机器学习留出法函数怎么用的 留数法公式

文章目录

• 留数理论
• 留数基本定理
• 用留数算积分
• 参考文献

留数理论

留数理论：设$f$在$a$点全纯$^{【2】}$，那么对于$a$点邻域中的任意可求长闭曲线$\gamma$，都有$\oint_\gamma f(z)dz=0$

如果$a$是$f$的孤立奇点$^{【3】}$，那么上述积分不一定总等于零，且积分值只与$f$和$a$有关．而与$\gamma$无关。

$f$在$a$点邻域中的$\color {blue}Laurent展开式$$^{【4】}$为：
$\begin{aligned} &f(z)=\sum^\infty_{n=-\infty}c_n(z-a)^n\\ &c_n=\frac1{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(\zeta)}{{(\zeta-a})^{n+1}}d\zeta,\quad n=0,\ \pm1,\ \pm2 \end{aligned}$$n=-1$时，有：$c_{-1}=\frac1{2\pi i}\oint_\gamma f(\zeta)d\zeta$

$c_{-1}$为$f$在$a$点的留数：$Res[f;\ a]=c_{-1}$

$\therefore\ \oint_\gamma f(z)dz=2\pi i\ Res[f;\ a]\text{，其中}\gamma=\{z:|z-a|=\rho\},0<\rho<r\\ 若z=\infty\text{是孤立奇点，即：}R<|z|<\infty内全纯，则z=\infty处留数为：Res[f;\ \infty]=-\frac1{2\pi i}\oint_\gamma f(z)dz\\ \gamma=\{z:|z|=\rho\},R<\rho<\infty$

$Laurent$展开式有时并不那么容易得到，以下方法仍可得到留数：

• 若$a$为$f$一阶极点，则：$Res[f;\ a]=\lim_{z\rightarrow a}(z-a)f(z)$
• 若$a$为$f$的$m$阶极点，则：$Res[f;\ a]=\frac1{(m-1)!}\lim_{z\rightarrow a}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}[(z-a)^mf(z)]$
• 设$f=\frac g h$，其中$g、h$都在$a$点全纯，且$g(a)\neq0,h(a)=0,h^\prime(a)\neq0$，那么：$Res[f;\ a]=\frac{g(a)}{h^\prime(a)}$

注意：若为本性极点$^{【3】}$，则只能通过$Laurent$展开得到留数

留数基本定理

定理一:设$D$为复平面上有界区域，边界$\gamma$由若干简单闭曲线组成，若$f$在$D$内除孤立奇点$z_1,z_2,\cdots,z_n$外全纯，在闭区域$\overline D$除$z_1,z_2,\cdots,z_n$外连续，那么：$\oint_\gamma f(z)dz=2\pi i\ \sum^n_{k=1}Res[f;\ z_k]\quad\color {blue}\text{留数定理}$

定理二:若$f$在复数域$\color{blue}\boldsymbol C$中除$z_1,z_2,\cdots,z_n$外全纯，则$f$在$z_1,z_2,\cdots,z_n$及$z=\infty$处留数之和为零

用留数算积分

1、$\boldsymbol \color{blue}\int^{+\infty}_{-\infty}f(x)dx$型积分

定理一:若$f$在上半平面$\{z:\mathrm {Im}\ z>0\}$内除$z_1,z_2,\cdots,z_n$外全纯，在$\{z:\mathrm {Im}\ z>0\}$内除$z_1,z_2,\cdots,z_n$外连续，如果$\lim_{z\rightarrow\infty}zf(z)=0$，那么$\int^{+\infty}_{-\infty}f(x)dx=2\pi i\ \sum^n_{k=1}Res[f;\ z_k]$

推论一:设$P、Q$分别为$m$和$n$阶既约(不可约分)多项式，并且$m\leq n-2$，$Q$无实根，那么$\int^{+\infty}_{-\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}dx=2\pi i\ \sum^n_{k=1}Res\left[\frac{P(x)}{Q(x)};\ z_k\right]$

$Jordan$引理:设$f$在$\{z:R_0\leq|z| \lt\infty,\mathrm{Im}\ z\geq0\}$上连续，且$\lim _{z \rightarrow \infty \atop \operatorname{Im} z \geq 0} f(z)=0$，则对任意$a>0$，有$\lim_{R\rightarrow \infty} \int_{\Gamma_R}e^{iaz}f(z)dz=0$$\Gamma_R=\{z:z=Re^{i\theta},\ 0\leq\theta \leq \pi,R\geq R_0\}$

