本章目录
- 第12章 多路查找树
- 12.1 二叉树与B树
- 12.1.1 二叉树的问题分析
- 12.1.2 多叉树
- 12.1.3 B树的基本介绍
- 12.2 2-3树
- 12.2.1 2-3 树介绍
- 12.2.2 2-3树的应用案例
- 12.2.3 其他说明
- 12.3 B 树、B+树和 B*树
- 12.3.1 B树的介绍
- 12.3.2 B+树
- 12.3.4 B*树
- 第13章 图
- 13.1 图的基本介绍
- 13.1.1 为什么要用图
- 13.1.2 图的常用概念
- 13.2 图的表示方式
- 13.2.1 邻接矩阵
- 13.2.2 邻接表
- 13.3 图的快速入门案例
- 3.4 图的深度优先遍历介绍
- 13.4.1 图遍历介绍
- 13.4.2 深度优先遍历基本思想
- 13.4.3 深度优先遍历算法步骤
- 13.4.4 深度优先算法的代码实现
- 13.5 图的广度优先遍历
- 13.5.1 广度优先遍历基本思想
- 13.5.2 广度优先遍历算法步骤
第12章 多路查找树
12.1 二叉树与B树
12.1.1 二叉树的问题分析
二叉树需要加载到内存的,如果二叉树的节点少,没有什么问题,但是如果二叉树的节点很多(比如1 亿), 就 存在如下问题:
(1)问题 1:在构建二叉树时,需要多次进行 i/o 操作(海量数据存在数据库或文件中),节点海量,构建二叉树时,速度有影响
(2)问题 2:节点海量,也会造成二叉树的高度很大,会降低操作速度.
12.1.2 多叉树
- 在二叉树中,每个节点有数据项,最多有两个子节点。如果允许每个节点可以有更多的数据项和更多的子节点, 就是多叉树(multiway tree)
- 后面我们讲解的 2-3 树,2-3-4 树就是多叉树,多叉树通过重新组织节点,减少树的高度,能对二叉树进行优化。
12.1.3 B树的基本介绍
B 树通过重新组织节点,降低树的高度,并且减少 i/o 读写次数来提升效率。
- 如图 B 树通过重新组织节点, 降低了树的高度.
- 文件系统及数据库系统的设计者利用了磁盘预读原理,将一个节点的大小设为等于一个页(页得大小通常为4k),这样每个节点只需要一次 I/O 就可以完全载入
- 将树的度M 设置为 1024,在 600 亿个元素中最多只需要 4 次 I/O 操作就可以读取到想要的元素, B 树(B+)广泛应用于文件存储系统以及数据库系统中
(1)节点的度:节点的子树的个数
(2)树的度:树中节点的度中最大的度。
12.2 2-3树
12.2.1 2-3 树介绍
2-3 树是最简单的 B 树结构, 具有如下特点:
(1)2-3 树的所有叶子节点都在同一层.(只要是 B 树都满足这个条件)
(2)有两个子节点的节点叫二节点,二节点要么没有子节点,要么有两个子节点.
(3)有三个子节点的节点叫三节点,三节点要么没有子节点,要么有三个子节点.
(4)2-3 树是由二节点和三节点构成的树。
12.2.2 2-3树的应用案例
将数列{16, 24, 12, 32, 14, 26, 34, 10, 8, 28, 38, 20} 构建成 2-3 树,并保证数据插入的大小顺序。(演示一下构建 2-3 树的过程.)
- 插入规则:
(1)2-3 树的所有叶子节点都在同一层.(只要是 B 树都满足这个条件)
(2)有两个子节点的节点叫二节点,二节点要么没有子节点,要么有两个子节点.
(3)有三个子节点的节点叫三节点,三节点要么没有子节点,要么有三个子节点
(4)当按照规则插入一个数到某个节点时,不能满足上面三个要求,就需要拆,先向上拆,如果上层满,则拆本层,拆后仍然需要满足上面 3 个条件。
(5)对于三节点的子树的值大小仍然遵守(BST 二叉排序树)的规则
12.2.3 其他说明
除了 23 树,还有 234 树等,概念和 23 树类似,也是一种B 树。 如图:
12.3 B 树、B+树和 B*树
12.3.1 B树的介绍
- 前面介绍的 2-3 树和 2-3-4 树,他们就是B 树(英语:B-tree 也写成 B-树),
这里我们再做一个说明,我们在学 习 Mysql 时,经常听到说某种类型的索引是基于 B 树或者 B+树的,如图: - 对上图的说明:
(1) B 树的阶:节点的最多子节点个数。比如 2-3 树的阶是3,2-3-4 树的阶是 4
(2)B-树的搜索,从根结点开始,对结点内的关键字(有序)序列进行二分查找,如果命中则结束,否则进入查询关键字所属范围的儿子结点;重复,直到所对应的儿子指针为空,或已经是叶子结点
(3)关键字集合分布在整颗树中, 即叶子节点和非叶子节点都存放数据.
