列表方法来实现。
可以将List的任意一端（index=0或者-1）设置为栈顶，我们这里选用List的末端（index=-1）作为栈顶，这样栈的操作就可以通过对list的append和pop来实现：
用Python实现ADT Stack程序示例：
需要注意的是如果我们把List的另一端（首端index=0 ）作为Stack的栈顶，同样也可以实现Stack：
改变抽象数据类型的实现却保留其逻辑特征，这种能力体现了抽象思想。不过，尽管上述两种实现都可行，但是二者在性能方面肯定有差异。append方法和 pop( )方法的时间复杂度都是o(1),这意味着不论栈中有多少个元素,栈顶尾端的实现（右）中的push操作和 pop操作都会在恒定的时间内完成。栈顶首端的版本（左）实现的性能则受制于栈中的元素个数，这是因为insert (0)和 pop(0)的时间复杂度都是O(n)，元素越多就越慢。显而易见，尽管两种实现在逻辑上是相等的，但是它们在进行基准测试时耗费的时间会有很大的差异。
栈的应用：简单括号匹配
我们都写过这样的表达式：
这里的括号是用来指定表达式项的计算优先级,匹配括号是指每一个左括号都有与之对应的一个右括号，并且括号对有正确的嵌套关系。
对括号是否正确匹配的识别，是很多语言编译器的基础算法。
下面看看如何构造括号匹配识别算法：
从左到右扫描括号串，最新打开的左括号，应该匹配最先遇到的右括号，这样，第一个左括号（最早打开），就应该匹配最后一个右括号（最后遇到）这种次序反转的识别，正好符合栈的特性！
一旦认识到用栈来保存括号是合理的，算法编写起来就会十分容易。由一个空栈开始，从左往右依次处理括号。如果遇到左括号，便通过push操作将其加入栈中，以此表示稍后需要有一个与之匹配的右括号。反之，如果遇到右括号，就调用pop操作。只要栈中的所有左括号都能遇到与之匹配的右括号,那么整个括号串就是匹配的;如果栈中有任何一个左括号找不到与之匹配的右括号，则括号串就是不匹配的。在处理完匹配的括号串之后，栈应该是空的。代码清单3-3展示了实现这一算法的 Python代码。
parChecker函数假设stack类可用，并且会返回一个布尔值来表示括号串是否匹配。注意，布尔型变量balanced 的初始值是True，这是因为一开始没有任何理由假设其为False,如果当前的符号是左括号，它就会被压入栈中（第9-10行)。注意第15行，仅通过pop()将一个元素从栈中移除。由于移除的元素一定是之前遇到的左括号,因此并没有用到pop()的返回值。在第19~22行，只要所有括号匹配并且栈为空，函数就会返回True，否则返回False。在实际的应用里，我们会碰到更多种括号，如python中列表所用的方括号“[]”
字典所用的花括号“{}”，元组和表达式所用的圆括号“()” ，这些不同的括号有可能混合在一起使用， 因此就要注意各自的开闭匹配情况。
栈的应用：十进制转换为二进制
二进制是计算机原理中最基本的概念，作为组成计算机最基本部件的逻辑门电路，其输入和输出均仅为两种状态：0和1 。
但十进制是人类传统文化中最基本的数值概念，如果没有进制之间的转换，人们跟计算机的交互会相当的困难。
所谓的“进制”，就是用多少个字符来表示整数。
十进制是0～9这十个数字字符，二进制是0、1两个字符。
我们经常需要将整数在二进制和十进制之
间转换
如：的对应二进制数为
，
具体是这样：
十进制转换为二进制，采用的是除以2求余数的算法，将整数不断除以2，每次得到的余数就是由低到高的二进制位。
“除以2”算法假设待处理的整数大于0。它用一个简单的循环不停地将十进制数除以2，并且记录余数。第一次除以2的结果能够用于区分偶数和奇数。如果是偶数，则余数为0，因此个位上的数字为0;如果是奇数，则余数为1，因此个位上的数字为1。可以将要构建的二进制数看成一系列数字;计算出的第一个余数是最后一位。如图3-5所示，这又一次体现了反转特性,因此用栈来解决该问题是合理的。
十进制转换为二进制代码实现：
十进制转换为二进制的算法，很容易可以扩展为转换到任意N进制，只需要将除以2求余数算法改为“除以N求余数”算法就可以。
二进制有两个不同数字0、1
十进制有十个不同数字0、1、2、3、4、5、6、 7、8、9
八进制可用八个不同数字0、1、2、3、4、5、6 、7
十六进制的十六个不同数字则是0、1、2、3、4 、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F
十进制转换为十六以下任意进制代码示例：
为了实现这一方法，第3行创建了一个数字字符串来存储对应位置上的数字。0在位置0，1在位置1，A在位置10,B在位置11，依此类推。当从栈中移除一个余数时，它可以被用作访问数字的下标，对应的数字会被添加到结果中。如果从栈中移除的余数是13，那么字母D将被添加到结果字符串的最后。
栈的应用：表达式转换
我们通常看到的表达式像这样：，很容易知道这是B乘以C ,这种操作符介于操作数中间的表示法，称为