小圆弧引理:设$f$在扇状区域$G=\{z:z=a+\rho e^{i\theta},0\lt \rho\leq \rho_0,\theta_0 \leq \theta \leq\theta_0+\alpha\}$内连续，如果$\lim_{z\rightarrow a}(z-a)f(z)=A$，那么$\lim_{\rho\rightarrow0}\int_{\gamma_\rho}f(z)dz=iA\alpha\quad(\color{blue}\alpha为弧度)$

$\gamma_\rho=\{z:z=a+\rho^{i\theta},\theta_0\leq\theta\leq\theta_0+\alpha\}$，方向：沿幅角增加的方向

定理二:若$f$在上半平面$\{z:\mathrm {Im}\ z>0\}$内除$z_1,z_2,\cdots,z_n$外全纯，在$\{z:\mathrm {Im}\ z>0\}$内除$z_1,z_2,\cdots,z_n$外连续，如果$\lim_{z\rightarrow\infty}f(z)=0$，那么对任意$a\gt0$，有$\int^{+\infty}_{-\infty}e^{iax}f(x)dx=2\pi i\ \sum^n_{k=1}Res[e^{iax}f(z);\ z_k]$由$Jordan$引理证得

推论二:在定理二条件下，有$\int^{+\infty}_{-\infty}f(x)cosaxdx=\mathrm {Re}\left\{2\pi i\ \sum^n_{k=1}Res[e^{iaz}f(z);\ z_k]\right\}\\ \int^{+\infty}_{-\infty}f(x)sinaxdx=\mathrm {lm}\left\{2\pi i\ \sum^n_{k=1}Res[e^{iaz}f(z);\ z_k]\right\}$

2、$\boldsymbol \color{blue}\int^{+\infty}_{0}f(x)dx$型积分

大圆弧引理:设$f$在大圆弧$C_R=\{z:z=a+R e^{i\theta},0\lt \rho\leq \rho_0,\theta_0 \leq \theta \leq\theta_0+a\}$内连续，
如果$\lim_{z\rightarrow +\infty}(z-a)f(z)=A$，那么
$\lim_{R\rightarrow+\infty}\int_{C_R}f(z)dz=iAa$$\gamma_\rho=\{z:z=a+Re^{i\theta},\theta_0\leq\theta\leq\theta_0+a\}$，方向：沿幅角增加的方向

定理三:若单值函数$f(z)$在复平面$\color{blue}\boldsymbol C$上除$z_1,z_2,\cdots,z_n$外全纯，且这些奇点均不在包括原点的正实轴上，$z=\infty$是$f(x)$的$m$阶零点($m\geq1$)，那么$\int^{+\infty}_{-\infty}x^pf(x)dx=\frac{2\pi i}{1-e^{2p\pi i}}\ \sum^n_{k=1}Res[z^pf(z);\ z_k] \quad(-1<p<0)$（在正实轴上取实值的一个单值解析分支内计算留数）

推论三:假定相关积分均存在，则有
$\int^{1}_{-1}{\left(\frac{1+x}{1-x}\right)}^{m-1}f(x)dx=2 \int^{+\infty}_{0}\frac{x^{m-1}}{{(x+1)}^2}f{\left(\frac{x-1}{x+1}\right)}dx\\[12pt] \int^{1}_{-1}(1-x^2)^{m-1}h(x)dx=2^{2m-1} \int^{+\infty}_{0}\frac{x^{m-1}}{{(x+1)}^{2m}}h{\left(\frac{x-1}{x+1}\right)}dx$这样可将上述不等式左边积分转化为多值函数围道积分

定理四:若单值函数$f(z)$在复平面$\color{blue}\boldsymbol C$上除$z_1,z_2,\cdots,z_n$外全纯，且这些奇点均不在包括原点的正实轴上，$z=\infty$是$f(x)$的$m$阶零点($m\geq2$)，那么
$\int^{+\infty}_{0}f(x)dx=\frac{1}{2\pi}\ \mathrm {Im}\sum^n_{k=1}Res[f(z)\mathrm {ln}^2z;\ z_k]\\[9pt] \int^{+\infty}_{0}f(x)\mathrm{ln}xdx=-\frac{1}{2}\ \mathrm {Re}\sum^n_{k=1}Res[f(z)\mathrm {ln}^2z;\ z_k]$