(4) 搜索有可能在非叶子结点结束
(5)其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找。
12.3.2 B+树
B+树是B 树的变体,也是一种多路搜索树。
对上图的说明:
- B+树的搜索与 B 树也基本相同,区别是 B+树只有达到叶子结点才命中(B 树可以在非叶子结点命中),其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找
- 所有关键字都出现在叶子结点的链表中(即数据只能在叶子节点【也叫稠密索引】),且链表中的关键字(数据)恰好是有序的。
- 不可能在非叶子结点命中
- 非叶子结点相当于是叶子结点的索引(稀疏索引),叶子结点相当于是存储(关键字)数据的数据层
- 更适合文件索引系统
- B 树和 B+树各有自己的应用场景,不能说 B+树完全比B 树好,反之亦然.
12.3.4 B*树
B树是 B+树的变体,在 B+树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针。
B树的说明:
- B* 树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)*M(M:度),即块的最低使用率为 2/3,而 B+树的块的最低使用率为的1/2。
- 从第 1 个特点我们可以看出,B*树分配新结点的概率比 B+树要低,空间使用率更高
第13章 图
13.1 图的基本介绍
13.1.1 为什么要用图
- 前面我们学了线性表和树
- 线性表局限于一个直接前驱和一个直接后继的关系
- 树也只能有一个直接前驱也就是父节点
- 当我们需要表示多对多的关系时, 这里我们就用到了图。
13.1.2 图的常用概念
- 顶点(vertex)
- 边(edge)
- 路径
- 无向图(右图
- 有向图
- 带权图
13.2 图的表示方式
图的表示方式有两种:二维数组表示(邻接矩阵);链表表示(邻接表)。
13.2.1 邻接矩阵
邻接矩阵是表示图形中顶点之间相邻关系的矩阵,对于 n 个顶点的图而言,矩阵是的row 和col 表示的是1…n个点。
13.2.2 邻接表
- 邻接矩阵需要为每个顶点都分配 n 个边的空间,其实有很多边都是不存在,会造成空间的一定损失.
- 邻接表的实现只关心存在的边,不关心不存在的边。因此没有空间浪费,邻接表由数组+链表组成
13.3 图的快速入门案例
- 要求: 代码实现如下图结构.
- 思路分析 (1) 存储顶点 String 使用 ArrayList (2) 保存矩阵 int[][] edges
package com.atguigu.graph;
import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
public class Graph {
private ArrayList<String> vertexList; //存储顶点集合
private int[][] edges; //存储图的邻接矩阵
private int numOfEdges; //表示边的数目
public static void main(String[] args) {
//测试一把
int n = 5;
String Vertexs[]={"A","B","C","D","E"};
//创建图对象
Graph graph = new Graph(n);
//循环添加顶点
for (String vertex : Vertexs) {
graph.insertVertex(vertex);
}
//添加边:A-B,A-C,B-C,B-D,B-E
graph.insertEdge(0, 1, 1); //A-B
graph.insertEdge(0, 2, 1); //A-B
graph.insertEdge(1, 2, 1); //A-B
graph.insertEdge(1, 3, 1); //A-B
graph.insertEdge(1, 4, 1); //A-B
//显示邻接矩阵
graph.showGraph();
}
//构造器
public Graph(int n) {
//初始化矩阵和vertexList
edges = new int[n][n];
vertexList = new ArrayList<String>();
numOfEdges = 0;
}
//插入节点
public void insertVertex(String vertex) {
vertexList.add(vertex);
}
/**
* 添加边
* @param v1:边的第一个顶点
* @param v2:边的第二个顶点
* @param weight:边的权重
*/
public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
edges[v1][v2] = weight;
edges[v2][v1] =weight;
numOfEdges++ ;
}
//图中常用的方法
//返回节点个数
public int getNumOfVertex() {
return vertexList.size();
}
//得到边的数目
public int getNumOfEdges() {
return numOfEdges;
}
//返回节点i(下标)对应的数据:0->A,1->B,2->C
public String getValueByIndex(int i) {
return vertexList.get(i);
}
//返回V1和v2的权值
public int getWeight(int v1, int v2) {
return edges[v1][v2];
}
//显示图对应的矩阵
public void showGraph() {
for (int[] link : edges) {
System.out.println(Arrays.toString(link));
}
}
}
3.4 图的深度优先遍历介绍
13.4.1 图遍历介绍
所谓图的遍历,即是对结点的访问。一个图有那么多个结点,如何遍历这些结点,需要特定策略,一般有两种 访问策略: (1)深度优先遍历 (2)广度优先遍历
13.4.2 深度优先遍历基本思想
图的深度优先搜索(Depth First Search) 。
- 深度优先遍历,从初始访问结点出发,初始访问结点可能有多个邻接结点,深度优先遍历的策略就是首先访问第一个邻接结点,然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点,访问它的第一个邻接结点, 可以这样理解: 每次都在访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点。