中缀表示法。但有时候中缀表示法会引起混淆，如 “A+B*C” 是A+B然后再乘以C，还是然后再去加A？
人们引入了操作符优先级的概念来消除混淆，规定高优先级的操作符先计算
相同优先级的操作符从左到右依次计算，这样就没有疑义是A加上B与C的乘积，同时引入了括号来表示强制优先级，括号的优先级最高，而且在嵌套的括号中，内层的优先级更高，这样(A+B)*C就是A与B的和再乘以C。
虽然人们已经习惯了这种表示法，但计算机处理最好是能明确规定所有的计算顺序，这样无需处理复杂的优先规则。
引入全括号表达式：在所有的表达式项两边都加上括号，，应表示为
可否将表达式中操作符的位置稍移动一下？例如中缀表达式A+B，将操作符移到前面，变为“+AB”，或者将操作符移到最后，变为“AB+” 。
我们就得到了表达式的另外两种表示法：
“前缀”和“后缀”表示法，以操作符相对于操作数的位置来定义。
神奇的事情发生了，在中缀表达式里必须的括号，在前缀和后缀表达式中消失了？ 在前缀和后缀表达式中，操作符的次序完全决定了运算的次序，不再有混淆，所以在很多情况下，表达式的计算机表示都避免用复杂的中缀形式。
下面看更多的例子：
目前为止我们仅手工转换了几个中缀表达式到前缀和后缀的形式，一定得有个算法来转换任意复杂的表达式。
为了分解算法的复杂度，我们从“全括号”中缀表达式入手，
我们看A+B*C，如果写成全括号形式：
，显式表达了计算次序
我们注意到每一对括号，都包含了一组完整的操作符和操作数。
看子表达式的右括号，如果把操作符
移到右括号的位置，替代它，再删去左括号，得到
，这个正好把子表达式转换为后缀形式，进一步再把更多的操作符移动到相应的右括号处替代之，再删去左括号，那么整个表达式就完成了到后缀表达式的转换。
同样的，如果我们把操作符移动到左括号的位置替代之，然后删掉所有的右括号，也就得到了前缀表达式：
所以说，无论表达式多复杂，需要转换成前缀或者后缀，只需要两个步骤：
- 将中缀表达式转换为全括号形式；
- 将所有的操作符移动到子表达式所在的左括号（前缀）或者右括号（后缀）处，替代之，再删除所有的括号。
我们来讨论下通用的中缀转后缀算法，首先我们来看中缀表达式，其对应的后缀表达式是
，操作数ABC的顺序没有改变。
操作符的出现顺序，在后缀表达式中反转了，由于*的优先级比+高，所以后缀表达式中操作符的出现顺序与运算次序一致。
在中缀表达式转换为后缀形式的处理过程中，操作符比操作数要晚输出，所以在扫描到对应的第二个操作数之前，需要把操作符先保存起来，而这些暂存的操作符，由于优先级的规则，还有可能要反转次序输出。 在中，+虽然先出现，但优先级比后面这个
要低，所以它要等*处理完后，才能再处理。
这种反转特性，使得我们考虑用栈来保存暂时未处理的操作符。
再看看，对应的后缀形式是
这里+的输出比要早，主要是因为括号使得+的优先级提升，高于括号之外的
，后缀表达式中操作符应该出现在左括号对应的右括
号位置，所以遇到左括号，要标记下，其后出现的操作符。优先级提升了，一旦扫描到对应的右括号，就可以马上输出这个操作符。
总结下，在从左到右扫描逐个字符扫描中缀表达式的过程中，采用一个栈来暂存未处理的操作符，这样，栈顶的操作符就是最近暂存进去的，当遇到一个新的操作符，就需要跟栈顶的操作符比较下优先级，再行处理。
中缀表达式单词列表扫描结束后，把opstack栈中的所有剩余操作符依次弹出
，添加到输出列表末尾，把输出列表再用join方法合并成后缀表达式字符串，算法结束。
Python实现从中序表达式到后序表达式的转换：
以上成功实现了从中序表达式到后序表达式，下面我们试着计算后缀表达式，跟中缀转换为后缀问题不同， 在对后缀表达式从左到右扫描的过程中， 由于操作符在操作数的后面， 所以要暂存操作数，在碰到操作符的时候
，再将暂存的两个操作数进行实际的计算。仍然是栈的特性：操作符只作用于离它最近的两个操作数。
如“4 5 6 * +”，我们先扫描到4、5两个操作数，但还不知道对这两个操作数能做什么计算，需要继续扫描后面的符号才能知道，继续扫描，又碰到操作数6 ，还是不能知道如何计算，继续暂存入栈直到*，现在知道是栈顶两个操作数5 、6做乘法。我们弹出两个操作数，计算得到结果30。
需要注意：
先弹出的是右操作数，后弹出的是左操作数，这个对于-/很重要！
为了继续后续的计算，需要把这个中间结果30压入栈顶，继续扫描后面的符号，当所有操作符都处理完毕，栈中只留下1个操作数，就是表达式的值。
后缀表达式求值流程：
(1) 创建空栈operandstack。
(2) 使用字符串方法 split将输入的后序表达式转换成一个列表。
(3) 从左往右扫描这个标记列表。如果标记是操作数，将其转换成整数并且压入operandstack栈中。如果标记是运算符，从operandstack栈中取出两个操作数。第一次取出右操作数，第二次取出左操作数。进行相应的算术运算，然后将运算结果压入 operandstack栈中。
(4) 当处理完输入表达式时，栈中的值就是结果。将其从栈中返回。
计算后缀表达式程序实现：