定理五:（上半平面留数）若单值函数$f(x)$是偶函数，$f(x)$在上半平面除去$z_1,z_2,\cdots,z_n$外全纯，且这些奇点均不在包括原点的正实轴上，存在常数$M$，当$|z|$充分大时有$|f(x)|\leq\frac M{z^m},\ m \geq2$，那么
$\int^{+\infty}_{0}f(x)dx=2\ \mathrm {Re}\sum^n_{k=1}Res[f(z)\mathrm {ln}z;\ z_k]\\[9pt] \int^{+\infty}_{0}f(x)\mathrm{ln}xdx=-\pi\ \mathrm {Im}\sum^n_{k=1}Res[f(z)\mathrm {ln}z;\ z_k]$

定理六:设$P、Q$分别为$m$和$n$阶既约(不可约分)多项式，并且$m\leq n-2$，$Q(z)$无非负实根，那么$\int^{+\infty}_{0}\frac{P(x)}{Q(x)}dx=-\ \sum^n_{k=1}Res\left[\frac{P(x)}{Q(x)}\mathrm {ln}z;\ z_k\right]$

3、$\boldsymbol \color{blue}\int^{b}_{a}f(x)dx$型积分

定理七:（全平面留数）若单值函数$f(x)$在实轴上取实值，在复平面$\color{blue}\boldsymbol C$上除$z_1,z_2,\cdots,z_n$外全纯，且这些奇点均不$[0,1]$上，$f(z)$的分母至少比分子高3次，那么
上半平面$\{z:\mathrm {Im}\ z>0\}$内除$z_1,z_2,\cdots,z_n$外全纯，在$\{z:\mathrm {Im}\ z>0\}$内除$z_1,z_2,\cdots,z_n$外连续，如果$\lim_{z\rightarrow\infty}f(z)=0$，那么对任意$a\gt0$，有
$\int_{0}^{1} \sqrt[n]{x^{m}(1-x)^{n-m}} f(x) d x=\frac{2 \pi i}{1-e^{\frac{2 m \pi}{n} i}} \sum_{k=1}^{n} \operatorname{Res}\left[\sqrt[n]{z^{m}(1-z)^{n-m}} f(z) ;\ z_{k}\right]$（$\sqrt[n]{x^{m}(1-x)^{n-m}}$为某一单值连续函数，该分支在割线上沿取实值）

定理八:（圆环域留数）若单值函数$f(x)$在实轴上取实值，在复平面$\color{blue}\boldsymbol C$上除$z_1,z_2,\cdots,z_n$外全纯，且这些奇点均不$[0,1]$上，$z=\infty$是$f(x)$的可取奇点，那么
$\int_{0}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt[n]{x^{m}(1-x)^{n-m}}} d x=\frac{2 \pi i}{1-e^{-\frac{2 m \pi}{n} i}}\left\{\sum_{k=1}^{n} \operatorname{Res}\left[\frac{f(z)}{h_{0}(z)} ; z_{k}\right]+\operatorname{Res}\left[\frac{f(z)}{h_{0}(z)} ; \infty\right]\right\}$其中$h_0(z)=\sqrt[n]{x^{m}(1-x)^{n-m}}$

定理九:（全平面留数）若单值函数$f(x)$在实轴上取实值，在复平面$\color{blue}\boldsymbol C$上除$z_1,z_2,\cdots,z_n$外全纯，且这些奇点均不$[a,b]$上，$-1<r,s<1,s\neq 0,且r+s$是整数，如果
${ \lim _{z \rightarrow \infty} z^{r+s+1} f(z)=A \neq \infty}$

那么：
${\int_{a}^{b}(x-a)^{r}(b-x)^{s} f(x) d x=-\frac{A \pi}{\sin (\pi s)}+\frac{\pi}{e^{-i \pi s} \sin (\pi s)} \sum_{k=1}^{n} \operatorname{Res}\left[(z-a)^{r}(b-z)^{s} f(z) ; z_{k}\right]}$

参考文献

【1】积分的方法与技巧 【2】全纯函数 【3】孤立奇点 【4】洛朗(Laurent)级数展开