python功率谱密度变换 功率谱密度分析

Matlab 实现经典功率谱分析和估计

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文章目录

• Matlab 实现经典功率谱分析和估计

• 功率谱
• Matlab 使用

• 1 直接法
• 2 间接法
• 3 改进直接法：`Bartlett法`
• 4 `Welch法`

• 附上谋篇论文，分析EEG信号功率谱代码
• 致谢

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功率谱

功率谱是功率谱密度函数的简称，它定义为单位频带内的信号功率。它表示了信号功率随着频率的变化情况，即信号功率在频域的分布状况。功率谱表示了信号功率随着频率的变化关系 。
常用于功率信号（区别于能量信号）的表述与分析，其曲线（即功率谱曲线）一般横坐标为频率，纵坐标为功率。周期性连续信号x(t)的频谱可表示为离散的非周期序列$Xn$,它的幅度频谱的平方$│Xn│2$所排成的序列，就被称之为该周期信号的“功率谱”。

Matlab 使用

fft做出来是频谱，psd做出来是功率谱；功率谱丢失了频谱的相位信息；频谱不同的信号其功率谱是可能相同的；功率谱是幅度取模后平方，结果是个实数。matlab中自功率谱密度直接用psd函数就可以求，按照matlab的说法，psd能实现Welch法估计，即相当于用改进的平均周期图法来求取随机信号的功率谱密度估计。psd求出的结果应该更光滑吧。

1 直接法

直接法又称周期图法，它是把随机序列$x(n)$的$N$个观测数据视为一能量有限的序列，直接计算$x(n)$的离散傅立叶变换，得$X(k)$，然后再取其幅值的平方，并除以$N$，作为序列$x(n)$真实功率谱的估计。
Matlab 代码示例：

clear;
Fs=1000; %采样频率
n=0:1/Fs:1;
%产生含有噪声的序列
xn=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*100*n)+randn(size(n));
window=boxcar(length(xn)); %矩形窗
nfft=1024;
[Pxx,f]=periodogram(xn,window,nfft,Fs); %直接法

subplot(1,2,1);
plot(xn);
subplot(1,2,2);
plot(f,10*log10(Pxx));

结果，左图原始信号，右图为周期图法信号。

2 间接法

间接法先由序列$x(n)$估计出自相关函数$R(n)$，然后对$R(n)$进行傅立叶变换，便得到$x(n)$的功率谱估计。
Matlab 代码示例：

clear;
Fs=1000; %采样频率
n=0:1/Fs:1;
%产生含有噪声的序列
xn=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*100*n)+randn(size(n));
nfft=1024;
cxn=xcorr(xn,'unbiased'); %计算序列的自相关函数
CXk=fft(cxn,nfft);
Pxx=abs(CXk);
index=0:round(nfft/2-1);
k=index*Fs/nfft;
plot_Pxx=10*log10(Pxx(index+1));
subplot(1,2,1);
plot(xn);
subplot(1,2,2);
plot(k,plot_Pxx);

结果，右图为间接法。

3 改进直接法：Bartlett法

对于直接法的功率谱估计，当数据长度N太大时，谱曲线起伏加剧，若N太小，谱的分辨率又不好，因此需要改进。

Bartlett平均周期图的方法是将$N$点的有限长序列$x(n)$分段求周期图再平均。
Matlab代码示例：

clear;
Fs=1000;
n=0:1/Fs:1;
xn=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*100*n)+randn(size(n));
nfft=1024;
window=boxcar(length(n)); %矩形窗
noverlap=0; %数据无重叠
p=0.9; %置信概率
[Pxx,Pxxc]=psd(xn,nfft,Fs,window,noverlap,p);
index=0:round(nfft/2-1);
k=index*Fs/nfft;
plot_Pxx=10*log10(Pxx(index+1));
plot_Pxxc=10*log10(Pxxc(index+1));
subplot(1,2,1);
plot(k,plot_Pxx);
subplot(1,2,2);
plot(k,[plot_Pxx plot_Pxx-plot_Pxxc plot_Pxx+plot_Pxxc]);

结果，左图为直接法，右图为Bartlett法

4 Welch法

Welch法对Bartlett法进行了两方面的修正，一是选择适当的窗函数$w(n)$，并再周期图计算前直接加进去，加窗的优点是无论什么样的窗函数均可使谱估计非负。二是在分段时，可使各段之间有重叠，这样会使方差减小。
Matlab代码示例：

clear;
Fs=1000;
n=0:1/Fs:1;
xn=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*100*n)+randn(size(n));
nfft=1024;
window=boxcar(100); %矩形窗
window1=hamming(100); %海明窗
window2=blackman(100); %blackman窗
noverlap=20; %数据无重叠
range='half'; %频率间隔为[0 Fs/2]，只计算一半的频率
[Pxx,f]=pwelch(xn,window,noverlap,nfft,Fs,range);
[Pxx1,f1]=pwelch(xn,window1,noverlap,nfft,Fs,range);
[Pxx2,f2]=pwelch(xn,window2,noverlap,nfft,Fs,range);
plot_Pxx=10*log10(Pxx);
plot_Pxx1=10*log10(Pxx1);
plot_Pxx2=10*log10(Pxx2);

subplot(1,3,1);
plot(f,plot_Pxx);

subplot(1,3,2);
plot(f1,plot_Pxx1);

subplot(1,3,3);
plot(f2,plot_Pxx2);

结果，从左至右分别为：矩形窗、海明窗、blackman窗

附上谋篇论文，分析EEG信号功率谱代码

Matlab 代码：

fs=200;
n=0:1/fs:1;
xn=cos(2*pi*40*n)+cos(2*pi*41*n)+3*cos(2*pi*90*n)+0.1*randn(size(n));
window=boxcar(length(xn));
nfft=512;
[pxx,f]=periodogram(xn,window,nfft,fs);
figure(12);
subplot(121);
plot(f,10*log10(pxx));
xlabel('frequency(hz)');
ylabel('power spectral density(db/hz)');
title('period psd estimate');
orderl=50;
range='half';
magunits='db';
subplot(122);
pburg(xn,orderl,nfft,fs,range);

结果如下：

致谢

https://www.ilovematlab.cn/thread-270745-1-1.html