本节用tf, zpk, ss, 和 frd
命令来创建连续时间模型。
文章目录
- LTI线性时不变模型
- 创建传递函数模型
- 创建零极点增益模型
- 创建状态空间模型
- 创建频率响应数据模型
- 创建MIMO(多输入多输出模型)
- 分析LTI(线性时不变模型)
LTI线性时不变模型
控制系统工具箱™提供了用于创建线性时不变 (LTI) 模型的四个基本表示形式的函数:
- 传递函数 (TF) 模型
- 零极点增益 (ZPK) 型号
- 状态空间 (SS) 模型
- 频率响应数据 (FRD) 模型
将模型数据作为输入,这些函数就能创建对应的模型对象。
创建传递函数模型
传递函数(TF)是LTI系统的频域表示。SISO(single input single output,单输入单输出) 传递函数可以用多项式表示:
传递函数由其分子和分母多项式指定,并且 。在 MATLAB 中,多项式由其系数的向量表示,例如,多项式:,是由[1 2 10]
表示的。
要创建以下表示传递函数的 TF 对象:
用代码表示如下:
num = [ 1 0 ]; % Numerator: s
den = [ 1 2 10 ]; % Denominator: s^2 + 2 s + 10
H = tf(num,den)
生成传递函数如下:
或者用下列表达式来表示该模型:
s = tf('s'); % Create Laplace variable 创建拉普拉斯变量
H = s / (s^2 + 2*s + 10)
会生成同样的传递函数:
创建零极点增益模型
零极点增益 (ZPK) 模型是传递函数的因式相乘形式:
在这个式子中,k为增益,分子的根为零点,分母的根为极点。
比如要创建这个零极点增益模型:
指定零极点和增益如下:
z = 0; % Zeros
p = [ 2 1+i 1-i ]; % Poles
k = -2; % Gain
H = zpk(z,p,k)
生成模型如下:
同样,对于 TF 模型,也可以用下列有理式来表述:
s = zpk('s');
H = -2*s / (s - 2) / (s^2 - 2*s + 2)
生成结果同上:
创建状态空间模型
状态空间 (State-space,SS) 模型是 LTI 系统的时域表示:
其中,x(t)是状态向量,u(t)是输入向量,y(t)是输出轨迹。
状态空间模型是从描述系统动力学的微分方程推导出来的。例如,考虑一个简单电机的二阶常微分方程(ODE):
其中,I是驱动电流(输入),theta是转子角度(输出)。此 ODE 可以以状态空间形式重写为:
要创建此模型,创建ss状态空间矩阵并定义A、B、C、D即可。
A = [ 0 1 ; -5 -2 ];
B = [ 0 ; 3 ];
C = [ 1 0 ];
D = 0;
H = ss(A,B,C,D)
生成结果如下:
创建频率响应数据模型
频率响应数据 (FRD) 模型允许您将系统的测量或仿真的复杂频率响应存储在 LTI 对象中。然后,可以将此数据用作频域分析和设计目的的替代模型。
例如,假设从频率分析器中获取以下数据:
频率(赫兹): 10, 30, 50, 100, 500
响应: 0.0021+0.0009i, 0.0027+0.0029i, 0.0044+0.0052i, 0.0200-0.0040i,0.0001-0.0021i
可以使用以下命令创建包含此数据的 FRD 对象:
freq = [10, 30, 50, 100, 500];
resp = [0.0021+0.0009i, 0.0027+0.0029i, 0.0044+0.0052i, 0.0200-0.0040i, 0.0001-0.0021i];
H = frd(resp,freq,'Units','Hz')
结果如下:
频率单位为rad/s。
创建MIMO(多输入多输出模型)
tf, zpk, ss, 和 frd命令可以创建SISO 和 MIMO 两种模型。对于 TF 或 ZPK 模型,通过连接更简单的 SISO 模型来构造 MIMO 模型通常很方便。例如,可以创建 2x2 MIMO 传递函数:
用以下代码表示:
s = tf('s');
H = [ 1/(s+1) , 0 ; (s+1)/(s^2+s+3) , -4*s/(s+2) ]
生成结果如下:
分析LTI(线性时不变模型)
控制系统工具箱可以用于分析 LTI 模型。这些功能的范围从简单的I/O大小和顺序查询到复杂的时间和频率响应分析。
例如,可以获取上面指定的 MIMO 传输函数的大小信息:
size(H)
可以使用以下公式计算极点:
pole(H)
可以使用以下命令询问此系统是否稳定:
isstable(H)
最后,可以通过键入以下内容来绘制阶跃响应:
step(H)
以上。