傅里叶变换是信号的一种描述方式，通过增加频域的视角，将时域复杂波形表示为简单的频率函数，获得时域不易发现的与信号有关的其他特征。
根据时间域信号x自变量的不同，可以将信号分为连续信号x(t)和离散序列x[n]，根据信号周期性不同，又可以将信号分为周期性和非周期性的，所以待分析的信号类型有四种形式，也就产生了四种不同形式的傅里叶变换。
连续 | 离散 | |
周期 | 第一类 | 第三类 |
非周期 | 第二类 | 第四类 |
1.周期性连续信号——傅里叶级数Fourier Series（FS）
2.非周期性连续信号——傅里叶变换Fourier Transform（FT）
3.周期性离散信号——离散傅里叶级数（Discrete Fourier Series）DFS
4.非周期性离散信号——离散时域傅里叶变换（Discrete Time Fourier Transform）DTFT
1.连续信号的傅里叶分析
1.1傅里叶级数（FS）
傅里叶级数是将周期连续信号用一组谐波函数表示出来。（一个小结论，周期性导致另一个域的离散型）
对于下面这个谐波函数
，可以解出
这里 X(kΩ0) 被称为傅里叶系数（第k次谐波的系数），代表某一谐波分量所占权重，反应第k次谐波幅度的大小，所以在频率坐标轴上 X(kΩ0) 是离散的，间隔是 Ω0 。
1.2傅里叶变换（FT）
傅里叶级数是针对周期函数的，为了可以处理非周期函数，需要傅里叶变换。(主要思路：周期函数可以通过傅里叶级数画出频谱图，增大周期，频率图变得越来越密，当周期区域无穷时（也就是周期延拓的方法），得到傅里叶变换，频谱图变成连续的曲线。)
对于非周期信号
，傅里叶变换后
（ X(jΩ) 物理意义：频谱密度函数）
2离散信号的傅里叶分析
离散信号的傅里叶分析思路平行于连续信号的傅里叶分析。
2.1离散时域傅里叶变换（DTFT）
在离散系统中，假如x(t)为连续系统信号，要转换成离散系统，需要进行采样，采样频率为fs，采样时间间隔为Ts=1/fs
冲击采样序列为
，采样之后的信号为
.连续信号的傅里叶变换定义为
， 则采样后的傅里叶变换为
， 交换积分求和顺序
由于冲激函数的筛选性
得
采样信号是一个序列，第n个采样时间t=nTs，
所以将连续信号傅里叶变换写成这个形式
,这个式子称为离散时域傅里叶变换。
2.2离散傅里叶级数（DFS）
这里先说一个结论：一个域是周期的则另一个域是离散的，一个域是离散的则另一个域是周期的。
对于周期为N的离散信号x[n]，x[n]=x[n+N]，这是一个周期序列，根据上一行的结论，因为x(n)是离散的，故频谱是周期的，因为x(n)是周期的，故频谱是离散的，所以x(n)得频谱是离散的且是周期的。
对FS:
进行离散化（ Ω0 = 2 π /T，t = nTs，T=NTs，Ω0 =2 π /NTs， tΩ0 = 2 nπ /N）（其中Ts为采样周期，N为一个周期的采样数）得出
Ωs = 2π/Ts = 2πN/T = NΩ0
N = Ωs/Ω0 = 2πfs/(2π/T) = 2πfs/2πf = fs/f = T/Ts =N
由以上分析可知：
是离散的，周期为N，间隔是Ts，
是离散的，周期为N，间隔是 Ω0 ,所以各取一个周期求和，有
这个就是离散傅里叶级数（DFS）。
3小结
