pytorch VAE kl散度

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• 一、交叉熵公式推导
• 二、 Pytorch 中交叉熵CrossEntropyLoss()
• 参考资料

一、交叉熵公式推导

  分类问题中，交叉熵函数是比较常用也是比较基础的损失函数，原来就只是会用，但一直搞不懂他是怎么来的？为什么交叉熵能够表征真实样本标签和预测概率之间的差值？现在把这个概念好好学习一下。

  首先说起交叉熵，脑子里就会出现这个东西：

$\mathbf{L = -[y*log\hat{y}+(1-\hat{y})log(1-\hat{y})]}$

  随后我们脑子里可能还会出现Sigmoid()这个函数:

$\mathbf{g(s)=\frac{1}{1+e^{-s}}}$

  那我们就先从sigmoid开始说起，我们知道sigmoid的作用其实是把前一层的输入映射到0~1这个区间上，可以认为上一层某个样本的输入数据越大，就代表这个样本标签属于1的概率就越大，反之，上一层某样本的输入数据越小，这个样本标签属于0的概率就越大，而且通过sigmoid函数的图像我们可以看出来，随着输入数值的增大，其对概率增大的作用效果是逐渐减弱的，反之同理，这就是非线性映射的一个好处，让模型对处于中间范围的输入数据更敏感。下面是sigmoid函数图：

  既然经过sigmoid之后的数据能表示样本所属某个标签的概率，那么举个例子，我们模型预测某个样本标签为1的概率是：

$\mathbf{\hat{y}=P(y=1|X)}$

  那么，这个样本不为1的概率为：

$\mathbf{1-\hat{y}=P(y=0|X)}$

  极大似然的角度来看，就得到下式：

$\mathbf{p(y|x)=\hat{y}^{y}*(1-\hat{y})^{1-y}}$

  上式可以理解为，给定一个样本x，我们通过模型预测出其属于样本标签为y的概率，因为y是我们给的正确结果，所以我们当然希望上式越大越好。

  下一步我们要在 P(y|x) 的外面套上一层log函数，相当于进行了一次非线性的映射。log函数是不会改变单调性的，所以我们也希望 log( P( y | x ) ) 越大越好。

$\mathbf{log(p(y|x))=log(\hat{y}^{y}*(1-\hat{y})^{1-y})=y*log\hat{y}+(1-y)*log(1-\hat{y})}$

  这样，就得到了我们一开始说的交叉熵的形式了，但是等一等，好像还差一个符号。

  因为一般来说我们相用上述公式做loss函数来使用，所以我们想要loss越小越好，这样符合我们的直观理解，所以我们只要 -log( P( y | x ) ) 就达到了我们的目的。

$\mathbf{L=-[y*log\hat{y}+(1-y)*log(1-\hat{y})]}$

  上面是二分类问题的交叉熵，如果是有多分类，就对每个标签类别下的可能概率分别求相应的负log对数然后求和就好了：

$L=-\sum_{i=1}^{N}y^{(i)}*log\hat{y}^{(i)}$

二、 Pytorch 中交叉熵CrossEntropyLoss()

  下面要结合pytorch中的函数 CrossEntropyLoss() 来说一说具体怎么使用。

  举个小例子，假设我们有个一样本，他经过我们的神经网络后会输出一个5维的向量，分别代表这个样本分别属于这5种标签的数值（注意此时我们的5个数求和还并不等于1，需要先经过softmax处理，下面会说），我们还会从数据集中得到该样本的正确分类结果，下面我们要把经过神经网络的5维向量和正确的分类结果放到CrossEntropyLoss() 中，看看会发生什么：

import torch
import torch.nn as nn
import math

loss = nn.CrossEntropyLoss()
input = torch.randn(1,5, requires_grad=True)
target = torch.empty(1, dtype=torch.long).random_(5)

output = loss(input, target)

print("输入为5类：")
print(input)
print("要计算loss的类别：")
print(target)
print("要计算loss的结果：")
print(output)

输入为5类：
tensor([[ 1.2389,  0.3627,  0.1153, -0.2999, -1.8458]], requires_grad=True)
要计算loss的类别：
tensor([4])
要计算loss的结果：
tensor(3.7787, grad_fn=<NllLossBackward>)

$\hat{y}^{(i)}$。

$\mathbf{L=-\sum_{i=1}^{N}y^{(i)}*log\hat{y}^{(i)}}$

$\hat{y}^{(i)}$的需要我们将输入的input向量进行softmax处理，softmax我就不多说了，应该比较简单，也是一种映射，使得input变成对应属于每个标签的概率值，对每个input[i]进行如下处理：

$\mathbf{\hat{y}=P(\hat{y}=i|x)=\frac{exp^{input[i]}}{\sum_{j=0}^{N}exp^{input[i]}}}$

$\hat{y}^{(i)}$.随后我们就可以把$\hat{y}^{(i)}$带入公式了，下面我们还缺$y^{(i)}$了，而奇怪的是我们输入的target是一个只有一个数的数组啊，而$\hat{y}^{(i)}$是一个5维的向量，这什么情况？

  原来CrossEntropyLoss() 会把target变成ont-hot形式，我们现在例子的样本标签是[4]（从0开始计算）。那么转换成one-hot编码就是[0，0，0，0，1]，所以我们的最后也会变成一个5维的向量，并且不是该样本标签的数值为0，这样我们在计算交叉熵的时候只计算给定的那一项的sorce就好了，所以我们的公式最后变成了：

$\mathbf{L(input,target)=-log\frac{exp^{input[target]}}{\sum_{j=0}^{N}exp^{input[i]}}=-input[target]+log\sum_{j=0}^{N}exp^{input[i]}}$

  接下来，按照上面我们的推导来自己编写一下程序：

first = 0
for i in range(1):
    first -= input[i][target[i]]
second = 0
for i in range(1):
    for j in range(5):
        second += math.exp(input[i][j])

res = 0
res += first + math.log(second)
print("自己的计算结果：")
print(res)

自己的计算结果：
tensor(3.7787, grad_fn=<AddBackward0>)