资产组合理论
问题表述：
假设对于
种资产，收益率期望为矢量
，协方差矩阵为
。要求在给定期望
时通过选取投资权重
使得投资组合的方差
最小化。亦即优化问题为
求解这个优化问题，构造
其中
是不定乘子，对
取微分得到极值条件
由第一式解出
代入后两式得到
这是一个典型的线性方程，我们令
注意到这个矩阵由证券的固有性质完全决定，与组合无关。由此可以直接得到两个不定乘子为
这样
若定义两个证券固有向量
则最优解可以表示为
正如所预期的那样，不难发现
及
，这表明
的各分量之和为0，代表一个具有单位正期望的无成本对冲组合，
则是一个0期望的资产配置权重向量。由此可以得到对应的最小方差为
全局最小方差出现在
处，利用上面
的性质和表达式可以很方便的算得
从而得到全局最小方差组合为
由此得到全局最小方差为
由于最优组合具有线性形式
，
。这表明两个最优组合
的再组合
仍然是一个最优化组合，只是对应的期望修改成为
。有效边界在
平面上画出一条双曲线
现在考虑引入一种无风险资产，之所以专门另列出来，在于其特殊性。第一，其收益率的方差为0，第二，其收益率与其它资产的相关系数为0。即，其收益率是当前就可以确定的量。这时我们的最优化问题可以表述为
其中
是无风险利率，约束等式可以改写为
，比较原先风险资产的最优化问题，不难发现这无非是在原来的问题中作代换
因此可以依照原来的问题略加修改得到
于是注意到夏普比率
为一个常数，从而这是一条直线方程。这与我们的直觉相符，因为我们无非是试图选取有效风险组合中夏普比率最大的资产来配置。可以证明上述直线正好是有效前沿边界的切线，但是这在直觉上是显而易见的。
