本文档通过MATLAB来绘制二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数。
第一种类型,X服从标准正态分布,Y服从均匀分布。
【例题】已知随机变量X与Y相互独立,X~N(0,1);Y在区间[0,2]上服从均匀分布。求:
(1)二维随机变量(X,Y)的联合概率密度。
(2)概率P(X Y)
解答:
(1)随机变量X的概率密度为
随机变量Y的概率密度为
因为X与Y相互独立,所以二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为:
此二维随机变量的联合概率密度函数用MATLAB来绘制,其代码如下
x=-10:0.1:10;
y=0:0.1:1;
z=ones(length(y),1)(exp(-x.^2)/2)/(2sqrt(2*pi));
mesh(x,y,z)
输出图像为
(2)概率P(XY)就是随机点(X,Y)落在平面区域XY内的概率。
第二种类型:X与Y均服从正态分布,且不独立。
【例题】设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为
(1)例用MATLAB画出联合密度函数图
(2)求随机变量函数Z=X/3-Y/4的数学期望和方差
【解答】
(1)根据二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布的概率函数
记作:
r的绝对值小于1.
可知,
程序代码为:
clc;
clear;
x=-4:0.1:6;
y=-3:0.1:7;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=5exp(-25((X-1).2+(X-1).*(Y-2)/10+(Y-2).2/16)/32)/(96*pi);
mesh(X,Y,Z); %绘制三维网格图
运行后三维网格图的图像为:
(2)
第三种类型:X与Y均服从标准正态分布,且相互独立
【例题】设随机变量X与Y相互独立,都服从标准正态分布N(0,1),求:
(1)画出该二维随机变量的联合概率密度函数图像。
(2)求出随机变量函数 的概率密度
【解答】
(1)相互独立的二维随机变量X与Y的联合概率密度函数为
绘制该函数用到的代码为:
vx=-4:0.1:4;
[X,Y]=meshgrid(vx);
Z=exp(-(X.2+Y.2)/2)/(2*pi);
mesh(X,Y,Z);
绘制的联合概率密度图像为
(2)随机变量 的分布函数为
所以Z的分布函数为
例用matlab绘制图像为
程序代码为
fplot(@(z)1-exp(-z/2),[0,10]);
由Z的分布函数得Z的概率密度函数为
例用Matlab绘制图像为
程序代码为 fplot(@(z)exp(-z/2)/2,[0,10]);
此时,Z的随机变量函数服从的分布是自由度为2的分布