sparkmllib朴素贝叶斯分类器 朴素贝叶斯分类器公式

朴素贝叶斯分类器，英文叫’naive Bayes classifier’.顾名思义，就是很naive的一个算法。naive主要体现在一个方面 —— “属性条件独立性假设”。就是用贝叶斯算法进行分类的时候，假设所有的属性相互独立。

公式符号说明：

• $A$表示输入属性，等价x和$\vec{x}$(x粗写表示这是一个向量)。
• $B_i$表示分类的类别，等价$c$。
• $x_i$表示x的一个维度（属性）

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1 . 预备知识

贝叶斯公式（不熟悉请戳《贝叶斯公式》 ）

贝叶斯分类原理：

首先贝叶斯分类器具有所有分类器一样的功能：根据输入x给出一个分类结果c。

假设用朴素贝叶斯分类选秀球员，输入属性x， x是一个多维向量，包含: {百米速度，卧推，摸高，臂展，命中率，球商} 等6个维度。

输出的分类结构为$c$，$c$的取值范围是：

{好，一般，差}。

在这里我们对每个属性进行0-1编码量化（每个属性取值都在0和1之间，越接近1说明程度越高）。

第一步，用贝叶斯建模：

上图是贝叶斯公式的图解：

那么，把实际问题映射到这张图上就是说：$A$表示输入属性，$B$表示分类结果。当输入是$A$的时候，$A$的可能实际类别是：$B_1$，$B_2$，…，$B_n$。分类器只能选出一个类别作为输出结果，那么怎么选呢？当然要选可能性最大的那个分类咯。

在图上可以清晰看到，$A$与$B_n$的相交面积最大，所以贝叶斯分类器会把$A$分类到$B_n$。即：

输出类别= argmax(P(判断类别|输入属性))

事实上，要进行更智能的分类，可以加一个风险加权值，通过最小化风险来求得分类结果（这里只讨论思维，详细可以下一篇博文再讨论）。

实际分类过程中，我们从以往经验中总结得到先验概率$P$($B_i$)和似然概率$P$($A$|$B_i$)，然后通过贝叶斯公式获得结果。怎么操作呢？

1. 首先用数据对分类器进行训练，这里的训练无非就是对训练数据进行一些统计（都有哪些类别，每种类别的概率等），根据大数定律，当训练集包含充足的独立同分布样本时，先验概率$P(B_i)$可通过各类样本出现的频率来进行估计。
2. 然后获取似然概率$P(A|B_i)$，由于它涉及关于$A$所有属性的联合概率，难以从有限的训练样本直接估计而得。那么就可以引出这篇博文的主角——“朴素贝叶斯分类器”了。

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2 . 朴素贝叶斯分类器

如上面最后一句话所说，朴素贝叶斯分类器就是解决似然概率难以统计获得的问题。假设每个属性独立地对分类结果产生影响。
怎么理解上面这句话呢，属性之间不相互独立的例子如下：一个球员摸高和臂展其实是高度相关的。
现在就是要naive地认为每个属性都是独立产生影响的。则贝叶斯公式可以重写为：

$P$($c$|x) = $\frac{P(c)P(\vec{x}|c)} {P(\vec{x})}$ =$\frac{P(c)} {P(\vec{x})}\prod_{i=1}^dP(x_i|c)$
(x = $\vec{x}$)
公式 1通过统计求单独的属性对结果的似然概率是很容易的，所有单独属性似然概率的乘积就是$P(A|B_i)$了。那么，上面公式里的$P(x_i|c)$怎么求呢？

对于离散情况
离散情况的意思是：各属性的取值是离散的，比如说颜值的取值直接就是{高，中，低}这样的离散值，而不是0.889这样的连续取值，对于离散情况直接统计出来就行了：
$P(x_i|c) = D_{c,xi} / D_c$
$D_{c,xi}$表示$D_c$中在第i个属性取值为$x_i$的样本组成的集合，$D_c$表示训练集$D$中第$c$类样本组成的集合。
最后的$P$(x|$c$)就把各$P$($x_i$|$c$)累乘起来就可以了，代入公式1可以求得$P$($c$|x)。

对于连续情况
当x各维度连续取值时，你不可能在训练的时候遍历所有的取值。怎么理解呢？当训练数据某个属性取值有{0.1, 0.2, 0.3, 0.4, … , 1}，当你用训练后的分类器去对新对象进行分类，而这个新对象在这个属性的取值是0.15，并不存在你的训练集中，这就是问题所在。那怎么解决呢？

我们有中心极限定理：

随机变量如果是有大量独立的而且均匀的随机变量相加而成，那么它的分布将近似于正态分布。

上面是引用百度百科，这是对中心极限定理的总结。我用白话再翻译一遍：

如果变量的取值满足独立（可以不同分布），那么这些变量叠加之后的分布是满足正态分布的。这也是自然界随处可见各种‘钟形’分布的原因。

在这里，我们也可以假设$P$($x_i$|$c$)服从正态分布，求得训练样本中$P$($x_i$|$c$)的期望和方差，对$P$($x_i$|$c$)的取值做一个正态分布建模，如下：

假定$P$($x_i$|$c$) ~$N$($\mu$, $\sigma^2$)，其中$\mu$和 $\sigma^2$分别是第c类样本在第i个属性上取值的均值和方差：

那这样就解决了连续取值问题，当输入属性取值xi并未在训练样本中出现，直接把这个取值输入$N$($\mu$, $\sigma^2$)中，获得的取值就是

$P(x_i|c)$了。

同上，最后的p(x|c)就把各$P$($x_i$|$c$)累乘起来就可以了，代入公式1可以求得$P$($c$|x)。

一个基于scikit-learn的高斯朴素贝叶斯实现代码：

from sklearn import datasets
from sklearn.naive_bayes import GaussianNB

iris = datasets.load_iris()
gnb = GaussianNB()

y = gnb.fit(iris.data, iris.target).predict(iris.data)

all_num = iris.data.shape[0]
hit_num = (iris.target == y).sum()
print("accuracy=%d%%, hit/predict=%d/%d" % (100 * hit_num/all_num, hit_num, all_num))

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3. 总结

对于朴素贝叶斯分类器的操作可以理解如下：

1. 输入大量训练样本，每个样本包括属性和类别，属性又有连续属性和离散属性之分。
2. 对样本进行统计: 都有哪些类别，每种类别占比多少($P$($c$))，每个属性对样本分类单独造成的影响($P$($x_i$|$c$))
3. 对离散取值的属性可通过直接统计求得$P$($x_i$|$c$)；而对于连续取值的属性需要进行一个正态分布建模，求出训练样本中$P$($x_i$|$c$)的期望和方差，代入到$N$($\mu$, $\sigma^2$)中完成建模。
4. 根据上述3个步骤，我们可以获得$P$($c$)和各属性的$P$($x_i$|$c$)，那么直接代入公式1中，就可以求得$P$($c$|x)了。
5. 那最终进行分类，就比较各类别的$P$($c$|x)（即取不同的c值），最大的那个就是我们的分类，即公式0所表示的。