- 我们可以看到,这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入,而不是对一个结点的所有邻接结点进行横向访问。
- 显然,深度优先搜索是一个递归的过程
13.4.3 深度优先遍历算法步骤
- 访问初始结点 v,并标记结点 v 为已访问。
- 查找结点 v 的第一个邻接结点 w。
- 若 w 存在,则继续执行 4,如果w 不存在,则回到第1 步,将从v 的下一个结点继续。
- 若 w 未被访问,对 w 进行深度优先遍历递归(即把w 当做另一个 v,然后进行步骤123)。 5) 查找结点 v 的 w 邻接结点的下一个邻接结点,转到步骤 3。
13.4.4 深度优先算法的代码实现
关键代码
/**
* 返回某个节点的第一个邻接节点
* @param index:要查找的节点的下标
* @return:index的第一个邻接节点的下标。
*/
public int getFirstNeighbor(int index) {
for (int i = 0; i < vertexList.size(); i++) {
if (edges[index][i] > 0) {
return i;
}
}
return -1;
}
/**
* 根据前一个邻接节点的下标来获得下一个邻接节点
* @param v1:初始节点
* @param v2:与V1相连的,v2之后的节点
* @return:返回v2后的节点的下标。
*/
public int getNextNeighbor(int v1, int v2) {
for (int i = v2+1; i < vertexList.size(); i++) {
if (edges[v1][i] > 0) {
return i;
}
}
return -1;
}
/**
* 深度优先算法
* @param isVisited:各节点是否被访问的状态列表
* @param i:初始节点
*/
private void dfs(boolean[] isVisited, int i) {
//首先将第一个节点输出
System.out.print(getValueByIndex(i)+"->");
//将节点设置为已经被访问
isVisited[i] = true;
//查找节点i的第一个邻接节点w
int w = getFirstNeighbor(i);
while (w != -1) {
if (!isVisited[w]) {
dfs(isVisited, w);
}
//如果w节点已经被访问过
w = getNextNeighbor(i, w);
}
}
//对dfs进行重载,遍历所有的节点,并进行dfs
public void dfs() {
//遍历所有节点,进行dfs[回溯]
for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
if (!isVisited[i]) {
dfs(isVisited, i);
}
}
}
13.5 图的广度优先遍历
13.5.1 广度优先遍历基本思想
类似于一个分层搜索的过程,广度优先遍历需要使用一个队列以保持访问过的结点的顺序,以便按这个顺序来访问这些结点的邻接结点
13.5.2 广度优先遍历算法步骤
- 访问初始结点 v 并标记结点 v 为已访问。
- 结点 v 入队列
- 当队列非空时,继续执行,否则算法结束。
- 出队列,取得队头结点 u。
- 查找结点 u 的第一个邻接结点 w。
- 若结点 u 的邻接结点 w 不存在,则转到步骤 3;否则循环执行以下三个步骤:
6.1 若结点 w 尚未被访问,则访问结点 w 并标记为已访问。
6.2 结点 w 入队列
6.3 查找结点 u 的继 w 邻接结点后的下一个邻接结点 w,转到步骤6。
关键代码
//广度优先算法
private void bfs(boolean[] isVisited, int i) {
int u ; //表示队列的头结点对应的下标
int w ; //邻接节点w
LinkedList<Object> queue = new LinkedList<>(); //队列,记录节点访问的顺序
System.out.print(getValueByIndex(i)+"->");
isVisited[i] = true ; //标记为已访问
queue.addLast(i); //将节点加入队列
while ( !queue.isEmpty()) {
//取出队列的头结点下标
u = (Integer)queue.removeFirst();
//得到第一个邻接节点的下标w
w = getFirstNeighbor(u);
while (w != -1) { //找到
//是否被访问过
if (!isVisited[w]) {
System.out.print(getValueByIndex(w)+"->");
//标记已经访问
isVisited[w] = true;
//入队
queue.addLast(w);
}
//以u为前驱点,找w后面的下一个节点
w = getNextNeighbor(u, w); //体现广度优先搜索
}
}
}
//重载遍历所有节点,都进行广度优先算法
public void bfs() {
for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
if (! isVisited[i]) {
bfs(isVisited, i);
}
}
}
代码汇总
package com.atguigu.graph;
import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.LinkedList;
public class Graph {
private ArrayList<String> vertexList; //存储顶点集合
private int[][] edges; //存储图的邻接矩阵
private int numOfEdges; //表示边的数目
private boolean[] isVisited; //记录某个节点是否被访问过。
public static void main(String[] args) {
//测试一把
int n = 5;
String Vertexs[]={"A","B","C","D","E"};
//创建图对象
Graph graph = new Graph(n);
//循环添加顶点
