文章目录
- 1. 整数的二进制编码
- 2. 无符号数编码
- 3. 符号数编码
- 3.1 原码
- 3.2 反码
- 3.3 补码
- 3.4 移码
- 4. 总结
从康拉德·楚泽在 Z-3 计算机中首先采用二进制计数以来，现代电子计算机都采用二进制编码。
- 二进制是最基本的进位计数系统，只有 0 和 1，容易表达。
- 二进制运算规则简单，可以通过逻辑和移位电路实现。
二进制虽然表达简单，但其内容与数位却不方便识别。
- 4 位二进制可以表示 1 位十六进制。
- 有时会用十六进制数来替代二进制数，能够更方便识别二进制的内容与位数。
- 必须注意：十六进制只是用于方便识别二进制数的内容与数位，计算机并不存在这些十六进制数。
1. 整数的二进制编码
针对数值信息（数学值）的编码，将数值本身值称作真值，将编码称为机器数。
- 例如：将数字 8 编码为 1000，那么 8 称为真值，1000 称为机器数。
- 计算机中定义了两种整数：无符号数和符号数。
2. 无符号数编码
无符号数，顾名思义是没有符号的数，编码时无需考虑符号位的编码。可以直接用真值的二进制形式作为机器数，即编码值。
- 8 位二进制可以表达十进制中的 0 ~ 255，共
- 无符号数进行计算时，如果运算结果超出取值范围，就会产生错误，这种情况称为溢出。
- 例如：[200] + [100] = 11001000B + 01100100B = 00101100B = [44]
- 计算结果应该为 300，超过了 8 位二进制数的取值范围 [0 ~ 255]，从而得到错误的结果 44。
- 无符号数编码的的加法/减法通过最高位的进位/借位来判断。
3. 符号数编码
符号数，编码时就要考虑符号编码了，不仅要表示真值的绝对值，还要表示真值的符号。
针对符号数有四种编码方式：
- 原码：最高位表示符号（正数用 0 表示，负数用 1 表示），其他位表示真值的绝对值。
- 反码：正数的反码等价于原码，负数的反码就是将原码除符号位以外的其他绝对值部分按位取反。
- 补码：正数的补码依旧等价于原码，负数的补码是将反码加1得到。
- 移码：移码在补码的基础上增加了一个偏移量。
3.1 原码
早期计算机使用原码表示法，X 为真值，n 为二进制数的位数，原码定义如下：
最高位表示符号（正数用 0 表示，负数用 1 表示），其他位表示真值的绝对值。
- 例如
[1000 0100B]，最高位符号位是 1，表示负数，绝对值部分[000 0100B]表达 4，组合起来表达 -4。原码特点：
- 乘除运算比较方便，单独处理符号与真值绝对值。
- 加减运算比较复杂，首先处理符号，确定做加法还是减法，如果是减法，还需比较真值的大小，确定结果的符号。
- 特殊数字 0 的原码有两个，判断是否为 0 需要分别判断
[+0] = [0000 0000B]和[-0] = 1000 0000B。- 8 位二进制数可以表示
0000 0000B ~ 1111 1111B，即-127 ~ +127，共 255 个数。
3.2 反码
一些老式计算机使用反码表示法，X 为真值，n 为二进制数的位数，反码定义如下：
正数的反码等价于原码， 负数的反码就是将原码除符号位以外的其他绝对值部分按位取反，故得名反码。
- 例如：-3 的原码为
[1000 0011B]，它的反码为[1111 1100B]反码特点：
- 符号位一起参与加、减运算。
- 加法进位需要送回到最低位再加（循环进位）。
- 减法借位需要送回到最低位再减（循环借位）。
- 减法可以转换为加法，简化了算数逻辑单元的设计。
- 0 的反码也有两个，即
[0000 0000B]和[1000 0000B]。- 8 位二进制数可以表示
0000 0000B ~ 1111 1111B，即-127 ~ +127，共 255 个数。
3.3 补码
反码较好地解决了符号参与运算的问题，但循环进位/借位延长了计算时间，为了进一步简化，引入了补码。X 为真值，n 为二进制数的位数，补码的定义如下：
正数的补码依旧等价于原码，负数的补码是将反码加1。
- 例如：-3 的原码是
[1000 0011B]，反码为[1111 1100B]，补码为[1111 1101B]
补码的特点：- 与反码一样，补码的符号位参与加/减运算，但回避了循环进位/借位。
- 与反码一样，补码的减法运算可转化为加法运算。
- 0的补码只有一种，即
，所以补码可以表示
-128~+127，其中不再表示 0，而是表示 -128
补码判断溢出使用双高异或判别法，如果最高位进位/借位与此高位进位/借位不同，则表示溢出。
- 例如 120 + 16 时，
- 次高位产生进位，为 1 ，最高位没有产生进位，为 0，
，说明溢出。
3.4 移码
移码在补码的基础上增加了一个偏移量，X 为真值，n 为二进制数的位数，补码的定义如下：
以 8 位二进制为例，则：.
4. 总结
- 无符号数的编码为其二进制的表达形式。
- 符号数的编码分为原码、反码、补码和移码。
- 原码：最高位为符号位，取1表示负数，取0表示正数，其他位为真值的绝对值。
- 反码：正数的反码就是原码，负数的反码为原码的符号位以外的其他位全部按位取反。
- 补码：正数的补码就是原码，负数的补码为反码加1。
- 移码：补码的基础上添加一个偏移量。
- 8 位二进制的原码、反码、补码部分表：
真值 | 原码 | 反码 | 补码 |
-128 | ^ | ^ | 1000 0000 |
-127 | 1111 1111 | 1000 0000 | 1000 0001 |
-126 | 1111 1110 | 1000 0001 | 1000 0010 |
… | … | … | … |
-3 | 1000 0011 | 1111 1100 | 1111 1101 |
-2 | 1000 0010 | 1111 1101 | 1111 1110 |
-1 | 1000 0001 | 1111 1110 | 1111 1111 |
-0 | 1000 0000 | 1111 1111 | 0000 0000 |
+0 | 0000 0000 | 0000 0000 | 0000 0000 |
+1 | 0000 0001 | 0000 0001 | 0000 0001 |
+2 | 0000 0010 | 0000 0010 | 0000 0010 |
+3 | 0000 0011 | 0000 0011 | 0000 0011 |
… | … | … | … |
127 | 0111 1111 | 0111 1111 | 0111 1111 |