for (String vertex : Vertexs) {
graph.insertVertex(vertex);
}
//添加边:A-B,A-C,B-C,B-D,B-E
graph.insertEdge(0, 1, 1); //A-B
graph.insertEdge(0, 2, 1); //A-B
graph.insertEdge(1, 2, 1); //A-B
graph.insertEdge(1, 3, 1); //A-B
graph.insertEdge(1, 4, 1); //A-B
//显示邻接矩阵
graph.showGraph();
//深度遍历
System.out.println("深度优先遍历");
graph.bfs();
}
//构造器
public Graph(int n) {
//初始化矩阵和vertexList
edges = new int[n][n];
vertexList = new ArrayList<String>();
numOfEdges = 0;
isVisited = new boolean[5];
}
//插入节点
public void insertVertex(String vertex) {
vertexList.add(vertex);
}
/**
* 添加边
* @param v1:边的第一个顶点
* @param v2:边的第二个顶点
* @param weight:边的权重
*/
public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
edges[v1][v2] = weight;
edges[v2][v1] =weight;
numOfEdges++ ;
}
//图中常用的方法
//返回节点个数
public int getNumOfVertex() {
return vertexList.size();
}
//得到边的数目
public int getNumOfEdges() {
return numOfEdges;
}
//返回节点i(下标)对应的数据:0->A,1->B,2->C
public String getValueByIndex(int i) {
return vertexList.get(i);
}
//返回V1和v2的权值
public int getWeight(int v1, int v2) {
return edges[v1][v2];
}
//显示图对应的矩阵
public void showGraph() {
for (int[] link : edges) {
System.out.println(Arrays.toString(link));
}
}
/**
* 返回某个节点的第一个邻接节点
* @param index:要查找的节点的下标
* @return:index的第一个邻接节点的下标。
*/
public int getFirstNeighbor(int index) {
for (int i = 0; i < vertexList.size(); i++) {
if (edges[index][i] > 0) {
return i;
}
}
return -1;
}
/**
* 根据前一个邻接节点的下标来获得下一个邻接节点
* @param v1:初始节点
* @param v2:与V1相连的,v2之后的节点
* @return:返回v2后的节点的下标。
*/
public int getNextNeighbor(int v1, int v2) {
for (int i = v2+1; i < vertexList.size(); i++) {
if (edges[v1][i] > 0) {
return i;
}
}
return -1;
}
/**
* 深度优先算法
* @param isVisited:各节点是否被访问的状态列表
* @param i:初始节点
*/
private void dfs(boolean[] isVisited, int i) {
//首先将第一个节点输出
System.out.print(getValueByIndex(i)+"->");
//将节点设置为已经被访问
isVisited[i] = true;
//查找节点i的第一个邻接节点w
int w = getFirstNeighbor(i);
while (w != -1) {
if (!isVisited[w]) {
dfs(isVisited, w);
}
//如果w节点已经被访问过
w = getNextNeighbor(i, w);
}
}
//对dfs进行重载,遍历所有的节点,并进行dfs
public void dfs() {
//遍历所有节点,进行dfs[回溯]
for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
if (!isVisited[i]) {
dfs(isVisited, i);
}
}
}
//广度优先算法
private void bfs(boolean[] isVisited, int i) {
int u ; //表示队列的头结点对应的下标
int w ; //邻接节点w
LinkedList<Object> queue = new LinkedList<>(); //队列,记录节点访问的顺序
System.out.print(getValueByIndex(i)+"->");
isVisited[i] = true ; //标记为已访问
queue.addLast(i); //将节点加入队列
while ( !queue.isEmpty()) {
//取出队列的头结点下标
u = (Integer)queue.removeFirst();
//得到第一个邻接节点的下标w
w = getFirstNeighbor(u);
while (w != -1) { //找到
//是否被访问过
if (!isVisited[w]) {
System.out.print(getValueByIndex(w)+"->");
//标记已经访问
isVisited[w] = true;
//入队
queue.addLast(w);
}
//以u为前驱点,找w后面的下一个节点
w = getNextNeighbor(u, w); //体现广度优先搜索
}
}
}
//重载遍历所有节点,都进行广度优先算法
public void bfs() {
for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
if (! isVisited[i]) {
bfs(isVisited, i);
}
}
}
}